第19章 专题7 矩形中的折叠问题-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学习题课件(华东师大版)

第19章　矩形、菱形与正方形 19.1　矩　形 专题7　　矩形中的折叠问题 1 题型1 折叠中求角度 典例1 （新考法）数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（　　） A. 甲和乙的折法都正确 B. 只有甲的折法正确 C. 只有乙的折法正确 D. 甲和乙的折法都不正确 A 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 2 学霸说 　折叠前后的对应角相等. 本题根据两种不同的翻折方式求出对应角，由甲的折叠方式可得∠EAD=___________；由乙的折叠方式可得∠EAF=（___________+___________）. 【答案】 ∠BAD ∠BAB′ ∠DAD′ A 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 1.（教材P100第3题改编）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，将角A沿过点D的折痕翻折，使点A落在BC上的A′处，折痕交AB于点G，若∠BA′G=60°，则∠ADG的度数为（　　） A. 30° B. 15° C. 22.5° D. 20° 变式训练 B 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 4 2.（安徽宿州砀山二模）如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，将△ABM沿AM折叠，使点B落在B′处，若∠AMB=α，则∠B′AD等于（　　） A. α-90° B. α-45° C. 90°-2α D. 90°-α C 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 典例2 （四川成都青羊校级阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=4 cm，BC=8 cm，将此矩形折叠，使得点C与A重合，折痕为EF. （1）求证：AE=AF； （2）求AE的长； （3）求EF的长. 题型2 折叠中求线段长 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 6 学霸说　（1）由折叠性质可得∠AEF=_______，由AD⫽BC，可得∠AFE=_______，所以∠AEF=_______，由“等角对等边”即得AE=AF；（2）设CE=x cm，则BE=（8-x）cm，在Rt△ABE中由勾股定理得______________；（3）过点F作FH⊥BC于H，证四边形CDFH为______，在Rt△EFH中，运用勾股定理即可求EF. 【规范解答】 ∠CEF ∠CEF ∠AFE AE2=AB2+BE2 矩形 【解】（1）证明：由折叠的性质可得，∠AEF=∠CEF. ∵AD⫽BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF. （2）设CE=x cm，则BE=（8-x）cm. 由折叠可知，AE=EC，∴AE=x cm. 在△ABE中，∠ABE=90°，由勾股定理得，AE2=AB2+BE2，即x2=42+（8-x）2，解得x=5，故AE=5 cm. 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 （3）如图，过点F作FH⊥BC于H. 由（1）（2）可知AE=CE=AF=5 cm，则DF=3 cm. ∵∠C=∠D=∠FHC=90°，∴四边形CDFH为矩形. ∴CH=DF=3 cm，FH=CD=4 cm， ∴EH=CE-CH=2 cm. 在△EFH中，∠FHE=90°， 由勾股定理得，EF===（cm）. 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 3.（新考法）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，顶点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E. 那么点E的坐标为（　　） A. B. C. D. 变式训练 A 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 9 4.（黑龙江齐齐哈尔期中）如图，在矩形纸片ABCD中，E为AD上一点，将△CDE沿CE翻折至△CFE，若点F恰好落在AB上，AB=10，BC=6，则AE=（　　） A. B. C. 4 D. 5 A 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 5.（江苏徐州沛县校级一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点. 将∠A，∠B，∠C按如图所示的方式向内翻折，EQ，EF，DF为折痕. 若A，B，C恰好都落在同一点P上，AE=3，则ED=_______. 9 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 典例3 （新趋势 综合与实践）综合与实践：学习完了矩形后，兴趣小组的同学们在一起共同研究矩形的折叠. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处. （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积. 题型3 折叠中求面积 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 12 学霸说　（1）依据矩形的性质以及折叠的性质，即可得到AF⫽_______，AE⫽ _______，进而得到四边形AECF是平行四边形； （2）设CE=x，可得EM=_______，CM=_______，在Rt△CEM中利用勾股定理得__________________，即可得到CE的长，进而得出四边形AECF的面积. 【规范解答】 CE CF 8-x 4 ME2+CM2=EC2 【解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD⫽BC，AB⫽CD，∴∠BAC=∠DCA. 由折叠的性质知，∠EAC=∠BAC，∠FCA=∠DCA， ∴∠EAC=∠FCA，∴AE⫽CF. 又∵AD⫽BC，∴四边形AECF为平行四边形. 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 （2）在Rt△ABC中，AB=6，AC=10， 由勾股定理得，BC==8. 由折叠的性质知，∠ABC=∠AME=90°，AB=AM=6，BE=EM. 在Rt△CEM中，CM=AC-AM=10-6=4， 设CE=x，则BE=EM=8-x，由勾股定理得， ME2+CM2=EC2，即（8-x）2+42=x2，解得x=5. 即CE=5. ∵由（1）得，四边形AECF为平行四边形，∴S四边形AECF=EC·CD=5×6=30. 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 6.（陕西咸阳秦都二模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是AB上一个动点，F是AD上一点（点F不与点D重合）. 连结EF，将△AEF沿EF翻折，使点A的对应点A′落在边CD上，连结EC，若A′E=CE，则△A′EC的面积为_______. 变式训练 3 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 7. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连结DG. （1）求证：△BAF≌△GAE；（2）求图中阴影部分的面积. 【解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ADC=∠C=∠B=∠BAE=90°. 根据折叠的性质可得，AG=CD，∠AGE=∠ADC=90°，∠FAG=∠C=90°. ∴∠B=∠AGE=90°，AB=AG，∠BAE=∠FAG=90°，∴∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠GAE=90°，∴∠BAF=∠GAE，∴△BAF≌△GAE. 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 （2）由题意知，AF=FC，AB=CD=AG=4，BC=AD=8. 在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2=AF2，即42+（8-AF）2=AF2，解得AF=5. 由（1）知△BAF≌△GAE，∴AE=AF=5，∴ED=GE=3. 设△GAE的边AE上的高为h， ∵S△GAE=AG·GE=AE·h，∴h=， ∴S阴影=ED·h=×3×=. 变式1 典例2 变式3 典例3 变式6 变式7 典例1 变式2 变式4 变式5 绿卡图书—走向成功的通行证 18 $$