上海市浦东新区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（一模）

初三数学期末练习卷 考生注意： 1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．如果在一张比例尺为1 : 200的地图上，量得A、B两点的距离是5 cm，那么A、B两点的实际距离是 （A）1 m； （B）10 m； （C）100 m； （D）1000 m． 2．下列四个函数中，图像经过原点的是 （A）； （B）； （C）； （D）．（第3题图） 3．如图，已知AB//CD//EF，那么下列结论正确的是 （A）； （B）； （C）； （D）． 4．如果两个相似三角形的周长分别是5 cm、16 cm，那么这两个三角形对应角平分线的比是 （A）25∶256； （B）5∶16； （C）∶4； （D）以上都不对． 5．在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在4×4的网格中，点A、B、C都在格点上，那么∠BAC的正切值是 （A）； （B）； （C）2； （D）． （第5题图） 6．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝1；③m的值为0；④图像不经过第三象限； ⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是 （A）①②④； （B）①②⑤； （C）②③④； （D）③④⑤． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．已知，那么的值是　 ▲ 　． 8．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝　 ▲ 　． 9．计算：＝　 ▲ 　． 10．如果小华在小丽北偏东65°的位置上，那么小丽在小华　 ▲ 　的位置上． 11．沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度i＝　 ▲ 　． 12．二次函数的图像上有两个点（2，）、（3，），那么　 ▲ 　（填“＞”“＝”或“＜”）． 13．如图，在□ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在边BC上，联结AE并延长，与DC的延长线相交于点F，如果CF＝1，那么CE＝　 ▲ 　． 14．在△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，如果CG＝4，那么AB＝　 ▲ 　． 15．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，如果BC＝9，，那么 DE＝　 ▲ 　． 16．如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离　 ▲ 　米时落到地面．（第17题图） （第16题图） y （第13题图） 17．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，过点A作AB的垂线，与边CD相交于点E，联结BE．如果tanC＝tan∠AEB＝2，且AD＝，那么CE的长是　 ▲ 　． 18．将平行四边形ABCD的边BC沿直线l翻折后，点B、C的对应点Bꞌ、Cꞌ落在直线AD上．如果 AB＝2BC，，那么此平行四边形四个内角中，锐角的余弦值为　 ▲ 　． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：． 20．（本题满分10分，每小题各5分）（第20题图） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosB＝．点D是边AB的中点，过点D作CD的垂线，与边BC相交于点E． （1）求线段CE的长； （2）求sin∠BDE的值． 21．（本题满分10分，第1小题每空2分，第2小题4分） 如图，平行四边形ABCD中，点E为边CD上的一点，CE＝2DE，AC与BE相交于点F，设，．（第21题图） （1）用向量、分别表示下列向量； ； ； ； （2）在图中求作分别在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量） 22．（本题满分10分） 上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地．某校实践小组利用所学知识测量双子山主峰的高度，他们设计了两个测量方案，并利用课外时间完成了实地测量．下面是两个方案的示意图及测量数据． （第22题图1） （第22题图2） 方案一：测量距离CD，仰角α，仰角β． 方案二：测量高度CD，仰角α，仰角β． 测量项目 CD α β 方案一 10 m 12° 11.5° 方案二 1.3 m 12° 11.7° 任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰AB的高度（结果保留1位小数）．参考数据见下表： 三角比 角度 sin cos tan cot 12° 0.208 0.978 0.213 4.705 11.5° 0.199 0.980 0.204 4.915 11.7° 0.203 0.979 0.207 4.829 任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米．请你用一句话简单说明你求出的高度与48米不一致的原因： ． 23．（本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分） 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边AB上的一点，联结CD，过点B作BE⊥CD， 垂足为点E． （1）求证：△BDE∽△CBE；（第23题图） （2）如果AB＝BC，联结AE并延长，与边BC相交于点F．当点F是BC的中点时， 求证：． 24．（本题满分12分，每小题各4分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M1：与x轴交于点A（3，0）和点B，与y轴交于点C（0，5）．x y O （1）求抛物线M1的解析式； （2）把抛物线M1向下平移m个单位（m＞0）得到抛物线M2， 记抛物线M2的顶点为D，与y轴交于点E， 直线DE与x轴交于点P． ①当点P与点A重合时，求m的值； ②记点B平移后的对应点为Bꞌ，如果BD//BꞌP， 求此时点D的坐标．（第24题图） 25．（本题满分14分，第1、2小题各5分，第3小题4分） 在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，P是线段OC上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作AD、CD的平行线，交CD于点E，交BC、BD于点F、G，联结EG． （1）如图1，如果PC＝2OP，求证：EG∥AC； （2）如图2，如果∠ABC＝90°，，且△DGE与△PCF相似．请补全图形，并求的值； （3）如图3，如果BA＝BG＝BC，且射线EG过点A．请补全图形，并求∠ABC的度数． （第25题图1） （第25题图2） （第25题图3） 初三数学 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22 ． 任务一： 选择方案 ． 解 ： 任务二： ． 2 3 ． 证明：（1） （2） ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20 ． 解： （1） （2） 2 1 ．解： （1） ； ； ； （2 ） ) ( （第20题图） ) ( 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 )初三数学期末练习卷答题纸 ( （第 22 题图 1 ） ) ( 学校： 班级： 姓名： 考 试 号： ) ( 条码区 ) ( （第2 3 题图） ) ( （第 21 题图） ) ( （第 22 题图 2 ） ) ( 一 、 选择题 1     2     3     4     5     6     请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题 7 . 8. 9. 1 0. 11. 12. 13. 14. 15. 1 6. 17. 18. 三、解答题 1 9 ． 解： ) ( 填 涂 样 例 注 意 事 项 1 . 答题前，考生先将自己的 学校、 班级、姓名、考 试 号填写清楚，并认真核对 条形码上的 信息 。 2. 选择题部分必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、 水笔 或 圆珠笔 书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不折叠，不破损。 ) ( 错误 填涂 ) ( 正确填涂 ) ( 25． 解：（1） （ 2 ） （ 3 ） 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 24． 解：（1） （2） ① ② 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( （第2 5 题图 1 ） ) ( x y O ) ( （ 备用 图） ) ( （第2 4 题图） ) ( （第2 5 题图 3 ） ) ( （第2 5 题图 2 ） ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浦东新区2024学年度第一学期期末练习卷 初三数学参考答案及评分说明 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．C； 3．A； 4．B； 5．D； 6．C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．； 8．； 9．； 10．南偏西65°； 11．； 12．＞； 13．； 14．12； 15．3 ； 16．10； 17．5； 18．． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式＝ ………………（8分）（每个三角比的值各2分） ＝ ………………………（1分）（化简正确得1分） ＝ ……………………………（1分）（计算正确得1分） 20．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∵点D是边AB的中点， ∴CD＝ BD＝AB．…………………………………………………（1分） ∴∠DCB＝∠B．………………………………………………………（1分） ∵cosB＝， ∴cos∠DCB＝．……………………………………………………（1分） ∵AB＝10， ∴CD＝5．………………………………………………………………（1分） ∵DE⊥CD， ∴∠CDE＝90°． ∴在Rt△CDE中，cos∠DCB＝＝． ∴CE＝．……………………………………………………………（1分） （2）过点E作EH⊥AB，垂足为点H．…………………………………（1分） ∵在Rt△CDE中，CD＝5，CE＝， ∴DE＝＝．……………………………………………（1分） 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵cosB＝，∴BC＝8． ∴BE＝＝ ．……………………………………………… （1分） ∵在Rt△BEH中，cosB＝，∴sinB＝．∴EH＝．………… （1分） ∴在Rt△DEH中，sin∠BDE＝＝．………………………… （1分） 21．解：（1），，……………………………………………（6分） （2）正确作图……………………………………………………………… （2分） 写出结论…………………………………………………………… （2分） 22．解：任务一【方案选择】方案一 / 方案二．…………………………………… （1分） 【方案一】法1：在Rt△ABC中，∠B＝90°，α＝12°，， ∴．…………………………………………………………（2分） 在Rt△ABD中, ∠B＝90°，β＝11.5°，， ∴……………………………………………………………（2分） ∴，即．…………（1分） ∴． 解得：BC≈226.67．………………………………………………………（2分） ∴AB≈48.3米．……………………………………………………………（1分） 【方案一】法2：在Rt△ABC中, ∠B＝90°，α＝12°，， ∴．…………………………………………………………（2分） 在Rt△ABD中, ∠B＝90°，β＝11.5°，， ∴．……………………………………………………………（2分） ∵BD－BC=CD，即．………………………（1分） ∴． 解得：AB≈47.6．…………………………………………………………（2分） ∴AB≈47.6米．……………………………………………………………（1分） 【方案二】法1：在Rt△ABC中, ∠B＝90°，α＝12°，， ∴．…………………………………………………………（2分） 在Rt△AED中, ∠AED＝90°，β＝11.7°，， ∴．…………………………………………………………（2分） 由题意可得：BC=DE，BE=CD． ∵AB－BE=AE，即．………………………（1分） ∴． 解得：BC≈216.67．………………………………………………………（2分） ∴AB≈46.2米．……………………………………………………………（1分） 【方案二】法2：在Rt△ABC中, ∠B＝90°，，， ∴．……………………………………………………………（2分） 在Rt△AED中, ∠B＝90°，β＝11.7°，， ∴．…………………………………………………………（2分） 由题意可得： BC=DE，BE=CD． ∵CB=DE，即．……………………………………… （1分） ∴． 解得：AB≈50.6．…………………………………………………………（2分） ∴AB≈50.6米．……………………………………………………………（1分） 50.8米、45.4米、46.8米、49.9米等答案比照得分． 任务二：从物理（测量）、地理（海拔）或数学（乘法与除法的选择、精确度）等角度进行分析，言之有理均可得分．………………………………………………（1分） 23．证明：（1）∵BE⊥CD， ∴∠CEB=∠BED=90°．………………………………………… （1分） ∴∠ECB +∠CBE=90°．………………………………………… （1分） ∵∠ABC=90°， ∴∠DBE +∠CBE=90°．………………………………………… （1分） ∴∠ECB =∠DBE．………………………………………………… （1分） ∴△BDE∽△CBE．………………………………………………… （1分） （2）方法一： ∵BE⊥CD，点F是BC的中点， ∴CF=EF． ∴∠ECF =∠CEF． 由（1）可知∠ECB =∠DBE， ∵∠CEF =∠AED， ∴∠AED=∠ABE．………………………………………………… （1分） ∵∠EAD =∠BAE， ∴△AED∽△ABE． ………………………………………………… （1分） ∴． 又 由（1）知△BDE∽△CBE， ∴．…………………………………………………… （1分） ∴. 不妨设FB=FC=FE=a， 那么AB=2a，，，………………… （1分） ∵， ∴，可得．…………………… （1分） ∴．…………………………… （1分） ∴AE=BD． ∴．…………………………………………… （1分） 方法二：∵点F是BC的中点，∠CEB=90°， ∴CF=EF． ∴∠ECF =∠CEF． 由（1）可知∠ECB =∠DBE， ∵∠CEF =∠AED， ∴∠AED=∠ABE．………………………………………………… （1分） ∵∠EAD =∠BAE， ∴△AED∽△ABE． ………………………………………………… （1分） ∴． ∴．………………………………………………… （1分） ∵∠ECB =∠DBE，∠BDE =∠CDB， ∴△BED∽△CBD．………………………………………………… （1分） ∴．……………………………………………………… （1分） 即． ∴． ……………………………………………………… （1分） ∵AB=BC， ∴AE=BD． ∴．………………………………………………… （1分） 使用其他方法证明，比照得分． 24．解：（1）将，代入解析式，有： ……… （2分） 解得：，． ∴抛物线M1的解析式为：． ……………………………… （2分） （2）方法一： ①由题意，抛物线M2的解析式可设为：． 那么：，． …………………………………………… （1分） 又∵ 点P与点重合，即直线DE过点A， 过点D作DH⊥x轴，垂足为点H， 易得DH∥OE， ∴，代入有：． …………………………………… （2分） ∴．………………………………………………………………………… （1分） 方法二： ①由题意，抛物线M2的解析式可设为：． 那么：，． …………………………………………… （1分） 直线DE的解析式为：， ∴ …………………… （2分） 又∵ 点P与点重合， ∴， ∴．………………… （1分） ② 记抛物线对称轴与x轴交于点H，那么，且DH//BBꞌ//y轴． 当点P在点B左侧时，由，有：； ……… （1分） 当点P在点B右侧时，仍由，有：；…… （1分） 解得：， ∴点D的坐标为． ……………… （2分） 使用锐角的三角比或其他方法求解，比照得分． 25．解：（1）∵PC=2PO，PG∥CD，∴．……………… （1分） 在平行四边形ABCD中，OA=OC，∴． ………………… （1分） 又∵PE∥AD， ∴． ………………………………………… （1分） ∴ ． ………………………………………………………………… （1分） ∴ EG∥OC． …………………………………………………………………… （1分） （2）∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD为矩形． ∴OC=OD， ∴∠GDE=∠PCE=∠CPF，………………………………… （1分） 又∵∠CFP=∠ABC=90°，且∠DEG＜90°， ∴只能∠DGE=90°，∠DEG=∠PGE=∠PCF． …………………………… （1分） ∴ 此时有：△DGE∽△PFC∽△ABC． 设CE=4k，那么PE=6k，PG=9k，EG=，DE=13k． ……………… （2分） ∴ ， ∴ ． ……………………………………… （1分） （3）∵BA=BC， ∴ 平行四边形ABCD为菱形． 设FB=FG=a，PF=FC=CE=b，∴ GP=． ∵ GP∥CE， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴（负根已舍）． ∴ ， ∴． ……………………… （2分） ∴ ， 又∵∠ADG=∠BDA， ∴△DGA∽△DAB． …………… （1分） ∴ 设∠DAG=∠DBA=∠ADB=， 那么∠BAG=∠BGA=2． ∴ ， ∴． ∴ ∠ABC=72°． …………………………… （1分） （2）（3）中画对图形或者直接写对答案可得1分，但既画对图形又直接写对答案每小问仍得1分． 初三数学答案 —3— 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