1.3 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学习题课件(北师大版)

第一章　三角形的证明 3　线段的垂直平分线 第1课时　线段垂直平分线的性质与判定 1 目 录 2 础 基 练 知识点1 线段垂直平分线的性质定理 1. （福建福州校级期中）如图，在△ABC 中，∠C=90°，ED 垂直平分AB，若BE=13，EC=5，则AC 的长为 （　　） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 3 2. （教材P23第1题改编）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=100°，AB 的垂直平分线交AB 于点E，交BC 于点F，连接AF，则∠FAC 的度数为 （　　） A. 80° B. 70° C. 60° D. 90° C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 4 A 3. （河南郑州校级期中）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E. 若△ABC的周长为22，BE=4，则△ABD 的周长为 （　　） A. 14 B. 18 C. 20 D. 26 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 5 4. （甘肃兰州期中）如图，在△ABC 中，EF 是AB的垂直平分线，与AB 交于点D，BF=4，CF=1，则AC 的长为_________. 5 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 6 5. （广东茂名期中）如图，在△ABC 中，DE 是AC的垂直平分线，分别交AC，AB 于点D，E. 若△BCE 的周长为8，BC=3，求AB 的长. 解：∵△BCE 的周长为8，BC=3，∴CE+BE=5. 又∵DE 是AC 的垂直平分线， ∴EC=EA，∴AB=AE+BE=CE+BE=5. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 7 6. （湖南永州校级期中）下列条件中，不能判定直线CD 是线段AB（C，D 不在线段AB 上）的垂直平分线的是 （　　） A. CA=CB，DA=DB B. CA=CB，CD⊥AB C. CA=DA，CB=DB D. CA=CB，CD过AB中点 知识点2 线段垂直平分线的判定定理 C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 8 7. 如图，D 是△ABC 的边BC 的延长线上一点，且BD=BC+AC，则点C 在线段_________的垂直平分线上. AD 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 9 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∵∠DBA=∠DCA，∴∠ABC-∠DBA=∠ACB-∠DCA， 即∠DBC=∠DCB，∴DB=DC. 又∵AB=AC，∴直线AD 垂直平分BC， 即直线AD 是线段BC 的垂直平分线. 8. （易错题）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠DBA=∠DCA，求证：直线AD 是线段BC 的垂直平分线. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 10 升 提 练 9. （广东茂名校级期中）如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，DE 为AB 的垂直平分线，AD=12，则CD 的长是 （　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 C 【解析】 如图，连接BD， ∵DE 是线段AB 的垂直平分线， ∴BD=AD=12，∴∠DBE=∠A=30°. ∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=90°−∠A=60°， ∴∠CBD=∠ABC−∠DBE=30°，∴CD= BD= ×12=6. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 11 10. 【新趋势 动点探究题】 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D 是边BC 的中点，直线MN 是AB 的垂直平分线，点E 是MN 上的一个动点，则△BDE 的周长的最小值是_________. 14 【解析】 如图，连接AD，AE， ∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AE=BE. ∵△ABC 是等腰三角形，D 是BC 的中点，∴AD⊥BC， ∴△BDE 的周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE≥BD+AD. 当A，E，D 三点共线时，△BDE 的周长最小. ∵AB=AC=10，BC=12，即BD=6，∴AD= =8， ∴△BDE 的周长的最小值为BD+AD=6+8=14. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 12 11. （易错题）在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°，则∠B=_________. 65°或25° 【解析】 （1）如图1，当AB 的垂直平分线MN与AC相交时， ∵∠AMD=90°，∴∠A=90°-40°=50°. ∵AB=AC，∴∠B=∠C= （180°-∠A）=65°. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 13 （2）如图2，当AB 的垂直平分线MN 与CA 的延长线相交时，∠DAB=90°-40°=50°. ∵AB=AC，∴∠B=∠C= ∠DAB=25°. 故答案为65°或25°. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 14 （1）证明：∵CE⊥AB，DF⊥BC， ∴△BCE 和△DCF 均是直角三角形. ∵点C 在BD 的垂直平分线上，∴CB=CD. ∵CE=DF，∴Rt△BCE≌Rt△CDF（HL），∴∠ABC=∠DCF. 12. （河南平顶山汝州期中）如图，在△ABD 中，点C 在BD 的垂直平分线上，连接BC，作CE⊥AB 于点E，DF⊥BC 交BC 的延长线于点F，且CE=DF. （1）求证：AB=AC； （2）如果∠ABD=102°，求∠A 的度数. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵∠DCF=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC. （2）解：∵CD=BC，∴∠CBD=∠CDB. ∵∠ACB=∠CBD+∠CDB，∴∠ACB=2∠CBD. ∵∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=2∠CBD. ∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=3∠CBD=102°， ∴∠CBD=34°，∴∠ABC=2∠CBD=68°， ∴∠A=180°-2∠ABC=44°. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 16 （1）证明：如图，连接AC， ∵点E 是BC 的中点，AE⊥BC，∴AB=AC. ∵点F 是CD 的中点，AF⊥CD， ∴AD=AC，∴AB=AD. 13. （河北唐山期中）如图，在四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 是CD 的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD. （1）求证：AB=AD. （2）请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF 之间有什么数量关系？并证明你的结论. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 17 （2）解：∠EAF=∠BAE+∠DAF. 证明：由（1）知AB=AC，即△ABC 为等腰三角形. ∵AE⊥BC，∴∠BAE=∠EAC. 同理，∠CAF=∠DAF， ∴∠EAF=∠EAC+∠FAC=∠BAE+∠DAF. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 18 解：（1）在等边△ABC 中，AQ 平分∠BAC， ∴点Q 是BC 的中点， ∴CQ=BQ= BC=3 cm，∴t= . 14. 【新趋势 探究性问题】 如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=6 cm，点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1 cm/s；点Q 从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2 cm/s，分别连接PQ，AQ. 设运动时间为t（s）（0<t<3），解答下列问题： （1）当AQ 平分∠BAC 时，求t 的值. （2）当t 为何值时，点P 在线段BQ 的垂直平分线上？ 养 素 练 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 19 （2）根据题意，BP=t cm，CQ=2t cm，则BQ=（6-2t）cm， 如图，过点P 作PD⊥BC 于点D， 在等边△ABC 中，∠B=60°，点P 在线段BQ 的垂直平分线上， ∴BD= BP，BD=DQ= BQ， 根据题意得 t= （6-2t），解得t=2， ∴当t=2时，点P 在线段BQ 的垂直平分线上. D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 20 绿卡图书—走向成功的通行证 21 $$