5.3.1 函数的单调性 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性与导数 y x 0 问题1 判断函数单调性的方法？ 问题引入 (1)图像法 (2)定义法 (3) 增+增=增，减+减=减 (4)复合函数同增异减 3 x1 x2 f(x1) f(x2) 称f(x)在D上单调递增; 称f(x)在D上单调递减; 当x1 <x2时， 都有f(x1)<f(x2)， f(x1) f(x2) x1 x2 都有f(x1)>f(x2)， < < > < 设函数f(x)定义域为I，对于定义域内某个区间D上任意两个自变量值x1, x2, a b x y=f(x) a b x y=f(x) 问题引入 当x1 <x2时， 问题2 函数单调性的定义是什么？ 设函数f(x)定义域为I，假如对于定义域内某个区D上任意两个自变量值x1, x2, 问题引入 问题3 用定义法证明函数单调性的步骤是什么？ 第一步：取值：任取 且 . 第二步：作差变形： 作差 ，并通过因式分解、通分、 配方、有理化等方式转化成易判断正负的式子. 第三步：定号：确定 的正负. 第四步：结论： 根据 的符号及定义判断函数单调性. 如何运用已有知识解决？ 问题引入 问题4 6 由函数单调性的定义知： 函数的平均变化率 导数 瞬时变化率 极限 探究新知 如果函数 在区间 内是单调递增，则 7 高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t改变函数 h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11 高台跳水运动员速度v随时间t改变函数 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间运动状态有什么区分?如何从数学上刻画这种区别？ v(t)=h (t)＝ ① h(t)↗ ②h(t)↘ ① h(t)>0 －9.8t＋4.8 探究新知 ② h(t)＜0 观 察 一 h t o v t v o o 探究新知 我们能否有的正负来判断函数的单调性呢？ 思考 ① h(t)>0 ② h(t)＜0 v t v o o ① h(t)↗ ②h(t)↘ h t o 再观察下面一些函数图象, 探讨导函数正负与其对应函数单调性关系: 探究新知 y x o （1） y x o （2） x y o （3） （4） x y 观 察 二 再观察下面一些函数图象, 探讨导函数正负与其对应函数单调性关系: 再观察下面一些函数图象, 探讨导函数正负与其对应函数单调性关系: f (x)>0 f (x)↗ f (x)<0 f (x)↘ f (x)>0 f (x)↗ f (x)>0 f (x)↗ f (x) <0 f (x) ↘ f (x)<0 f (x)↘ f (x)=1 f (x)=2x f (x)=3x2 探究新知 y x o y x o x y o f (x)>0 f (x)↗ f (x) 再观察下面一些函数图象, 探讨导函数正负与其对应函数单调性关系: 一般地,函数单调性与其导函数正负有以下关系: 如果f (x)>0 函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增; 如果f (x)<0 函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减; 如果在某个区间上恒有 f (x)=0,那么函数 f (x)有什么特性? f (x)=c，f (x)为常数函数. 探究新知 在某个区间 (a,b)上， 一、函数的单调性与导函数正负的关系 思考： 归纳总结: 函数y=f (x)在这个区间内单调递增; 如何运用已有知识解决？ 问题4 学以致用 13 问题4 学以致用 14 例1.已知导函数f (x)以下信息: 当1<x<4时, f (x)>0; 当x>4时,或x<1时, f (x)<0 当x=4,或x=1时, f (x)=0. 试画出函数f(x)图象大致形状 解 用一下 练一练 例2. 用一下 A B 总结 二、 利用导数判断函数的单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数的零点; 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性. 判断以下函数单调性,并求出单调区间 练一练 y x o 1 1 学习小结 这节课你学会了哪些知识呢？ 导数 f (x) > 0 导数 f (x) < 0 函数单调性与导数正负的关系是: 判断函数的单调性并画出函数图像的大致形状 函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增; 函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减; 一个中心 应用 作业 加油！ 你们是最棒的！ 1.课本89页练习1-3题（必做） 2.课时作业18 （第1-9题必做，第10题选做） 谢 谢 聆 听 $$