2.2基本不等式课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

年级：高一 学科：数学 课题：基本不等式(第一课时) 2025/1/23 （3） = （2） = （1）正方形 的边长为 把“风车”抽象成平面图形.在正方形 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为 . 正方形 的面积为 ，4个直角三角形的面积和为 ，则 （4）由图可知， ，即： 模板来自于 http://docer.mysoeasy.com 等号成立条件 两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数 几何平均数 算术平均数 前提 条件 6 7 10 感谢您的观看！ 创设情境 导入课题 问题1：你能从长度和面积方面，找出一些相等关系和不等关系吗？ 由上一节课的重要不等式知：对于，，有，当且仅当时，等号成立. 对于，，得到 问题2：如果，，我们用，分别代替重要不等式中 的，，可以得到怎样的式子呢？ 变形得到，当且仅当时，等号成立. 基本不等式的定义 若，，则，当且仅当时，等号成立. 问题3：通过重要不等式的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质直接推导出基本不等式呢？ 证法一：作差比较法 当且仅当时，即时，等号成立. 基本不等式的证明 ⑤ ① 你能归纳一下用分析法 证明命题的思路吗？ 根据上述证明过程， 你能说说分析法证 明格式是怎样的吗？ ② ③ ④ 基本不等式的几何解释 问题4：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb．过点C作垂直于AB的弦DE，连接，，你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 思考：你会用a，b表示OD和CD长度吗？ 基本不等式的简单应用 例1、已知，求的最小值. 思考1：“求的最小值”含义是什么呢？ 求最小值,就是求出一个（）， 使都有. 代数式的最小值是代数式能取到的值中最小的值. 例1、已知，求的最小值. 思考2：本题中要求最小值的代数式有什么结构特点？ 是否可以利用基本不等式求其最小值？如果能，如何求呢？ 解：因为，所以 当且仅当，即时，等号成立，因此所求的最小值为. 思考3：在上述的解答过程中，是否必须说明“当且仅当，即时，等号成立”？ 是的最小值吗？ 当时，成立吗？ 这时能否说是的最小值呢？ 代数式能否转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或积是否是一个定值，不等式的等号是否能取到。 简称：“一正、二定、三相等” 思考4：通过本例的解答，你能说说满足什么条件的代数式 能够利用基本不等式求最值吗？ 例2 已知都是正数，求证： （1） 若积等于定值，那么当时，和有最小值； （2） 若和等于定值，那么当时，积有最大值. 问题5：通过本题，你能说说基本不等式能解决什么样的问题吗？ 两个正数的积为定值，当两个数取什么值时，求它们的和的最小值. 两个正数的和为定值，当两个数取什么值时，求它们的积的最大值. （4）本节课有哪些数学思想方法呢？ 归纳小结 （1）什么是基本不等式？如何推导得到基本不等式？ （2）基本不等式的代数特征是什么？如何从几何图形上解释？ （3）基本不等式的使用条件是什么？如何利用基本不等式解 决最值问题？需要注意什么？ 第一种：必做题（每位同学独立完成） 教科书习题2.2第1题、第2题； 第二种：选做题（可商量或讨论完成） 《试吧》第25页综合练习的第5题 第三种：拓展延伸题（小组合作完成） 查阅文献或网络，收集基本不等式的其它证明方法。 布置作业 1、 已知，求的最小值及相应的值． 2、 已知，求的最大值及相应的值. 目标检测设计 $$