第五单元 解决问题的策略 知识归纳与题型突破（知识清单）-2024-2025学年四年级数学下册单元速记·巧练（苏教版）

第五章 解决问题的策略 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、用画线段图的方法解决和差问题 1．步骤：①弄清题意，明确已知条件和所求问题；②画线段图整理信息；③看图分析数量关系；④解决问题；⑤检验。 2．方法：根据条件和问题画出线段图，在线段图上标出条件和问题，从线段图中分析数量关系，找出解决问题的方法，再把结果代入原题检验。 3．已知两个数的和与两个数的差，分别求这两个数是多少，这样的问题也叫和差问题，计算和差问题的公式为：较大数＝(和＋差)÷2，较小数＝(和－差)÷2。 二、认识平年和闰年 画示意图是解决有关面积计算问题的最有效的策略，借助示意图，可以更好地理解题中的数量关系。 03 题型归纳 题型一　长方形、正方形的面积 例1．（2023秋•钢城区期末）如图，海豹表演馆的长是40米，宽是15米。表演区是边长为12米的正方形，其余的场地是观众区。 （1）若给表演区安装一圈彩色灯线，需要多少米？ （2）观众区的占地面积是多少平方米？ 【分析】（1）根据题意，彩色灯线的长度就是正方形的周长，根据正方形的周长＝边长×4，即可解答。 （2）长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，据此分别计算海豹表演馆的面积和表演区的面积，用表演馆的面积减去表演区的面积就是观众区的占地面积。 【解答】解：（1）12×4＝48（米） 答：给表演区安装一圈彩色灯线，需要48米。 （2）40×15＝600（平方米） 12×12＝144（平方米） 600﹣144＝456（平方米） 答：观众区的占地面积是456平方米。 【点评】此题主要考查正方形的周长公式、正方形的面积公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 巩固训练 1．（2024秋•沈阳期末）有块长方形绿地。如图所示。现在扩大绿地面积。准备将宽增加7米，长不变。扩大后的绿地面积是多少平方米？ 【分析】根据长方形面积＝长×宽，可知，长方形的长＝长方形的面积÷宽，已知原来绿地的面积是756平方米，宽是18米，代入公式，可以求出长方形的长；长不变，将宽增加7米，则增加后绿地的宽为18+7＝25（米），根据长方形面积公式，再用长乘增加后的宽即可求出扩大后的面积。 【解答】解：先求出原来的长：756÷18＝42（米） 18+7＝25（米） 42×25＝1050（平方米） 答：扩大后的绿地面积是1050平方米。 【点评】此题主要考查长方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．（2023秋•伊川县期末）李叔叔的邻居家有一个长6米、宽4米的长方形花圃，李叔叔买来20根1米长的木条，他能围一个比邻居家面积更大的长方形花圃吗？（用算式或文字说明理由） 【分析】因为当长方形和正方形的周长相等，正方形的面积大于长方形的面积，所以李叔叔可以围一共正方形，根据正方形的周长＝边长×4，那么边长＝周长÷4，据此求出边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，把数据代入公式解答。 【解答】解：（6+4）×2 ＝10×2 ＝20（米） 6×4＝24（平方米） 20÷4＝5（米） 5×5＝25（平方米） 答：他能围成一个比邻居家面积更大的长方形花圃，理由是：周长相等的长方形和正方形，正方形的面积大。 【点评】此题主要考查长方形、正方形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 3．（2024秋•邹城市期中）公园里有一块长方形草地如下图所示。现计划扩大草地面积，将这块草地的长由20米增加到60米，宽不变，扩大后的草地面积是多少平方米？ 【分析】用长方形草地原来的面积除以原来的长，求出宽的长度，即180÷20＝9（米），根据“”长方形的面积＝长×宽”，求出扩大后的草地面积，即9×60＝540（平方米），据此解答即可。 【解答】解：180÷20×60 ＝9×60 ＝540（平方米） 答：扩大后的草地面积是540平方米。 【点评】解答此题要运用长方形的面积公式。 题型二　和差问题 例2．（2024春•盐都区期末）2023年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》。希望小学积极响应号召，举行“快乐阅读”活动。星期六和星期日，欢欢两天读完一本88页的故事书，星期日比星期六多读了12页。欢欢星期日读了多少页？ （1）下面第 　 　幅图正确表示了题目的条件和问题。 （2）列式解答： 【分析】用这本书的总页数减去星期日比星期六多读了的12页，除以2就是星期六读的页数；用星期六读的页数加上12页即可求解。 【解答】解：（1）根据题意可以分析得出第①幅图正确表示了题目的条件和问题。 （2）（88﹣12）÷2+12 ＝76÷2+12 ＝38+12 ＝50（页） 答：欢欢星期日读了50页。 【点评】先求出星期六看的页数是解答本题的关键。 巩固训练 1．（2024秋•南京月考）学校图书室有童话书、科技书和绘画书共900本。已知科技书比童话书多90本，绘画书比科技书多120本，三种书各多少本？（先把线段图补充完整，再解答） 【分析】根据三种图书之间的数量关系画线段图表示三种书数量之间的关系； 科技书比童话书多90本，绘画书比科技书多120本，即绘画书比童话书多（120+90）本，三种图书的本数和减去科技书比童话书多的本数，再减去绘画书比童话书多的本数即是童话书的3倍，根据除法的意义，用三种图书的本数和减去科技书比童话书多的本数，再减去绘画书比童话书多的本数后，再除以3即是童话书的本数，进而求出科技书的本数和绘画书的本即可解答本题。 【解答】解：如下图所示： 童话书：（900﹣90×2﹣120）÷3 ＝600÷3 ＝200（本） 科技书：200+90＝290（本） 绘画书：290+120＝410（本） 答：童话书有200本，科技书有290本，绘画书有410本。 【点评】本题考查了和差问题的应用。 2．（2024春•武冈市期末）两筐苹果共重150千克，第二筐比第一筐多8千克，两筐苹果各多少千克？（先根据题意把线段图补充完整，再解答） 【分析】第一筐比第二筐多8千克，也就是减去8千克正好等于第二筐的重量，也就是从总数中减去8千克正好是第二筐的2倍，据此列式解答。 【解答】解： 第一筐： （150﹣8）÷2 ＝142÷2 ＝71（千克） 第二筐： 150﹣71＝79（千克） 答：第一筐重71千克，第二筐重79千克。 【点评】此题属于和差问题，运用了关系式：（和﹣差）÷2＝小数，和﹣小数＝大数。 3．（2024春•丰县期末）梨树比苹果树多30棵，两种树一共有170棵。苹果树和梨树各有多少棵？（先根据题意把线段图补充完整，再解答。） 【分析】梨树比苹果树多30棵，所以画的线段比苹果树长一些，补充线段图中缺少的条件和问题。 根据题意用总棵数减去30棵是苹果树的两份，所以再除以2算出苹果树，用苹果树棵数加30即为梨树棵数。 【解答】解：如图： （170﹣30）÷2 ＝140÷2 ＝70（棵） 70+30＝100（棵） 答：苹果树有70棵，梨树有100棵。 故答案为：苹果树70棵，梨树100棵。 【点评】本题考查的是整数四则混合运算应用题，理清题中数量关系是解答关键。 题型三　和倍、差倍问题 例3．（2023春•如东县期中）哥哥带妹妹跳绳，哥哥跳的个数是妹妹的3倍，比妹妹多跳了48个，哥哥和妹妹各跳了多少个？（先把线段图补充完整，再解答） 妹妹： 哥哥： 【分析】把妹妹跳的个数看作1份，则哥哥跳的个数是3份，然后画图表示，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出妹妹跳的个数，再用妹妹跳的个数乘3，计算出哥哥跳的个数。 【解答】解： 3﹣1＝2 48÷2＝24（个） 24×3＝72（个） 答：哥哥跳了72个，妹妹跳了24个。 【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。 巩固训练 1．（2024春•包河区期末）端午节也称为龙舟节，是中国历史最悠久的传统节日之一，具有强烈的民族色彩，包粽子是我国端午节的传统习俗。妈妈包的粽子数量是小明包的4倍，如果妈妈去掉24个粽子，那么两人包的粽子数量就同样多。小明和妈妈原来各包了多少个粽子？（先画线段图，再解答） 【分析】根据题意，妈妈的线段长度是小明的4倍，如果妈妈去掉24个粽子，那么两人包的粽子数量就同样多。意思是3倍就是24个，再在图上标注要求的问题；根据差倍问题的解题思路解答即可。 【解答】解：线段图如下： 24÷（4﹣1） ＝24÷3 ＝8（个） 8×4＝32（个） 答：小明原来包了8个粽子，妈妈原来包了32个粽子。 【点评】本题考查了利用差倍问题的解题思路解答应用题的能力。 2．（2023秋•温江区期末）水果拼盘大赛开始了!一班比二班多买12千克水果，三班比一班多买28千克水果，三班的水果质量是二班的3倍。请问一班、二班、三班各买了多少千克水果？ 【分析】一班比二班多买12千克水果，三班比一班多买28千克水果，则三班比二班多买（12+28）千克，又三班的水果质量是二班的3倍，则三班比二班多买了（12+28）千克，对应其中的（3﹣1）份，据此求出一份量，一份量即二班购买的水果质量，然后再求出一班和三班购买的水果质量。 【解答】解：（12+28）÷（3﹣1） ＝40÷2 ＝20（千克） 20+12＝32（千克） 20×3＝60（千克） 答：一班买了32千克水果，二班买了20千克水果，三班买了60千克水果。 【点评】本题考查了差倍问题的应用。 3．（2023春•如皋市期中）小明和小华两人存有同样多的邮票，小明分享了42张邮票给好朋友，小华分享了78张邮票给了好朋友后，小明现在的邮票数是小华的2倍。原来小明和小华的邮票数都是多少张。（先画图整理条件和问题，再解答。） 【分析】小明分享了42张邮票给好朋友，小华分享了78张邮票给了好朋友后，小明现在的邮票数是小华的2倍，则小华比小明多分享的张数即是一份数，用一份数加上小华分享的张数即是原来小华邮票的张数，也即小明邮票的张数。 【解答】解：如下图所示： 78﹣42＝36（张） 36+78＝114（张） 答：原来小明和小华的邮票数都是114张。 【点评】本题考查了差倍问题的应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 解决问题的策略 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、用画线段图的方法解决和差问题 1．步骤：①弄清题意，明确已知条件和所求问题；②画线段图整理信息；③看图分析数量关系；④解决问题；⑤检验。 2．方法：根据条件和问题画出线段图，在线段图上标出条件和问题，从线段图中分析数量关系，找出解决问题的方法，再把结果代入原题检验。 3．已知两个数的和与两个数的差，分别求这两个数是多少，这样的问题也叫和差问题，计算和差问题的公式为：较大数＝(和＋差)÷2，较小数＝(和－差)÷2。 二、认识平年和闰年 画示意图是解决有关面积计算问题的最有效的策略，借助示意图，可以更好地理解题中的数量关系。 03 题型归纳 题型一　长方形、正方形的面积 例1．（2023秋•钢城区期末）如图，海豹表演馆的长是40米，宽是15米。表演区是边长为12米的正方形，其余的场地是观众区。 （1）若给表演区安装一圈彩色灯线，需要多少米？ （2）观众区的占地面积是多少平方米？ 【分析】（1）根据题意，彩色灯线的长度就是正方形的周长，根据正方形的周长＝边长×4，即可解答。 （2）长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，据此分别计算海豹表演馆的面积和表演区的面积，用表演馆的面积减去表演区的面积就是观众区的占地面积。 【解答】解：（1）12×4＝48（米） 答：给表演区安装一圈彩色灯线，需要48米。 （2）40×15＝600（平方米） 12×12＝144（平方米） 600﹣144＝456（平方米） 答：观众区的占地面积是456平方米。 【点评】此题主要考查正方形的周长公式、正方形的面积公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 巩固训练 1．（2024秋•沈阳期末）有块长方形绿地。如图所示。现在扩大绿地面积。准备将宽增加7米，长不变。扩大后的绿地面积是多少平方米？ 【分析】根据长方形面积＝长×宽，可知，长方形的长＝长方形的面积÷宽，已知原来绿地的面积是756平方米，宽是18米，代入公式，可以求出长方形的长；长不变，将宽增加7米，则增加后绿地的宽为18+7＝25（米），根据长方形面积公式，再用长乘增加后的宽即可求出扩大后的面积。 【解答】解：先求出原来的长：756÷18＝42（米） 18+7＝25（米） 42×25＝1050（平方米） 答：扩大后的绿地面积是1050平方米。 【点评】此题主要考查长方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．（2023秋•伊川县期末）李叔叔的邻居家有一个长6米、宽4米的长方形花圃，李叔叔买来20根1米长的木条，他能围一个比邻居家面积更大的长方形花圃吗？（用算式或文字说明理由） 【分析】因为当长方形和正方形的周长相等，正方形的面积大于长方形的面积，所以李叔叔可以围一共正方形，根据正方形的周长＝边长×4，那么边长＝周长÷4，据此求出边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，把数据代入公式解答。 【解答】解：（6+4）×2 ＝10×2 ＝20（米） 6×4＝24（平方米） 20÷4＝5（米） 5×5＝25（平方米） 答：他能围成一个比邻居家面积更大的长方形花圃，理由是：周长相等的长方形和正方形，正方形的面积大。 【点评】此题主要考查长方形、正方形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 3．（2024秋•邹城市期中）公园里有一块长方形草地如下图所示。现计划扩大草地面积，将这块草地的长由20米增加到60米，宽不变，扩大后的草地面积是多少平方米？ 【分析】用长方形草地原来的面积除以原来的长，求出宽的长度，即180÷20＝9（米），根据“”长方形的面积＝长×宽”，求出扩大后的草地面积，即9×60＝540（平方米），据此解答即可。 【解答】解：180÷20×60 ＝9×60 ＝540（平方米） 答：扩大后的草地面积是540平方米。 【点评】解答此题要运用长方形的面积公式。 题型二　和差问题 例2．（2024春•盐都区期末）2023年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》。希望小学积极响应号召，举行“快乐阅读”活动。星期六和星期日，欢欢两天读完一本88页的故事书，星期日比星期六多读了12页。欢欢星期日读了多少页？ （1）下面第 　 　幅图正确表示了题目的条件和问题。 （2）列式解答： 【分析】用这本书的总页数减去星期日比星期六多读了的12页，除以2就是星期六读的页数；用星期六读的页数加上12页即可求解。 【解答】解：（1）根据题意可以分析得出第①幅图正确表示了题目的条件和问题。 （2）（88﹣12）÷2+12 ＝76÷2+12 ＝38+12 ＝50（页） 答：欢欢星期日读了50页。 【点评】先求出星期六看的页数是解答本题的关键。 巩固训练 1．（2024秋•南京月考）学校图书室有童话书、科技书和绘画书共900本。已知科技书比童话书多90本，绘画书比科技书多120本，三种书各多少本？（先把线段图补充完整，再解答） 【分析】根据三种图书之间的数量关系画线段图表示三种书数量之间的关系； 科技书比童话书多90本，绘画书比科技书多120本，即绘画书比童话书多（120+90）本，三种图书的本数和减去科技书比童话书多的本数，再减去绘画书比童话书多的本数即是童话书的3倍，根据除法的意义，用三种图书的本数和减去科技书比童话书多的本数，再减去绘画书比童话书多的本数后，再除以3即是童话书的本数，进而求出科技书的本数和绘画书的本即可解答本题。 【解答】解：如下图所示： 童话书：（900﹣90×2﹣120）÷3 ＝600÷3 ＝200（本） 科技书：200+90＝290（本） 绘画书：290+120＝410（本） 答：童话书有200本，科技书有290本，绘画书有410本。 【点评】本题考查了和差问题的应用。 2．（2024春•武冈市期末）两筐苹果共重150千克，第二筐比第一筐多8千克，两筐苹果各多少千克？（先根据题意把线段图补充完整，再解答） 【分析】第一筐比第二筐多8千克，也就是减去8千克正好等于第二筐的重量，也就是从总数中减去8千克正好是第二筐的2倍，据此列式解答。 【解答】解： 第一筐： （150﹣8）÷2 ＝142÷2 ＝71（千克） 第二筐： 150﹣71＝79（千克） 答：第一筐重71千克，第二筐重79千克。 【点评】此题属于和差问题，运用了关系式：（和﹣差）÷2＝小数，和﹣小数＝大数。 3．（2024春•丰县期末）梨树比苹果树多30棵，两种树一共有170棵。苹果树和梨树各有多少棵？（先根据题意把线段图补充完整，再解答。） 【分析】梨树比苹果树多30棵，所以画的线段比苹果树长一些，补充线段图中缺少的条件和问题。 根据题意用总棵数减去30棵是苹果树的两份，所以再除以2算出苹果树，用苹果树棵数加30即为梨树棵数。 【解答】解：如图： （170﹣30）÷2 ＝140÷2 ＝70（棵） 70+30＝100（棵） 答：苹果树有70棵，梨树有100棵。 故答案为：苹果树70棵，梨树100棵。 【点评】本题考查的是整数四则混合运算应用题，理清题中数量关系是解答关键。 题型三　和倍、差倍问题 例3．（2023春•如东县期中）哥哥带妹妹跳绳，哥哥跳的个数是妹妹的3倍，比妹妹多跳了48个，哥哥和妹妹各跳了多少个？（先把线段图补充完整，再解答） 妹妹： 哥哥： 【分析】把妹妹跳的个数看作1份，则哥哥跳的个数是3份，然后画图表示，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出妹妹跳的个数，再用妹妹跳的个数乘3，计算出哥哥跳的个数。 【解答】解： 3﹣1＝2 48÷2＝24（个） 24×3＝72（个） 答：哥哥跳了72个，妹妹跳了24个。 【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。 巩固训练 1．（2024春•包河区期末）端午节也称为龙舟节，是中国历史最悠久的传统节日之一，具有强烈的民族色彩，包粽子是我国端午节的传统习俗。妈妈包的粽子数量是小明包的4倍，如果妈妈去掉24个粽子，那么两人包的粽子数量就同样多。小明和妈妈原来各包了多少个粽子？（先画线段图，再解答） 【分析】根据题意，妈妈的线段长度是小明的4倍，如果妈妈去掉24个粽子，那么两人包的粽子数量就同样多。意思是3倍就是24个，再在图上标注要求的问题；根据差倍问题的解题思路解答即可。 【解答】解：线段图如下： 24÷（4﹣1） ＝24÷3 ＝8（个） 8×4＝32（个） 答：小明原来包了8个粽子，妈妈原来包了32个粽子。 【点评】本题考查了利用差倍问题的解题思路解答应用题的能力。 2．（2023秋•温江区期末）水果拼盘大赛开始了!一班比二班多买12千克水果，三班比一班多买28千克水果，三班的水果质量是二班的3倍。请问一班、二班、三班各买了多少千克水果？ 【分析】一班比二班多买12千克水果，三班比一班多买28千克水果，则三班比二班多买（12+28）千克，又三班的水果质量是二班的3倍，则三班比二班多买了（12+28）千克，对应其中的（3﹣1）份，据此求出一份量，一份量即二班购买的水果质量，然后再求出一班和三班购买的水果质量。 【解答】解：（12+28）÷（3﹣1） ＝40÷2 ＝20（千克） 20+12＝32（千克） 20×3＝60（千克） 答：一班买了32千克水果，二班买了20千克水果，三班买了60千克水果。 【点评】本题考查了差倍问题的应用。 3．（2023春•如皋市期中）小明和小华两人存有同样多的邮票，小明分享了42张邮票给好朋友，小华分享了78张邮票给了好朋友后，小明现在的邮票数是小华的2倍。原来小明和小华的邮票数都是多少张。（先画图整理条件和问题，再解答。） 【分析】小明分享了42张邮票给好朋友，小华分享了78张邮票给了好朋友后，小明现在的邮票数是小华的2倍，则小华比小明多分享的张数即是一份数，用一份数加上小华分享的张数即是原来小华邮票的张数，也即小明邮票的张数。 【解答】解：如下图所示： 78﹣42＝36（张） 36+78＝114（张） 答：原来小明和小华的邮票数都是114张。 【点评】本题考查了差倍问题的应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$