6.2.4 组合数的性质和应用 课件 (2)-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

组合数的应用 例1.在100件产品中,有98件合格品,2件次品,从这100件产品中任意抽出3件 （1）一共有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 注意正确使用两个计数原理. 例2.从编号为1,2,3,…,10,11的共11个球中,取出5个球, 使得这5个球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的 取法? 解:分为三类:(1)1奇4偶 (2)3奇2偶 (3)5奇0偶 ∴一共有 236 例3.现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任), 现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其中3名从事英语翻译工作, 2名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法? 解:我们可以分为三类: ①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有 ②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有 ③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有 ∴一共有 ＝42种方法． 例4.6本不同的书全部送给5人,每人至少1本,有 多少种不同的送书方法? 解:第一步:从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起 看成一个元素有 种方法； 第二步:将5个“不同元素（书）”分给5个人有 种方法． 根据分步计数原理,一共有 ＝1800种方法 答案：⑴ ；⑵ ；⑶ ． 练一练 1.⑴6本不同的书全部送给5人,有多少种不同的送书方法? ⑵5本不同的书全部送给6人,每人至多1本, 有多少种不同的送书方 法? ⑶5本相同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种 不同的送书方法? A B 从A到B,最短距离要走5格. 横向差3格,纵向差2格. 若横向3格确定,则纵向2格随之唯一确定. 同样,若纵向2格确定,则横向3格随之唯一确定. 所以,只需在所需的最短步骤中选出横向(或纵向)即可. 共有 种走法 某城市街道如下图所示, 某人要用最短的路程从A到B, 不同的走法有多少种? 变式训练 平面直角坐标系中,点M和N的坐标分别为 (-1,-5)(5,3),则从M到N的最短距离为多少? 若M到N只能走单位1的方格边缘,最少要走几步? 有多少种不同的走法? 10 14步 你能推广到一般吗? 若两点A,B分别位于mxn的方格的端点, 如图.从A到B只能走方格的边缘, 则最短距离要走(m+n)步. 有 种走法. 拓展延伸 排列与组合综合应用 例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人2本 (2)分为三份,每份2本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本; (3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本； 平均分组时要看人:(1)又分又给, 只组合; (2)只分不给人,要先取组合,再除人的排列 不平均分组时也要看人:(1)只分不给人, 只组合; (2)又分又给,要先取组合,再乘人的排列 不同元素分组 (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本 例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法: 解:可以分为三类情况: ①“2、2、2型” ②“1、2、3型” ③“1、1、4型” 平均分组,又分又给 不平均分组,又分又给 不平均分组,又分又给 两个计数原理贯穿始终: 分类时要不重不漏,分步时要依次完成. 1.按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步, 是处理组合应用题的基本思想方法； 2.对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置； 3.对于含“至多”、“至少”的问题,宜用排除法或分类解决； 4.按指定的一种顺序排列的问题,实质是组合问题. 练习1:有12 人,按照下列要求分配,求不同的分法种数. ①分为三组,一组5人,一组4人,一组3人; ②分为甲、乙、丙三组,甲组5人,乙组4人,丙组3人; ③分为甲、乙、丙三组,一组5人,一组4人,一组3人; ④分为甲、乙、丙三组,每组4人; ⑤分为三组,每组4人。 ⑥分成三组,其中一组2人,另外两组都是 5人. 部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是平均分配. 1.以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 个. 2.以一个正方体的8个顶点 连成的异面直线共有 对 解:正方体有8个顶点,任取4个顶点的组合数为 个, 其中四点共面的情况分2类:构成表面的有6组;构成对角面的有6组 练一练 所以,能形成四面体70-12=58(个). 解:由上题可知以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有58个, 每个四面体的四条棱可以组成3对异面直线， 因此以一个正方体的8个顶点连成的 异面直线共有3×58＝174对. 作业 优化设计P18 1——11(必做) 12——17(选做) $$