精品解析：浙江省绍兴市诸暨市2024-2025学年上学期八年级数学期末测试卷

2024-2025学年第一学期期末考试试卷 八年级数学 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）． 1. 如图是四款新能源汽车图标，其中是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐一分析判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，可知图①②是轴对称图形，图③④不是轴对称图形， 即轴对称图形有2个． 故选：B． 2. 一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：设第三边的长为， ∵一个三角形的两边长分别为和， ∴，即， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 3. 若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、若，则应为，原说法错误，故不符合题意； B、若，则应为，原说法错误，故不符合题意； C、若，则应为，原说法错误，故不符合题意； D、若，则，原说法正确，故符合题意， 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点M（2，－1）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特点及M的坐标，即可判定． 【详解】解：，， 点M在第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标特点，熟记各象限内点的坐标的符号是解决本题的关键． 5. 不等式组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集即可． 【详解】解：等式组的解是． 故选：B． 6. 下列选项中的命题是真命题的是（ ） A. 是方程的解 B. 若，则 C. 三角形的三条高线交于三角形内一点 D. 等腰三角形的内角都相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、解一元二次方程、垂心、等腰三角形的定义、真命题，熟练掌握方程的解法和等腰三角形的定义是解题关键．根据解分式方程、解一元二次方程、垂心、等腰三角形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：， ， ， 经检验，是分式方程的解；则选项A是真命题； ， ， 或， 方程的解为或，则选项B是假命题； 锐角三角形的三条高在其内部，三条高的交点在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，三条高的交点在直角顶点处；钝角三角形有两条高在三角形的外部，三条高的延长线的交点在三角形的外部，则选项C是假命题； 等腰三角形的两个底角相等；则选项D是假命题； 故选：A． 7. 直角三角形中，点为中点，，，则长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵在直角三角形中，点为中点，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质、举反例，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．找出满足，但的选项即可得． 【详解】解：A、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意； B、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意； C、此项中，但，能作为反例，则此项符合题意； D、此项中，不能作为反例，则此项不符合题意； 故选：C． 9. 两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的识别，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据题目中各函数图像，分析函数解析式中一次项系数和常数项的正负情况，然后结合函数解析式分析判断即可． 【详解】解：A.由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意； B. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意； C. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式满足此条件，本选项正确，符合题意； D. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 10. 某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，正确得出与的面积相等是解题关键．过点作于点，过点作，交延长线于点，先求出和，根据含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，根据三角形的面积公式可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求出，由此即可得． 【详解】解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，，，，， ∴， ∴在中，， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴在中，， ∴， ∴， 同理可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证：， ∴，， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， 如图②，过点作于点， 则， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）． 11. 根据“5与的差大于0”可列出不等式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式，正确理解题意，弄清运算顺序和不等关系是解题的关键．根据题意列出不等式即可． 【详解】解：根据“5与的差大于0”可列出不等式． 故答案为：． 12. 点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点关于坐标轴对称，根据点关于x对称的特征，横坐标不变，纵坐标变成相反数，即可得到答案； 【详解】解：∵点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数； ∴点关于轴对称点的坐标是． 13. 已知与成正比例，当时，，那么关于的函数表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，理解正比例函数的定义是解题关键．一般地，两个变量之间的关系式可以表示成形如的函数（为常数且，的次数为1），那么就叫做正比例函数．根据正比例函数的定义，设出与的函数表达式，再将，代入求解，即可获得答案． 【详解】解：设关于的函数表达式是， 因为当时，， 所以有， 解得， 所以关于的函数表达式是． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，第一象限内一点到x轴和y轴的距离相等，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了求点到坐标轴距离，熟练掌握点到轴的距离为这点的纵坐标的绝对值、点到轴的距离为这点的横坐标的绝对值是解题关键．根据点到轴的距离为这点的纵坐标的绝对值、点到轴的距离为这点的横坐标的绝对值建立方程，解方程求出的值，再根据第一象限内的点的横、纵坐标均大于0求解即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，此时点坐标为，位于第一象限内，符合题意； 当时，，此时点的坐标为，位于第四象限内，不符合题意； ∴ 故答案为：1． 15. 命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是______ 【答案】如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，找出已知命题的题设和结论，即可写出其逆命题． 【详解】解：“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的题设为：如图一个三角形是等腰三角形，结论为：那么它底边上的高线和中线互相重合 ∴该命题的逆命题为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形 故答案为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形． 【点睛】此题考查的是写一个命题的逆命题，掌握逆命题的定义是解决此题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，结合轴对称的性质以及垂线段最短的性质可得当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值，设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，首先求得直线的解析式，进而确定点，易得为等腰直角三角形，再证明为等腰直角三角形，进而解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点， 则，，， ∴， 过点作的平行线，由图可知线段在直线上方， 故当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值， 设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、垂线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数的应用等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，第17~21题每题6分，第22、23题7分，第24题8分，共计52分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）． 17. 解下列不等式 （组）． （1）解不等式； （2）解不等式组 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）按照解一元一次不等式的一般步骤运算即可； （2）分别解出两个一元一次不等式，然后取公共部分即可． 【小问1详解】 解：移项得：， 合并同类项得： 系数化为1得： 【小问2详解】 解得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式和一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形； （2）求出的面积． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形、坐标与图形，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）结合平面直角坐标系，利用一个正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． ． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴的面积为． 19. 如图，已知，点在同一直线上． （1）若，，求的度数； （2）若，点是的中点，求的长． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）首先根据全等三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）首先根据全等三角形的性质可得，结合点是的中点可得，然后由求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点．已知点，作直线． （1）求直线的函数表达式： （2）若点D在直线上，且，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，再根据可得轴，从而可得点的横坐标，然后代入直线的解析式求出点的纵坐标，由此即可得． 【小问1详解】 解：对于一次函数， 当时，， 则， 设直线的函数表达式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：对于一次函数， 当时，，解得， 则， ∵， ∴轴于点， ∴点的横坐标与点的横坐标相等，即为3， 将代入一次函数得：， 所以点的坐标为． 21. 如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，． （1）若，，求的度数： （2）若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． （1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，由此即可得； （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ． 22. 2024年诸暨美人城盛大开业，小聪与几个好朋友一起去街区消费购买同山烧饼和西施桂花糕．已知他们总共带有100元现金，已经买了5个同山烧饼和8个西施桂花糕，每个同山烧饼8元，每个西施桂花糕4元． （1）问他们最多还能再购买几个同山烧饼? （2）若再购买x个同山烧饼和y个西施桂花糕，恰好把现金用完，且，则同山烧饼和西施桂花糕总共最多能再购买多少个? 【答案】（1）他们最多还能再购买3个同山烧饼 （2）同山烧饼和西施桂花糕总共最多能再购买6个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用，正确建立不等式和方程是解题关键． （1）设他们还能再购买个同山烧饼，根据总花费不超过总共带的现金建立不等式，解不等式，结合为正整数即可得； （2）先根据题意建立关于的二元一次方程，再找出符合题意的正整数的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：设他们还能再购买个同山烧饼， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为3， 答：他们最多还能再购买3个同山烧饼． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， ∵都是正整数，且， ∴或， ∴或， 答：同山烧饼和西施桂花糕总共最多能再购买6个． 23. 在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点． （1）先判断的形状，再说明理由； （2）线段上取一点D，使得是以为腰的等腰三角形，求点D的坐标； （3）若在x轴上有一点M，在直线上有一点N，满足，求点M的坐标． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解析 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、勾股定理的逆定理、两点之间的距离公式、全等三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数的应用是解题关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再分别求出的值，然后根据勾股定理的逆定理求解即可得； （2）先求出，，再分两种情况：和，利用等腰三角形的性质求解即可得； （3）设点的坐标为，则，再根据全等三角形的性质可得，据此求解即可得． 【小问1详解】 解：直角三角形，理由如下： 对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即， ∵， ∴，，， ∴，且， ∴是直角三角形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，． ①如图，当时，是以为腰的等腰三角形， ∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴此时； ②如图，当时，是以为腰的等腰三角形， ∴， ∵点在线段上，， ∴点的横坐标为， ∴此时； 综上，点的坐标为或． 【小问3详解】 解：由题意，设点的坐标为， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 24. 结合某老师提供的学案设计片段，解决各环节中的问题： 拓展课：《纸张上的折叠和作图》 学习目标： …… 学习重难点： …… 学习环节 学习过程 图形 环节1： 复习引入 复习小学关于正方形的知识．正方形中存在多个等量关系，例如：如图①，因为为正方形，所以，等． 环节2： 折叠正方形 问题1：将正方形纸张对折，使得与重合，折痕为 （如图②），则所在直线是的_____． 环节3： 折叠后作画 问题2：如图③，上取一点G，连接，使得，过点G作的垂线交于点H，连接，求证：． 环节4： 猜测并说理 问题3：图③中，猜测的度数，并说明理由． …… …… …… 【答案】问题1：垂直平分线；问题2：证明见解析；问题3：，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握折叠的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． 问题1：根据折叠的性质可得垂直平分，由此即可得； 问题2：先利用定理证出，再根据全等三角形的性质即可得证； 问题3：先证出，再取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可得，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，最后根据角的和差即可得． 【详解】解：问题1：由折叠的性质得：所在直线是的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线． 问题2：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 问题3：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 如图，取的中点，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由上已证：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末考试试卷 八年级数学 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）． 1. 如图是四款新能源汽车图标，其中是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（ ） A. B. C. D. 3. 若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点M（2，－1）在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 不等式组的解是（ ） A. B. C. D. 6. 下列选项中的命题是真命题的是（ ） A. 是方程的解 B. 若，则 C. 三角形的三条高线交于三角形内一点 D. 等腰三角形的内角都相等 7. 直角三角形中，点为中点，，，则长度是（ ） A. B. C. D. 8. 对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（ ） A. B. C. D. 10. 某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）． 11. 根据“5与的差大于0”可列出不等式_______． 12. 点关于轴对称的点的坐标是______． 13. 已知与成正比例，当时，，那么关于的函数表达式是________． 14. 在平面直角坐标系中，第一象限内一点到x轴和y轴的距离相等，则_______． 15. 命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是______ 16. 在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是_______． 三、解答题（本大题共8小题，第17~21题每题6分，第22、23题7分，第24题8分，共计52分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）． 17. 解下列不等式 （组）． （1）解不等式； （2）解不等式组 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形； （2）求出面积． 19. 如图，已知，点在同一直线上． （1）若，，求的度数； （2）若，点是的中点，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点．已知点，作直线． （1）求直线的函数表达式： （2）若点D在直线上，且，求点D的坐标． 21. 如图，和分别位于异侧，，点O是中点，连接，，． （1）若，，求的度数： （2）若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 22. 2024年诸暨美人城盛大开业，小聪与几个好朋友一起去街区消费购买同山烧饼和西施桂花糕．已知他们总共带有100元现金，已经买了5个同山烧饼和8个西施桂花糕，每个同山烧饼8元，每个西施桂花糕4元． （1）问他们最多还能再购买几个同山烧饼? （2）若再购买x个同山烧饼和y个西施桂花糕，恰好把现金用完，且，则同山烧饼和西施桂花糕总共最多能再购买多少个? 23. 在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点． （1）先判断的形状，再说明理由； （2）线段上取一点D，使得是以为腰的等腰三角形，求点D的坐标； （3）若在x轴上有一点M，在直线上有一点N，满足，求点M的坐标． 24. 结合某老师提供的学案设计片段，解决各环节中的问题： 拓展课：《纸张上的折叠和作图》 学习目标： …… 学习重难点： …… 学习环节 学习过程 图形 环节1： 复习引入 复习小学关于正方形的知识．正方形中存在多个等量关系，例如：如图①，因为为正方形，所以，等． 环节2： 折叠正方形 问题1：将正方形纸张对折，使得与重合，折痕为 （如图②），则所在直线是的_____． 环节3： 折叠后作画 问题2：如图③，上取一点G，连接，使得，过点G作的垂线交于点H，连接，求证：． 环节4： 猜测并说理 问题3：图③中，猜测的度数，并说明理由． …… …… …… 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$