4.2.1 等差数列的概念 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

年级：高二 学科：数学 课题：等差数列的概念 1.数列的定义： 按确定的顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做数列的项. 2.数列的通项公式： 如果数列的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式 ，记作： 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么 这个式子叫做这个数列的递推公式. 3.数列的递推公式： 复习回顾 我们知道，数列是一种特殊的函数。 一、 新课引入 理解函数的一般概念 了解函数的变化规律的研究内容（单调性、奇偶性等） 引导语： 研究基本初等函数 加深对函数的理解 掌握了幂函数、指数函数、 对数函数、三角函数等模型 问题1：类似地，在了解了数列的一般概念后，我们应该研究数列的哪些内容呢？ 了解数列的一般概念 研究一些具有特殊变化规律的数列 建立它们的通项公式和前n项和公式 运用它们解决实际问题和数学问题 感受数学模型的现实意义与应用 请看下面几个问题中的数列. 二、等差数列的概念 1.北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81. ① 2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48. ② 北京天坛圜丘坛 3.测量某地面垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为 25，24，23，22，21. ③ 问题2：在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律.例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律. 二、等差数列的概念 类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 9，18，27，36，45，54，63，72，81. ① 对于数列①，我们发现 18=9+9，27=18+9，........，81=72+9 换一种写法就是 18-9=9，27-18=9，........，81-72=9 如果用{}表示数列①，那么有 -1=9，-=9，........，-=9 这表明，数列①有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 等差数列定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 都等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列. 公差d 符号表示： 起始位置 作差顺序 定值特征 an-1, an, an+1,…… d d 9，18，27，36，45，54，63，72，81. 38，40，42，44，46，48. 25，24，23，22，21 a1, a2, a3, a4, … , 或 二、等差数列的概念 的差 概念辨析 1.判断以下数列是等差数列吗？若是，你能指出它们的公差吗？ 公差是3 (3)1,1,1,1,1； 公差是0 (2)6，4，2； 公差是-2 (1)4，7，10，13，16; (5)-3，-2，-1，1，2，3 . d>0 ⇔增数列 d<0 ⇔减数列 d=0 ⇔常数列 总结：可以利用等差数列定义判断一个数列 是否为等差数列. 是 是 是 不是 （4）2,3,5,7,9,11，…… 不是 2、在如下的两个数之间，插入一个什么数后，这三个数就会 成为一个等差数列： （1）2 ，（ ） ， 4 （2）-12，（ ） ，0 （3）647 , ( ) , 895 3 -6 等差中项 由三个数,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做和b的等差中项. 追问3-1： （1）写出等差中项：647 , ( )， 895； （2）若m，4，9成等差数列，求 m 的值. 问题3：试探究A与和b之间有着怎样的运算关系？ 2A=+b 2×4=9+m, m=-1 771 三、等差数列的通项公式 问题探究：如果已知一个等差数列的首项是 a1 ，公差是 d ， 那么你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 分析1：根据等差数列的定义： 可得 由此得到： 归纳法 （通项公式） 由此得到： （通项公式） 分析2：根据等差数列的定义： 累加法 即 三、等差数列的通项公式 探究：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ ddnd), 所以当d≠0时，等差数列{}的第n项是一次函数dxd)(x∈R)当x时的函数值，即 事实上，公差d≠0的等差数列{}的图象是点(，)组成的集合，这些点均匀分布在直线dxd)(x∈R)上. 反之，任给一个一次函数b (,b为常数)，则b，b， ........，b，........ 构成一个等差数列{b}，其首项为b，公差为. d. dxd) dxd) . . . . . . 四、例题练习，知识运用 例1 （1）已知等差数列{}的通项公式为求{}的公差和首项； （2）求等差数列8的第20项. （1）已知等差数列{}的通项公式，根据等差数列的定义，由--1=，即可求出公差d.，将代入到通项公式中即可求出首项. 分析： （2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求出数列的第20项. 四、例题练习，知识运用 例1 （1）已知等差数列{}的通项公式为求{}的公差和首项； （2）求等差数列8的第20项. 解： （1） 当时，由{}的通项公式为，可得 . 公差 把时代入通项公式，得 所以，{}的公差为-2，首项为3. 四、例题练习，知识运用 例1 （1）已知等差数列{}的通项公式为求{}的公差和首项； （2）求等差数列8的第20项. 解： （2） 由已知条件，得 把代入，得 把代入上式，得 所以，这个数列的第20项是-49. 四、例题练习，知识运用 例2 -401是不是等差数列-5，-9，-13，.........的项？如果是，是第几项？ 先求出数列的通项公式，它是一个关于正整数的方程，再看是否能使方程有整数解. 分析： 解： 由， 得这个数列的通项公式为 解这个关于正整数的方程得 所以，-401是这个数列的项，是第100项. 1.已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{an}的通项公 式为(　　) A.an＝3n－1　 B.an＝2n C.an＝2n＋3 D.an＝3n＋2 课堂检测 A 2.地面到10km高空气温随高度的变化成等差数列： 高度/km 1 2 3 4 …… 9 气温/ 21.5 15 8.5 2 …… ？ -30.5 3. -20是不是等差数列 0， ，-7, … …中的项？如果是，是第几项？ 解： 所以，-20不是数列中的项。 等差数列 an=a1+(n-1)d 直线上均匀排开的一群孤立的点 1.定义: 数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 3.通项公式: 4.图象: 课堂小结 2.等差中项：a，A，b成等差数列 2A=a+b 两个定义 两个公式 两种方法：归纳法、累加法 d＞0⇔等差数列是递增数列．d＜0⇔等差数列是递减数列． d＝0⇔等差数列是常数列． 作业： 完成课本第15页 《练习》第1、2、3题 思考：第4、5题 $$