专题7.8 相交线与平行线6大几何模型（全章几何模型梳理与分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题7.8 相交线与平行线5大几何模型（全章几何模型梳理与分类讲解） 第一部分【模型梳理与题型目录】 【模型一】猪蹄型 已知：如图，AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E. 证明：如图，过点E作MN//AB. ∵MN//AB（作辅助线）. ∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）. ∵MN//AB（辅助线），AB//CD（已知） ∴MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行） ∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠1+∠2=∠BED（等式性质） ∴∠B+∠D=∠BED（等量代换） 拓展与延伸： 结论：朝左的角之和=朝右的角之和 【模型二】铅笔型 解：（1）∵AB∥CD（已知） ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） （2）过点E作一条直线EF平行于AB， ∵AB∥EF，AB∥CD（已知） ∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代换） （3）过点E、F作EG、FH平行于AB， ∵AB∥CD（已知） ∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代换） 结论：根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n组同旁内角，n个角的和是180（n-1）°． 【模型三】前扬角型 ∠B=∠E+∠C 过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性质） ∴∠B=∠BEC+∠C（等量代换） 结论：∠B=∠BEC+∠C 【模型四】后仰角模型 结论：∠C=∠E+∠B 证明：过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性质） ∴∠C=∠B+∠CEB（等量代换） 结论：∠C=∠B+∠CEB 【模型五】潜望镜模型 如下图： 【模型六】模型综合提高 ∠B+∠E-∠D=180°CD//EF，AB//GF→∠1+∠2=∠ABC 综上所述：几个几何模型共同点：都是通过作辅导线达到角度大小转化目的。 题型目录 【考点一】基本模型巩固 【题型1】猪蹄型模型........................................................4 【题型2】铅笔型模型........................................................8 【题型3】前扬角型模型.....................................................12 【题型4】后仰角型模型.....................................................14 【题型5】潜望镜模型.......................................................16 【考点二】模型拓展培优 【题型6】模型综合提高.....................................................19 【考点三】中考链接与拓展延伸 【题型7】中考链接.........................................................24 【题型8】拓展延伸.........................................................26 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】猪蹄型模型 【例1】（23-24七年级下·河南周口·期中）【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）见分析；（2）；理由见分析；（3）． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）过作，则，由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答； （2）过M作，过N作，则，得到，，，由可得，计算得到； （3）作，，，由推出，即，由，推出，据此即可解答． 解：（1）证明：如图（1）过作，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： 如图（2）：过M作，过N作，    ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴； （3）解：． 作，，，    ∵， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，若，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质；熟练掌握“两直线平行，同为角相等；直角三角形两锐角互余”是解题的关键．根据平行线的性质可得；根据直角三角形的性质即可求解． 解：如图， ， ． 故选B． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案． 解：如图所示：过点F作． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 同理：． ∴ ∵， ∴． 故选：B． 【题型2】铅笔型模型 【例2】（23-24七年级下·广东汕头·期末）完成下面推理过程，并在括号内填上推理依据． 如图，已知：，，，求证：． 证明：∵， ∴ （ ）， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ （ ）， ∴（ ）． 【答案】，两直线平行，内错角相等；，，内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．根据平行线的判定和性质，进行作答即可． 解：证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一直线的两条直线互相平行）． 故答案为：，两直线平行，内错角相等；，，内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将一块带有角的直角三角板放置在一组平行线上，若，则的度数应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，等式的性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过三角形的角的顶点作，由两直线平行内错角相等可得，由等式的性质可得，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，于是得解． 解：如图，过三角形的角的顶点作， ， ， ， ，， ， ， 故选：． 【变式2】（22-23七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 解：（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 【题型3】前扬角型模型 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了有关角平分线的角度计算，平行线的性质等；由三角形内角和得，由角平分线的定义得，由平行线的性质得，再根据三角形内角和，即可求解；能熟练利用平行线的性质求角度是解题的关键． 解：因为，， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 【变式1】（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，直线，，则的度数为 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．由平行线的性质可得，再利用三角形的外角的性质可求得的度数． 解：，， ， ，， ， 故答案为：． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出结果即可． 解：过点作，如图所示： ∵， ， ，， ． 故选：A． 【题型4】后翻角型模型 【例4】（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 【变式1】（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，反向延长交于M，由，可得，进而得出，再根据即可求解． 解：如图，反向延长交于M， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴． 故选D． 【变式2】（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，反向延长交于M，由，可得，进而得出，再根据即可求解． 解：如图，反向延长交于M， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴． 故选D． 【题型5】潜望镜模型 【例5】（23-24七年级下·广西来宾·阶段练习）【学科融合】物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，． 【问题解决】 （1）判断与是否平行． 答：平行 理由：∵（已知）， ∴，依据是 ； ∵，（已知）， ∴，依据是 ； ∴反射光线与平行，依据是 ． 【尝试探究】 （2）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请证明进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行． 【拓展应用】 （3）如图3，改变两平面镜、之间的位置，若镜子与的夹角，经过两次反射后，，，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反．求的度数． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；（2）见分析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据平行线的判定和性质进行解答即可； （2）根据，得出，证明，得出，即可证明结论； （3）根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，最后根据三角形内角和求出结果即可． 解：（1）解：平行 理由：∵（已知）， ∴，依据是两直线平行，同位角相等； ∵，（已知）， ∴，依据是等量代换； ∴反射光线与平行，依据是同位角相等，两直线平行； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，唯另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中．潜望镜常用于潜水艇，坑道和坦克内用以观察敌情．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，已知，AB∥CD，∠1＝∠2，请问进入潜望镜光线EA和出潜望镜光线DF是否平行？并说明理由． 【答案】进入潜望镜光线EA和出潜望镜光线DF是平行的，理由见分析 【分析】根据平行线的判定与性质进行说明即可． 解：进入潜望镜光线EA和出潜望镜光线DF是平行的，理由如下 ∵AB//CD ∴∠BAD=∠CDA ∵ ∴，即 ∴AE//DF 【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解答本题的关键． 【变式2】（2024·山西运城·三模）《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线．如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行进行判断作答即可． 解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故选：C． 【题型6】综合模型 【例6】（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与探究 【感知】如图①，，，，求的度数． 小乐想到了以下方法： 解：如图①，过点P作，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 所以． 【迁移】（1）如图②，已知，，，则______； 【探究】（2）如图③，已知，，，求的度数； 【应用】（3）如图④，在以上【探究】条件下，的平分线与的平分线交于点G，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）过点P作，由平行线的性质可得，，则可得，进而可求解． （2）过点P作，由平行线的性质得，，然后根据即可求解； （3）由角平分线的定义得，，过点G作，由平行线的性质得，，据此解得求得的度数． 解：（1），理由如下： 过点作，    ， ， ，， ， 即：， ，， ， 故答案为：； （2）如图2，过点P作， 所以 因为，所以． 所以． 所以． （3）因为是的平分线，是的平分线， 所以，． 如图3，过点G作， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 【变式1】如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案． 解：过C作CD∥AB，过M作MN∥EF， ∵AB∥EF， ∴AB∥CD∥MN∥EF， ∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=， ∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-， ∴=∠BCD+∠DCM=， 故选：C． 【点拨】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 【变式2】（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，已知． （1）感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； （2）问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键 （1）过点C作，根据平行线的性质易得，以此即可求解． （2）过点F作，过点C作，由平行线的性质得，由角平分线的性质得，，于是，再由角平分线的性质得，以此可得，结合①②即可得． （3）利用（2）中的结论求解即可． 解：（1）如图，过点C作， 则， ∴， ∴， ∴． （2）．理由如下： 如图，过点F作，过点C作， 则， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①②可得，即． （3）由（2）知，， ∵， ∴． 故答案为：． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】中考链接 【例1】（2022·湖北襄阳·中考真题）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（    ） A．30° B．40° C．60° D．70° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果． 解：∵mn，∠1=70°， ∴∠1=∠ABD=70°， ∵∠ABC=30°， ∴∠2=∠ABD-∠ABC=40°， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质． 【例2】（2023·四川宜宾·中考真题）如图， ，且，，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可求，再由，即可求解． 解：， ， ， ， ． 故选：D． 【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 【题型8】拓展延伸 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，． （1）若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由． （2）在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？ 【答案】（1），理由见分析；（2）或 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． （1）过点P作，根据可知，故可得出，，再由即可得出结论； （2）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段的延长线上与点P在线段的延长线上两种情况进行讨论． 解：（1）解：．理由如下： 如图，过点作， 因为， 所以， 所以，． 又因为， 所以； （2）解：①当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为，所以， 所以， 所以； ②当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 【例2】（23-24七年级下·浙江湖州·期中）感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程． （2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由． 实践探究： （3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数． 【答案】（1）证明见分析（2）理由见分析（3） 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用类比的结论解决问题是关键． （1）过点E作，证明，结合已知可得，再进一步可得结论； （2）由（1）可得，且，再进一步可得结论； （3）如图，令，，则，由（1）得：，表示，，结合，可得，过点H作，可得，，利用，再建立方程进一步求解即可． 解：（1）证明：过点E作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）可知， ，且， ∴， ∴； （3）如图，令，，则， 由（1）得：， ∵射线是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点H作， 则，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.8 相交线与平行线5大几何模型（全章几何模型梳理与分类讲解） 第一部分【模型梳理与题型目录】 【模型一】猪蹄型 已知：如图，AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E. 证明：如图，过点E作MN//AB. ∵MN//AB（作辅助线）. ∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）. ∵MN//AB（辅助线），AB//CD（已知） ∴MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行） ∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠1+∠2=∠BED（等式性质） ∴∠B+∠D=∠BED（等量代换） 拓展与延伸： 结论：朝左的角之和=朝右的角之和 【模型二】铅笔型 解：（1）∵AB∥CD（已知） ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） （2）过点E作一条直线EF平行于AB， ∵AB∥EF，AB∥CD（已知） ∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代换） （3）过点E、F作EG、FH平行于AB， ∵AB∥CD（已知） ∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代换） 结论：根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n组同旁内角，n个角的和是180（n-1）°． 【模型三】前扬角型 ∠B=∠E+∠C 过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性质） ∴∠B=∠BEC+∠C（等量代换） 结论：∠B=∠BEC+∠C 【模型四】后仰角模型 结论：∠C=∠E+∠B 证明：过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性质） ∴∠C=∠B+∠CEB（等量代换） 结论：∠C=∠B+∠CEB 【模型五】潜望镜模型 如下图： 【模型六】模型综合提高 ∠B+∠E-∠D=180°CD//EF，AB//GF→∠1+∠2=∠ABC 综上所述：几个几何模型共同点：都是通过作辅导线达到角度大小转化目的。 题型目录 【考点一】基本模型巩固 【题型1】猪蹄型模型........................................................4 【题型2】铅笔型模型........................................................5 【题型3】前扬角型模型......................................................7 【题型4】后仰角型模型......................................................7 【题型5】潜望镜模型........................................................8 【考点二】模型拓展培优 【题型6】模型综合提高.....................................................10 【考点三】中考链接与拓展延伸 【题型7】中考链接.........................................................11 【题型8】拓展延伸.........................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】猪蹄型模型 【例1】（23-24七年级下·河南周口·期中）【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，若，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知，记，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【题型2】铅笔型模型 【例2】（23-24七年级下·广东汕头·期末）完成下面推理过程，并在括号内填上推理依据． 如图，已知：，，，求证：． 证明：∵， ∴ （ ）， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ （ ）， ∴（ ）． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将一块带有角的直角三角板放置在一组平行线上，若，则的度数应该是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【题型3】前扬角型模型 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，直线，，则的度数为 ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型4】后翻角型模型 【例4】（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型5】潜望镜模型 【例5】（23-24七年级下·广西来宾·阶段练习）【学科融合】物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，． 【问题解决】 （1）判断与是否平行． 答：平行 理由：∵（已知）， ∴，依据是 ； ∵，（已知）， ∴，依据是 ； ∴反射光线与平行，依据是 ． 【尝试探究】 （2）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请证明进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行． 【拓展应用】 （3）如图3，改变两平面镜、之间的位置，若镜子与的夹角，经过两次反射后，，，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反．求的度数． 【变式1】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，唯另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中．潜望镜常用于潜水艇，坑道和坦克内用以观察敌情．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，已知，AB∥CD，∠1＝∠2，请问进入潜望镜光线EA和出潜望镜光线DF是否平行？并说明理由． 【变式2】（2024·山西运城·三模）《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线．如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【题型6】综合模型 【例6】（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与探究 【感知】如图①，，，，求的度数． 小乐想到了以下方法： 解：如图①，过点P作，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 所以． 【迁移】（1）如图②，已知，，，则______； 【探究】（2）如图③，已知，，，求的度数； 【应用】（3）如图④，在以上【探究】条件下，的平分线与的平分线交于点G，求的度数． 【变式1】如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，已知． （1）感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； （2）问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】中考链接 【例1】（2022·湖北襄阳·中考真题）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（    ） A．30° B．40° C．60° D．70° 【例2】（2023·四川宜宾·中考真题）如图， ，且，，则等于（　　）    A． B． C． D． 【题型8】拓展延伸 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，直线和直线、分别交于点和点，为直线上一点，、分别是直线、上的定点．设，，． （1）若点在线段（、两点除外）上）运动时，问、、之间的关系是什么？说明理由． （2）在的前提下，若点在线段之外时，、、之间的关系又怎样？ 【例2】（23-24七年级下·浙江湖州·期中）感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程． （2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由． 实践探究： （3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$