2025年九年级中考数学一轮复习专项巩固练习37--相似三角形的应用

2025年中考数学一轮复习专项巩固练习37--相似三角形的应用 一、单选题 1．高米的旗杆在水平地面上的影长为米，此时测得附近一个建筑物的影长为米，则该建筑物的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，小树在路灯的照射下形成投影若树高，树影，小树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（   ） A． B． C． D． 3．彭老师身高，在某一时刻测得她站在阳光下的影子长为，紧接着她把手臂竖直举起，测得影子长为，那么彭老师举起的手臂超出头顶的长度为（    ） A． B． C． D． 4．如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 5．如图，和是直立在地面上的两根立柱，的长为6米，某一时刻在阳光下的投影米，在阳光下的投影长为8米，则的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 7．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是（    ）． A．12 B．10 C．13.5或24 D．13.5 8．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，某小区地下车库入口栏杆短臂，长臂，当短臂端点A下降时，长臂端点B升高 m． 10．为测量旗杆的高度，在镜子上作一个标记，观测者看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者的身高为，量得，则旗杆的高度为 ． 11．如图，为了测量操场上旗杆的高度，数学兴趣小组测得小张在操场上的影长恰好等于他的身高．此时，数学兴趣小组又测得旗杆的影长为，则旗杆的高度为 m． 12．图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为 ． 13．如图，小亮要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同一水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记，当他站在处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记重合．已知 ，， 在同一直线上，小亮的眼睛离地面的高度，，，则钟塔的高度为 ． 14．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为 米． 15．如图，工人师傅将一块锐角三角形的铁片通过切割加工成矩形铁片，已知的边长，高，若矩形铁片的一边在边上，点，分别在，边上，若满足，则矩形铁片的面积为 ． 16．如图，小丽家旁边有两棵树，一棵高11米的和一棵高6米的，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，树落在地面上的影子的长为12米，落在小丽家墙上影子的长为2米，另一棵树落在地面上的影子的长为4米，则落在小丽家墙上的影子的长为 米． 三、解答题 17．星期六上午兄妹二人在中心广场上玩耍时，妹妹突然微笑着对哥哥说：“咦，哥我踩到你的‘脑袋’了．”哥哥说：是因为我们的影子在同一直线上（如图所示），请你根据他们的对话，完成下列问题． (1)画出此时妹妹在阳光下的影子； (2)若哥哥身高为，哥哥和妹妹之间的距离为，而妹妹的影子长为，求妹妹的身高． 18．某校社会实践小组为测量大雁塔的高度，如图，在地面上点C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，这时地面上的点F，标杆的顶端点H（点F，G，E，C，A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算大雁塔的高度． 19．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，，，三点共线，于，交于．求旗杆的高度． 20．学科实践——测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯的高度． 活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具， 方案设计：如图，表示路灯的高度．在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过，．（图中各点均在同一竖立平面内） 测量数据：笃行小组按照上述方案，测得米，米． 问题解决： (1)根据笃行小组的测量数据，计算路灯的高度． 质疑反思：在交流中，一位同学对笃行小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可直接到达，将无法测得线段的长，因此不能求得路灯高度．笃行小组在此基础上对原有方案作出补充：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过，．按照此方案，笃行小组的同学认为再测量一条线段，即可求出路灯的高度． (2)他们计划测量的线段是______，若用表示该线段的长，则路灯的高度可用含的代数式表示为______米． 参考答案 1．C 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是设该建筑物的高度为米，根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：设该建筑物的高度为米， ∴， ∴． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了利用相似三角形测高，熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键．根据，得到，得到，代入相关数据即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴ ， ∵， ， ， ∴， ∴： ∴， ∴路灯的高度为． 故选B． 3．A 【分析】此题考查相似三角形的应用，能够根据同一时刻物高与影长成比例，列出正确的比例式，然后根据比例的基本性质进行求解即可． 【详解】解：解：设彭老师举起的手臂超出头顶是，根据同一时刻物高与影长成比例，得， 解得：． 故选：A． 4．B 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，根据同一时刻物体与影长成比例得到对应线段成比例解题即可． 【详解】解：∵同一时刻物体与影长成比例， ∴，即：， 解得：； 故选B． 5．C 【分析】本题考查了平行投影，根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建比例关系即可得出的长． 【详解】解：如图， 在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为8米， ∵，米，米，米， ， ， ∴． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用入射与反射得到，则可判断，于是根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：根据题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该古城墙的高度为． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 由，推出，利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：, ， ， ． 故选：C． 9．1.8 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：根据题意知，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：1.8． 10． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意证明，再利用相似三角形对应边的比相等即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵镜子垂直于地面，反射角等于入射角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．根据在同一时刻身高与影长成比例得出比例式，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∵，， ∴， 故答案为：． 12．/3厘米 【分析】本题考查三角形相似的应用，掌握相似三角形的性质是解题关键．过点O作，垂足为M，作，垂足为N，由题意可知，得出，代入数据求解即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为M，作，垂足为N， 由图可知， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出． 【详解】解：由题意知：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴米， 经检验，是所列方程的解， 故答案为：6． 15． 【分析】本题考查相似三角形的应用，设与的交点为点，设，则，证明，推出，代入数据求出的值即可推出结果．熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．也考查了矩形的判定和性质． 【详解】解：如图，设与的交点为点， 设， ∵， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∴，，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴，， ∴ ∴矩形铁片的面积为， 故答案为：． 16．3 【分析】本题主要考查了平行投影、相似三角形的判定与性质等知识点，根据平行投影的对应边成比例列出方程成为解题的关键． 如图：过点E作于M，过点G作于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式，然后代入求出即可． 【详解】解：如图：过点E作于M，过点G作于N． 由题意得：四边形，是矩形， 则米，，米，米． ∵米，米 ∴， 由平行投影可知：，即， 解得：． 故答案为：3． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的应用； （1）利用阳光是平行投影进而得出小丽在阳光下的影子进而得出答案； （2）利用相同时刻身高与影子成正比进而得出即可 【详解】（1）解：如图，线段为此时妹妹在阳光下的影子； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵哥哥身高为，哥哥和妹妹之间的距离为，而妹妹的影子长为， 即，，， ∴， ∴， ∴妹妹的身高是． 18．大雁塔的高度为米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质，列方程即可得到结论，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】解：由题意可得：, , , , ， , , , (米), , , (米), 答：大雁塔的高度为米. 19． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意得，，，，，即得，，再根据可得，即得，进而即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为． 20．(1)路灯的高为米； (2)；． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和应用．解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． （1）根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； （2）首先根据据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据又米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 【详解】（1）解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； （2）解：他们计划测量的线段是， ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 故答案为：； 学科网（北京）股份有限公司 $$