（配套训练）专题02 长方体和正方体体积计算-2024-2025学年五年级下册数学计算大通关（人教版）

（配套训练）专题02 长方体和正方体计算题大通关 长方体和正方体体积计算 一、长方体和正方体表面展开图 1. 如果图中每个小方格的边长都是1cm,那么下面左、中、右三个展开图围成的长方体或正方体的体积分别是多少立方厘米? 2.下图分别是长方体的表面展开图，请计算原来长方体的体积。 3.下面长方体的侧面展开图是一个正方形，求这个长方体的体积。（单位：分米） 二、计算下面几何体的体积。 1.计算基本图形体积。（单位：cm） 2.计算组合图形体积。（单位:dm） 3.计算拼搭后几何体体积。（每个小正方体的路程都是1cm） 4.计算不规则长方体的体积。（单位：cm） 5.计算挖掉后几何体的体积。（单位：cm） （1）如图所示，从一个长方体的一个角上挖去一个正方形。以下三种说法，哪一种是正确的？ ①体积没有变，表面积变小了； ②表面积没有变，体积变小了； ③体积和表面积都没有变。 （2）如下图，从一个长方体中挖去一个小正方体，剩下的图形体积有多大？ （3）如图，是一个棱长为12厘米的正方体，要在它的前面、右面的中心分别穿一个边长为4厘米见方的孔，直透到对面，求穿孔后正方体的体积。 （4）如图，从一个正方体中挖去一个长方体，使正方体漏空（正方体棱长4分米，长方体底面是一个边长为1分米的正方形）。此时剩下立体图形的体积是多少立方厘米？ （5）如下图，是一个长10厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体，要在它的前面和右面分别从中心部分穿一个边长为2厘米见方的孔，直透到对面，求穿孔后长方体的体积。 （6）如下图，是一个长10厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体，要在它的前面、右面和上面分别从中心部分穿一个边长为2厘米见方的孔，直透到对面，求穿孔后长方体的体积。 三、解决问题。 1.一个长方体,如果高增加2厘米就成了正方体,而且表面积增加56平方厘米,原来这个长方体的体积是多少立方厘米？ 2. 有一个长方体满足以下四个条件,则这个长方体的体积是立方分米。 (1)如果高再增加2分米,它恰好是一个正方体。 (2)长方体的前、后、左、右四个面的面积之和是96平方分米。 (3)它的底面周长是 24分米。 (4)这个长方体的棱长总和是64分米 3. 已知一个长方体的表面积为622平方分米,长为13分米,宽为7分米,那么这个长方体的体积为多少立方分米? 4.一个长方体的相邻两个面的面积之和为77平方厘米,它的长、宽、高都是整数厘米,且都是质数。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 5. 一个长方体,它的正面和上面的面积之和是90,如果已知它的长、宽、高是三个连续的自然数,那么这个长方体的体积是多少？ 6. 小明买了一块长方体蛋糕,和同行的伙伴分享,他决定从上部和下部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体蛋糕后,给自己留下一块正方体蛋糕,结果蛋糕表面积减少了120平方厘米,那么你知道原长方体蛋糕的体积是多少立方米？ 7. 如图,一个长方体的三个面面积分别为6平方厘米、12平方厘米、18平方厘米,那么它的体积为多少立方厘米? 8.如图所示，把3个长方体拼成一个长方体后，表面积减少了32平方厘米，求原来每个长方体的体积。 9.一个正方体被切成24个小长方体，这谢长方体的表面积之和为162平方厘米。求这个正方体的体积。 10.将表面积为24、54、216平方厘米的三个铁质正方体熔铸长一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。 1 学科网（北京）股份有限公司 （配套训练）专题02 长方体和正方体计算题大通关 长方体和正方体体积计算参考解析 一、长方体和正方体表面展开图 1. 如果图中每个小方格的边长都是1cm,那么下面左、中、右三个展开图围成的长方体或正方体的体积分别是多少立方厘米? 【考点】考查长方体和正方体的表面展开图，借助图形求长方体和正方体的体积。 【思维点拨】小正方形的边长为1厘米，所以很容易就可以得到各长方体和正方体的长、宽、高的长度，再运用体积公式直接求出个体积。 （1）长为3厘米、宽为2厘米、高为1厘米，体积为3×2×1=6（立方厘米） （2）正方体的棱长为1厘米，体积为1×1×1=1（立方厘米） （3）长为3厘米、宽2厘米，高为1厘米，体积为3×2×1=6（立方厘米） 2.下图分别是长方体的表面展开图，请计算原来长方体的体积。 【考点】考查学生观察和思维能力，通过观察的出长方体的长宽高，从而运用长方体的体积公式求出个体积。 【思维点拨】左图长方体的长为7分米、宽为4分米，高为（18-7×2）÷2=2（厘米）；右图长方体的长为8厘米、高为（20-8×2）÷2=2厘米、宽为8-2=6厘米。 （1）左图长方体的体积为7×4×2=56（立方分米） （2）右图长方体的体积为8×6×2=96（立方厘米） 3.下面长方体的侧面展开图是一个正方形，求这个长方体的体积。（单位：分米） 【考点】长方体的侧面展开图和体积计算。 【思维点拨】因为侧面展开图是一个正方形，所以底面周长等于高，底面边长为12÷4=3（厘米），在运用长方体的体积公式计算即可。 底面边长为12÷4=3（厘米），高为12厘米，所以体积为3×3×12=108（立方厘米） 二、计算下面几何体的体积。 1.计算基本图形体积。（单位：cm） 【考点】长方体和正方体的体积计算公式运用。 【思维点拨】长方体的体积公式为：体积=长×宽×高；正方体的体积公式为：体积=棱长×棱长×棱长；或长方体和正方体的体积公式为：体积=底面积×高。 （1）5×4×8=160（立方厘米） （2）6×6×6=216（立方厘米） （3）64×7=448（立方厘米） 2.计算组合图形体积。（单位:dm） 【考点】组合几何体的体积计算。 【思维点拨】组合图形的体积是由几个几何体组成的，其体积等于几个基本立体图形的体积之和。 （1）2×2×2+6×4×2=56（立方厘米） （2）12-4=8（厘米） 43+8×12×4=64+384=450（立方厘米） （3）4×4×4+2×2×2+8×8×8=64+8+512=584（立方厘米） 3.计算拼搭后几何体体积。（每个小正方体的路程都是1cm） 【考点】考查小正方体拼搭成的几何体的体积计算 【思维点拨】先计算出一个基本小正方体的体积，再数出每个几何体是由几个基本小正方体组合而成，用一个正方体的体积×个数即可求出其体积。 （1）1×1×1×8=8（立方厘米） （2）1×1×1×9=9（立方厘米） （3）1×1×1×10=10（立方厘米） 4.计算不规则长方体的体积。（单位：cm） 【考点】不规则长方体的体积的计算 【思维点拨】可以利用底面积× 高的计算方法求出体积，把前面的面作为底面积，宽作为高即可。 底面积×高=（4+6）×4÷2×3=60（立方厘米） 5.计算挖掉后几何体的体积。（单位：cm） （1）如图所示，从一个长方体的一个角上挖去一个正方形。以下三种说法，哪一种是正确的？ ①体积没有变，表面积变小了； ②表面积没有变，体积变小了； ③体积和表面积都没有变。 【考点】考查挖掉后的几何体的体积计算 【思维点拨】从顶点处挖掉一个小正方体后，表面积不变，体积为原来正方体的体积减去挖掉的小正方体的体积即可。 长方体的体积减少，表面积不变，答案为② （2）如下图，从一个长方体中挖去一个小正方体，剩下的图形体积有多大？ 【考点】几何体的体积计算 【思维点拨】剩下图形的体积=原来长方体的体积-挖掉的小正方体的体积 10×10×6-3×3×3=600-27=573（立方厘米） （3）如图，是一个棱长为12厘米的正方体，要在它的前面、右面的中心分别穿一个边长为4厘米见方的孔，直透到对面，求穿孔后正方体的体积。 【考点】考查挖穿厚长方体的体积计算 【思维点拨】用原来正方体的体积减去2个长方体的体积，但是2个长方体的体积有重叠部分的体积，所以在加上重叠部分的体积即可。 12×12×12-4×4×12×2+2×2×2=1728-384=8=1352（立方厘米） （4）如图，从一个正方体中挖去一个长方体，使正方体漏空（正方体棱长4分米，长方体底面是一个边长为1分米的正方形）。此时剩下立体图形的体积是多少立方厘米？ 【考点】挖掉后几何体的体积计算 【思维点拨】 很显然，剩下这个立体图形的体积应该用大正方体的体积减去挖去的长方体的体积就可以了。 解：大正方体的体积是：4×4×4=64（立方分米） 长方体的体积是：1×1×4=4（立方分米） 剩下立体图形的体积是64-4=60（立方分米） （5）如下图，是一个长10厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体，要在它的前面和右面分别从中心部分穿一个边长为2厘米见方的孔，直透到对面，求穿孔后长方体的体积。 【考点】挖掉后几何体的体积计算 【思维点拨】用原来长方体的体积减去2个小长方体的体积，加上核心部分重叠的小正方体的体积即可。 解：注意中间2×2×2的小正方体空白处只能算一次， 10×8×5=2×2×8-2×2×10+2×2×2=336（立方厘米） （6）如下图，是一个长10厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体，要在它的前面、右面和上面分别从中心部分穿一个边长为2厘米见方的孔，直透到对面，求穿孔后长方体的体积。 【考点】挖掉后几何体的体积计算 【思维点拨】用原来长方体的体积减去3个小长方体的体积，加上核心部分重叠的小正方体的体积即可。 解：注意中间2×2×2的小正方体空白处只能算一次， 10×8×5-2×2×8-2×2×10-2×2×5+2×2×2×2=324(立方厘米) 四、解决问题。 1.一个长方体,如果高增加2厘米就成了正方体,而且表面积增加56平方厘米,原来这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【考点】长方体的体积计算 【思维点拨】长方体增加一个高2厘米的长方体后成为一个正方体，表面积增加了高为2厘米的长方体的侧面积，通过侧面积公式求出原来长方体的底面周长即可求解。 底面边长：56÷4÷2=7（厘米） 长方体的体积：7×7×（7-2）=245（立方厘米） 2. 有一个长方体满足以下四个条件,则这个长方体的体积是立方分米。 (1)如果高再增加2分米,它恰好是一个正方体。 (2)长方体的前、后、左、右四个面的面积之和是96平方分米。 (3)它的底面周长是 24分米。 (4)这个长方体的棱长总和是64分米 【考点】长方体的体积计算方法 【思维点拨】通过 （1）可以知原来长方体的底面是正方形。 （2）求出前面面积+左面面积=6÷2=32（平方厘米） （3）可以求出正方体的底面周长为24÷4=6=3+3（分米） （4）可运用正方体的棱长体积公式求出棱长：64÷4=16（分米） （5）长方体的体积为：3×3×（16-2）=218（立方厘米） 3. 已知一个长方体的表面积为622平方分米,长为13分米,宽为7分米,那么这个长方体的体积为多少立方分米? 【考点】长方体的体积计算 【思维点拨】用长方体的表面积减去上下2个底面积=侧面积=底面周长×高 622-13×7×2=440（平方厘米） 高=侧面积÷底面周长=440÷[（13+7）×2] =11（厘米） 体积=11×13×7=1001（立方厘米） 4.一个长方体的相邻两个面的面积之和为77平方厘米,它的长、宽、高都是整数厘米,且都是质数。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【考点】长方体的体积计算 【思维点拨】长方体相邻2个面的面积为长×（宽+高）=77 77分解为：77=7×11=（2+5）×11 长宽高长度有2厘米、5厘米、11厘米。 长方体体积=2×5×11=110（立方厘米） 5. 一个长方体,它的正面和上面的面积之和是90,如果已知它的长、宽、高是三个连续的自然数,那么这个长方体的体积是多少？ 【考点】长方体的体积计算， 【思维点拨】采用转化法，把前面和正面2个面的面积转化一个长方形的面积（如图所示） 90=a×（b+h）=6×15=6×（7+8）（符合连续自然数） a×b×h=6×7×8=336 6. 小明买了一块长方体蛋糕,和同行的伙伴分享,他决定从上部和下部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体蛋糕后,给自己留下一块正方体蛋糕,结果蛋糕表面积减少了120平方厘米,那么你知道原长方体蛋糕的体积是多少立方米？ 【考点】长方体体积计算。 【思维点拨】把上下2个长方体进行组合，合并为一个高5厘米的长方体，减少的面积为高5厘米的长方体的侧面积，求出长方体蛋糕的底面边长即可 底面边长：120÷4÷（2+3）=6（厘米） 蛋糕体积：6×6×（6+2+3）=376（立方厘米） 7. 如图,一个长方体的三个面面积分别为6平方厘米、12平方厘米、18平方厘米,那么它的体积为多少立方厘米? 【考点】长方体的体积计算 【思维点拨】先求出三个面的面积的乘积，此乘积就是长方体的体积的平方。 （长×宽）×（长×高）×（宽×高）=6×12×18=1296=36×36 即（长×宽×高）×（长×宽×高）=36×36 体积× 体积=36×36 体积=36（立方厘米） 8.如图所示，把3个长方体拼成一个长方体后，表面积减少了32平方厘米，求原来每个长方体的体积。 【考查】长方体的体积计算 【思维点拨】增加了4个左面的面积（横截面积） 横截面积：32÷4=8（平方厘米） 体积=横截面积×长=8×2=16（平方厘米） 9.一个正方体被切成24个小长方体，这个长方体的表面积之和为162平方厘米。求这个正方体的体积。 【考点】正方体的体积计算 【思维点拨】切了6刀，增加了6×2=12个正方形的面积。 原来正方体的表面积是6个正方形的面积之和，合起来为6+12=18个正方形的面积。所以正方体的一个面的面积为162÷18=9（平方厘米）=3×3 所以正方体的路程为3厘米，体积为3×3×3=27（立方厘米） 10.将表面积为24、54、216平方厘米的三个铁质正方体熔铸长一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。 【考点】正方体的体积计算 【思维点拨】通过每个正方体的表面积求出个各正方体的棱长即可。 24÷6=2×2 54÷6=3×3 216÷6=6×6 所以这个三个正方体的棱长依次为2厘米、3厘米、6厘米；再求出这三个正方体的体积就是熔铸后大正方体的体积。 2×2×2+3×3×3+6×6×6=251（立方厘米） 9 学科网（北京）股份有限公司 $$