专题9.5 平行四边形（5大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.5 平行四边形（4大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 【要点提示】平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 【知识点2】平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 【要点提示】 （1） 平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角 互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2） 由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3） 利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关 系来解决. 【知识点3】平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【要点提示】 （1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应 选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【知识点4】平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积： 平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等. 考点与题型目录 【考点一】平行四边形的性质 【题型1】利用平行四边形的性质求值............................................2 【题型2】利用平行四边形的性质证明............................................5 【考点二】平行四边形的判定 【题型3】判断构成平行四边形的条件............................................7 【题型4】添加一个条件构成平行四边形..........................................9 【题型5】证明一个四边形为平行四边形.........................................12 【考点三】平行四边形的判定与性质综合 【题型6】利用平行四边形的性质与判定求值.....................................15 【题型7】利用平行四边形的性质与判定证明.....................................18 【题型8】平行四边形性质与判定的应用.........................................20 【考点四】反证法 【题型9】反证法证明中的假设.................................................23 【题型10】反证法证明命题....................................................24 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型11】中考链接..........................................................26 【题型12】拓展延伸..........................................................28 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】平行四边形的性质 【题型1】利用平行四边形的性质求值 【例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，的平分线交于E点，且，． （1）求的周长； （2）连结，若，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理．熟练掌握平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线进行求解即可； （2）先证明为直角三角形 ，再求四边形的面积即可． 解：（1）解：在平行四边形中，，   ， 平分， ， ， ， ， 平行四边形的周长为：． （2）解：，，，   ， 为直角三角形，即， 平行四边形的面积． 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质并利用数形结合的思想是解题关键．根据平行四边形的性质结合所给三个顶点的坐标可得出，，即可求解． 解：∵平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，， ∴，轴， ∴，， ∴顶点的坐标是． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，是平行四边形的对角线，点在上，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质是关键；设；由等腰三角形的性质及三角形外角的性质得，由平行四边形的性质及已知，，则有，则，再由平行线性质即可求解． 解：设； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴， 即． 故答案为：． 【题型2】利用平行四边形的性质证明 【例2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）请在图中连接，若恰好平分，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出、，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定，然后根据等量代换即可证明结论； （2）如图：连接，由（1）得，，由等腰三角形三线合一可得，再证明，即，再结合即可证明结论． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵是的平分线， ∴ ∴ ∴（等边对等角）. ∴ （2）解：如图：连接 由（1）得，. ∵恰好平分， ∴（等腰三角形三线合一） 在和中， ∴, ∴（全等三角形的对应边相等）， 又∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【变式1】（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，平行四边形的对角线相交于点O，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查度数平行四边形的性质，根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 解：A、矩形的对角线相等，而平行四边形对角线不一定相等，所以对角线的一半也不一定相等，A错误，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，而平行四边形对角线不一定互相垂直，B错误，不符合题意； C、平行四边形对角线互相平分，C正确，符合题意； D、菱形的对角线平分每一组对角，而平行四边形对角线不一定平分每一组对角，D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，中，平分，交于点，，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接，设与交于点，根据等腰三角形的性质得出，，再根据平行四边形的性质结合等腰三角形的性质得出，在直角中，由勾股定理得出的长即可求解． 解：如图，连接，设与交于点，   ，平分， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在直角中，由勾股定理得， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 【考点二】平行四边形的判定 【题型3】判断构成平行四边形的条件 【例3】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 解：A. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；     B. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；         C. ，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，能判定四边形为平行四边形，故该选项符合题意；     D. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；     故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 解：两组对角都不相等，不能判定是平行四边形， 故A选项错误； 一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形， 故B选项错误； 根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形， 故C符合题意； 根据，判定一组对边平行，，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形， 故D不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （填序号）． ①，；②，；③，；④，． 【答案】③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 解：①∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ②∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ③，不能判定四边形是平行四边形，符合题意； ④∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； 故答案为：③． 【题型4】添加一个条件构成平行四边形 【例4】（2024·湖北武汉·三模）如图，的对角线、相交于点O， E、F是上的两点． （1）添加一个条件 ，使四边形是平行四边形； （2）在（1）添加的条件下，写出证明过程． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键． （1）添加一个条件使四边形是平行四边形即可． （2）由平行四边形的性质得，再由，即可得出结论． 解：（1）解：添加条件：．使四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一） （2）证明∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式1】（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用平行四边形的判定与性质．根据可得，利用平行四边形的判定可知，如，则四边形是平行四边形． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， A．如， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴A选项不符合题意， B．如添加，无法证明四边形是平行四边形， ∴B选项不符合题意， C.如， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴C选项不符合题意， D．如， 则， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴D选项不符合题意， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由题目的已知条件可知添加，即可证明，从而进一步证明，且，进而证明四边形为平行四边形． 解：条件是：， 理由如下：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 【题型5】证明一个四边形为平行四边形 【例5】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，，，点、在上，且． （1）求证：； （2）试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】（1）详见分析；（2）详见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法． （1）由全等三角形的判定定理SAS证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得．由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论． 解：（1）解：， ， 又， ， ， 在与中， ， ； （2）连接、． 由（1）知，， ，， ， ， 又， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【变式1】（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在中，M，N是对角线的三等分点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，线段三等分点的定义，熟练掌握并运用相关知识即可解题． （1）连接交于点O，根据平行四边形的性质得出，再根据M，N是对角线的三等分点得到，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）根据三等分点得出，利用勾股定理进而得出，再利用勾股定理得出即可． 解：（1）证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ，， ，N是对角线的三等分点， ， ∴ ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，，M，N是对角线的三等分点， ，， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ． 【变式2】（2024·陕西·模拟预测）如图，在四边形中，，点 E 在边上，点 F 在边上，且，互相平分．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键．根据证明得，从而，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解答． 解：如图，记， 的交点为O． ∵，互相平分， ∴． 在与中， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【考点三】平行四边形判定与性质综合 【题型6】利用平行四边形的性质与判定求值 【例6】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，四边形是平行四边形，点E，F分别为线段的中点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形，即可得出结果． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，F分别为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 【变式1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（   ） A．1cm B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，准确根据全等图形的性质判断边角是解题的关键．过A作交于M，证明四边形是平行四边形得到，结合已知得到，再根据等腰直角三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质求得，，进而求解即可． 解：过A作交于M，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵两个梯形全等， ∴， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，即，进而可求出，则，由已知条件可证得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，于是得解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴,， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【题型7】利用平行四边形的性质与判定证明 【例7】（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，的对角线相交于点O，经过点O，分别与交于B，D．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型． （1）由平行四边形的性质得，则，再由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由，即可得出结论． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）解：由（1）可知，， ， ， ∴四边形是平行四边形． 【变式1】（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，于点，，．下面结论正确的个数有①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可判断结论①正确；证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可判断结论②和④正确；证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可判断结论③正确． 解：∵，， ∴和都是直角三角形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，，即，结论①正确； 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，结论②和④都正确； 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，结论③正确； 综上，结论正确的个数有4个， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，，是平行四边形对角线上的两点，在不作辅助线的前提下，请你添加一个适当的条件： ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解答本题的关键．添加一个条件：，根据证明得，同理可证，从而可证四边形是平行四边形． 解：可添加条件：（答案不唯一）． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可证： ∴ ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型8】平行四边形的性质与判定应用 【例8】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，四边形中，，，点是的中点．请利用无刻度直尺画出边中点，并说明理由． 【答案】图见分析，理由见分析． 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的判定和中点的定义，连接交于点，则点即为所求，再通过平行四边形的判定即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图：连接交于点， ∴点即为所求； 证明：连接， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即点是中点． 【变式1】（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知、、、四点的坐标依次为、、、，若一次函数的图像将四边形面积分成相等的两部分，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、坐标与图形、一次函数图像上点的坐标特征，先证明四边形平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到一次函数的图像经过平行四边形对角线的交点，利用中点坐标公式求得交点坐标，将交点坐标代入一次函数解析式中求得m值即可． 解：∵、、、四点的坐标依次为、、、， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵一次函数的图像将四边形面积分成相等的两部分， ∴一次函数的图像经过平行四边形对角线的交点， ∵，， ∴则该平行四边形对角线的交点坐标为， 将代入中，得， 解得， 故选：A． 【变式2】（2023·吉林长春·一模）如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交    的延长线于点F．若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】根据平行四边形特性、直角三角形特性、中位线特性求解即可 解：∵，， ∴， 又 ∴四边形为平行四边形 又为直角三角形斜边中线 ∴ ∴ 故答案为：5 【点拨】本题考查平行四边形特性、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握这些是本题关键． 【考点四】反证法 【题型9】反证法证明中的假设 【例9】（24-25八年级上·吉林长春·期末）用反证法证明“若则”是真命题时，第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．直接利用反证法的步骤，即可得出答案． 解：用反证法证明“若则”是真命题时， 第一步应先假设：． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（   ） A．至少有一个内角是直角 B．没有一个内角是直角 C．至多有—个内角是直角 D．至少有两个内角是直角 【答案】D 【分析】此题主要考查了反证法，反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”． 解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确， ∴应假设：至少有两个内角是直角． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时，应假设 ； 【答案】与相交 【分析】本题考查了用反证法证明命题．用反证法证明命题的第一步就是设原结论不成立，原结论是，则要设直线与直线不平行，即直线与直线相交． 解：用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时， 应假设直线与直线不平行，即直线与直线相交． 故答案为：直线与直线相交． 【题型10】反证法证明命题 【例10】小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【答案】（3）（4）（1）（2） 【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 解：证明：假设， 那么，由，得，即， 所以，这与三角形内角和定理相矛盾， 所以， 所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2）， 故答案为：（3）（4）（1）（2）． 【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查反证法的证明方法，反证法的步骤：首先假设反论题正确，然后依据规则进行推理，若出现与已知条件不符或与公理定理相矛盾的情形，即可证明反论题不成立，原命题正确． 第一步先假设和互相平分，根据平行四边形的判定和性质得到，即，与已知矛盾，从而证明原命题正确． 解：证明：连接．假设和互相平分． 和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵在中，点D、E分别在、上， 与不可能平行，与已知矛盾， 故假设不成立，和不可能互相平分．   【变式2】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）证明：是无理数． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了反证法，假设是有理数，设（m、n互质），则两边同时平方推出，则n一定是3的倍数，设，则，可得，同理可得m一定是3的倍数，则m、n一定有公因数3，故m、n不互质，这与假设矛盾，据此可证明题设． 解：证明：假设是有理数， 设（m、n互质）， ∴， ∴， ∴是3的倍数， ∴n一定是3的倍数， 设，则， ∴， 同理可得m一定是3的倍数， ∵m、n同时是3的倍数， ∴m、n一定有公因数3， ∴m、n不互质，这与假设矛盾， ∴假设不成立， ∴是无理数． 第二部分【链接中考与延伸拓展】 【题型11】中考链接 【例1】（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）①或②，证明见分析；（2）6 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 解：（1）解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴． 【例2】（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由见分析；（2）①B；②． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 【题型12】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，于点E，且，若点I是的角平分线的交点，点F是的中点．则 ；若，则的面积为 ． 【答案】 /135度 【分析】根据，可得，再根据角平分线的定义可得，即可得出；然后延长至G，使，连接，过点I作，交于点H，即可证明四边形是平行四边形，可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据“边角边” 证明，可得，接下来得出，即可得，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得，然后根据“边角边” ，再说明，进而得出，然后求出，即可得出答案． 解：∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴， ∴； 延长至G，使，连接，过点I作，交于点H， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）直接写出的长是________； （2）当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） （3）当是等腰三角形时，求t的值； （4）连结，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t值． 【答案】（1）10；（2）当点P在线段上时，；点P在射线上时，；（3）t的值为5或6或；（4）或 【分析】（1）过D点作于E，求出，中，利用勾股定理求解即可； （2）根据路程、速度、时间之间的关系即可求解； （3）分当， ， ，三种情况分别讨论，求出，再除以2即可求解； （4）当时，则，当时，则，解方程即可求解． 解：（1）解：如图，D点作于E， ∴， 中，； （2）解：∵的长是10，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动， ∴点P从点A运动到点D需要5秒， ∴当点P在线段上时，； ∵点P再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动， ∴当点P在射线上时，； （3）解：∵点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动，当是等腰三角形时， 当时，， ∴； 当时，如图，则， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，则， 在中，，则， ∴， ∴， ∴； ∴t的值为5或6或； （4）如图，当时，则， ∴， 如图，当时，则， ∴， ∴或． 【点拨】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定、勾股定理、一元一次方程、等腰三角形的判定等知识，解题关键是发现直角三角形，运用勾股定理以及分类讨论的思想． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.5 平行四边形（4大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 【要点提示】平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 【知识点2】平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 【要点提示】 （1） 平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角 互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2） 由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3） 利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关 系来解决. 【知识点3】平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【要点提示】 （1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应 选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【知识点4】平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积： 平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等. 考点与题型目录 【考点一】平行四边形的性质 【题型1】利用平行四边形的性质求值............................................2 【题型2】利用平行四边形的性质证明............................................3 【考点二】平行四边形的判定 【题型3】判断构成平行四边形的条件............................................4 【题型4】添加一个条件构成平行四边形..........................................4 【题型5】证明一个四边形为平行四边形..........................................5 【考点三】平行四边形的判定与性质综合 【题型6】利用平行四边形的性质与判定求值......................................6 【题型7】利用平行四边形的性质与判定证明......................................7 【题型8】平行四边形性质与判定的应用..........................................7 【考点四】反证法 【题型9】反证法证明中的假设..................................................8 【题型10】反证法证明命题.....................................................8 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型11】中考链接...........................................................9 【题型12】拓展延伸..........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】平行四边形的性质 【题型1】利用平行四边形的性质求值 【例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，的平分线交于E点，且，． （1）求的周长； （2）连结，若，求的面积． 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，是平行四边形的对角线，点在上，，则的度数是 ． 【题型2】利用平行四边形的性质证明 【例2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）请在图中连接，若恰好平分，求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，平行四边形的对角线相交于点O，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，中，平分，交于点，，若，，则的长为 ．    【考点二】平行四边形的判定 【题型3】判断构成平行四边形的条件 【例3】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （填序号）． ①，；②，；③，；④，． 【题型4】添加一个条件构成平行四边形 【例4】（2024·湖北武汉·三模）如图，的对角线、相交于点O， E、F是上的两点． （1）添加一个条件 ，使四边形是平行四边形； （2）在（1）添加的条件下，写出证明过程． 【变式1】（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ． 【题型5】证明一个四边形为平行四边形 【例5】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，，，点、在上，且． （1）求证：； （2）试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【变式1】（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在中，M，N是对角线的三等分点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【变式2】（2024·陕西·模拟预测）如图，在四边形中，，点 E 在边上，点 F 在边上，且，互相平分．求证：四边形为平行四边形． 【考点三】平行四边形判定与性质综合 【题型6】利用平行四边形的性质与判定求值 【例6】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，四边形是平行四边形，点E，F分别为线段的中点．若，求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（   ） A．1cm B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 【题型7】利用平行四边形的性质与判定证明 【例7】（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，的对角线相交于点O，经过点O，分别与交于B，D．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【变式1】（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，于点，，．下面结论正确的个数有①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，，是平行四边形对角线上的两点，在不作辅助线的前提下，请你添加一个适当的条件： ，使四边形是平行四边形． 【题型8】平行四边形的性质与判定应用 【例8】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，四边形中，，，点是的中点．请利用无刻度直尺画出边中点，并说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知、、、四点的坐标依次为、、、，若一次函数的图像将四边形面积分成相等的两部分，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（2023·吉林长春·一模）如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交    的延长线于点F．若，则的长为 ． 【考点四】反证法 【题型9】反证法证明中的假设 【例9】（24-25八年级上·吉林长春·期末）用反证法证明“若则”是真命题时，第一步应先假设 ． 【变式1】（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（   ） A．至少有一个内角是直角 B．没有一个内角是直角 C．至多有—个内角是直角 D．至少有两个内角是直角 【变式2】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时，应假设 ； 【题型10】反证法证明命题 【例10】小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 【变式2】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）证明：是无理数． 第二部分【链接中考与延伸拓展】 【题型11】中考链接 【例1】（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【例2】（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【题型12】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，于点E，且，若点I是的角平分线的交点，点F是的中点．则 ；若，则的面积为 ． 【例2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）直接写出的长是________； （2）当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） （3）当是等腰三角形时，求t的值； （4）连结，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$