1.7 平面向量的应用举例（6大题型提分练）（题型专练）数学湘教版必修第二册

1.7 平面向量的应用举例 题型一 功、动量的计算 1.一物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且力所做的功，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2.冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（    ）    A． B．18 C． D．12 3.已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为60°，则做的功为（    ） A．7 B．10 C．14 D．70 4.共点力，作用在物体M上，产生位移，则共点力对物体做的功为（    ）． A． B．lg5 C．1 D．2 题型二 力的合成 1.一物体受到相互垂直的两个力的作用，两力大小都为 N，则两个力的合力的大小为（    ） A．5 N B． N C． N D． N 2.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（    ）    A． B． C． D． 3.已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，那么的大小为（   ） A． N B．5 N C． N D．10 N 4.若向量分别表示两个力，则（    ） A． B．2 C． D． 题型三 向量在几何中的其他应用 1.已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 2.在四边形中，若，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 3.如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 4.若非零向量与满足，且，则为（    ） A．三边均不等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 题型四 速度、位移的合成 1.如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（   ） A． B． C． D． 2.某人在高为米的楼上水平抛出一石块，速度为，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是（    ） A． B． C． D． 3.长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（    ） A． B． C． D． 4.某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（    ） A． B． C． D． 题型五 用向量解决线段的长度问题 1.在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 3.一个人骑自行车由A地出发向东骑行了到达B地，由B地向南东方向骑行了到达C地，从C地向北偏东骑行了到达D地，则A，D两地的距离是 ． 【答案】 4.已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 . 题型六 用向量证明线段垂直 1.已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 2.已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 3.如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    4.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. (1)用，表示，. (2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 1.下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（　　） A． B． C． D．1 3.有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 4.已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 5.一只鹰正以与水平方向成角的方向向下直扑猎物，太阳光直射地面，鹰在地面上影子的速度为，则鹰的飞行速率为（    ） A． B． C． D． 6.一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（    ） A． B． C． D． 7.一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移． 8.如图，是等边三角形，边长为2，P是平面上任意一点．求的最小值．    9.在南海伏季休渔期中，我渔政船甲在A处观测到一外国偷渔船乙在我船北偏东60°方向，相距a海里的B处，偷渔船正在向北行驶.若我船速度是渔船速度的倍，问我船应沿什么方向前进才能追上渔船？此时渔船已行驶多少海里？ 10.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向． (1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由． (2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） (3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.7 平面向量的应用举例 题型一 功、动量的计算 1.一物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且力所做的功，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的计算、功、动量的计算 【分析】利用平面向量数量积的定义即可求解. 【详解】由题意可知：，即， 解得：， 故选：D. 2.冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（    ）    A． B．18 C． D．12 【答案】D 【知识点】功、动量的计算 【分析】由平面向量数量积的定义即可得出答案. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：D. 3.已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为60°，则做的功为（    ） A．7 B．10 C．14 D．70 【答案】D 【知识点】功、动量的计算、用定义求向量的数量积 【分析】利用向量数量积的公式直接计算即可. 【详解】根据向量的数量积，做的功为cos 60°＝. 故选：D 4.共点力，作用在物体M上，产生位移，则共点力对物体做的功为（    ）． A． B．lg5 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】功、动量的计算 【分析】根据题意计算共点力的合力是，结合对物体做的功为计算出结果. 【详解】根据题意得：共点力的合力是， 对物体做的功为. 故选：D． 题型二 力的合成 1.一物体受到相互垂直的两个力的作用，两力大小都为 N，则两个力的合力的大小为（    ） A．5 N B． N C． N D． N 【答案】D 【知识点】力的合成 【分析】根据合力与分力的关系，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为一物体受到相互垂直的两个力的作用， 所以有， 所以两个力的合力的大小为： ， 故选：D 2.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】力的合成 【分析】设每根绳子上的拉力大小为T，根据平衡条件列式求解即可． 【详解】设每根绳子上的拉力大小为T，则根据平衡条件可得，, 解得． 所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N． 故选：A. 3.已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，那么的大小为（   ） A． N B．5 N C． N D．10 N 【答案】A 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、力的合成 【分析】因为合力与的夹角为，用两向量夹角的余弦公式列式求解 【详解】因为两个力，的夹角为，所以， 又因为它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，设合力与的夹角为， 所以，解得. 故选：A. 4.若向量分别表示两个力，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】力的合成、坐标计算向量的模 【分析】根据题意，求得，结合向量模的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，向量分别表示两个力， 可得， 所以. 故选：C. 题型三 向量在几何中的其他应用 1.已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 2.在四边形中，若，则四边形为（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【知识点】向量在几何中的其他应用、平行向量（共线向量） 【分析】 根据向量共线即可判断. 【详解】四边形ABCD中，若， 则，且， 所以四边形是梯形. 故选：B 3.如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、平面向量共线定理证明点共线问题、向量在几何中的其他应用 【分析】由题意可知三点共线，且，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】由可得， 又因为分别是边的中点， 所以，， 所以，即， 所以三点共线，且， 所以到的距离与到的距离之比也为， 又的面积与的面积都以为底， 所以的面积与的面积的比为． 故选：A 4.若非零向量与满足，且，则为（    ） A．三边均不等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、向量在几何中的其他应用 【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断. 【详解】解：， 的角平分线与BC垂直， ， ， 则是顶角为的等腰三角形， 故选：C. 题型四 速度、位移的合成 1.如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】速度、位移的合成 【分析】根据路程、位移的概念分别求出、即可得解. 【详解】因为一架飞机向西飞行，再向东飞行， 则飞机飞行的路程， 位移为向东，所以， 所以. 故选：A 2.某人在高为米的楼上水平抛出一石块，速度为，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】速度、位移的合成 【分析】求出石子的落地时间，再计算水平位移的大小． 【详解】设石子的落地时间为，则，解得， 所以石子落地点与抛出点的水平位移的大小． 故选：B    3.长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、速度、位移的合成、已知模求参数 【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式以及两向量垂直的充要条件求解. 【详解】由题意知， 则， 因为，， 即， 所以.故A，C，D错误. 故选：B. 4.某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】速度、位移的合成、垂直关系的向量表示、向量夹角的计算 【分析】设船的实际速度为，则，由题意可得，即，代入计算即可求出答案． 【详解】解：设船的实际速度为，则， 北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则， 所以， 即，解得， 故选：D． 题型五 用向量解决线段的长度问题 1.在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可. 【详解】如图所示，由题意可得： ， 即，解之得. 故选：A 2.在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.    则， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是6. 故选：D 3.一个人骑自行车由A地出发向东骑行了到达B地，由B地向南东方向骑行了到达C地，从C地向北偏东骑行了到达D地，则A，D两地的距离是 ． 【答案】 【知识点】用向量解决线段的长度问题、坐标计算向量的模 【分析】结合题意建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出，从而求出即可. 【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图，    则，，即， ，即， 所以，故. 所以A，D两地距离为. 故答案为：. 4.已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 . 【答案】 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】设D为的中点，则，再由向量数量积的运算性质求解即可. 【详解】设D为的中点，则， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 题型六 用向量证明线段垂直 1.已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、用向量证明线段垂直、用向量解决线段的长度问题 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 2.已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】用向量证明线段垂直、用向量解决夹角问题 【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形. 【详解】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 3.如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    【答案】证明见解析 【知识点】用向量证明线段垂直 【分析】根据平面向量的运算性质设，，转化求解，结合平面向量的数量积运算即可证明结论. 【详解】证明：如图，    设，， 则，，，， ∴， ∴，∴. 4.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. (1)用，表示，. (2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用向量证明线段垂直 【分析】（1）根据向量加减法法则和向量数乘即可求解； （2）证明即可判断EF⊥EG. 【详解】（1）； . （2）. 证明如下： 由（1）知，，， . ，. 1.下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】速度、位移的合成、力的合成 【分析】理解各物理量的物理性质，即可判断是否为向量. 【详解】题设物理量中向量有：速度、力、加速度，而质量、路程、密度、功都是标量. 故选：D 2.已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】根据平面向量的数量积的定义，利用基本不等式即可求解． 【详解】平面向量，的夹角为， ， ， 则， 当且仅当时取等号， 故的最小值为， 故选：A． 3.有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 【答案】A 【知识点】速度、位移的合成 【分析】作出示意图，将船速分解到沿河岸方向和垂直于河岸方向，与水流速度对比即可得到合速度(实际速度)． 【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．    设为渡口在对岸对应的点，则， 在中，∵，∴， ∴E和重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 故选：A. 4.已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用基底表示向量、已知数量积求模、用向量解决线段的长度问题 【分析】用平面向量基底表示，找到的关系求解即可. 【详解】设， 则， 由， 得，又已知，且， 则有， 故. 故选：A. 5.一只鹰正以与水平方向成角的方向向下直扑猎物，太阳光直射地面，鹰在地面上影子的速度为，则鹰的飞行速率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】速度、位移的合成 【分析】将原问题转化为向量的问题，然后结合几何关系求得鹰的飞行速度即可. 【详解】如图，表示鹰在地面上的影子的速度，表示鹰的飞行速度， 由题意知，，且， 所以. 故选：B. 6.一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】速度、位移的合成 【分析】分析可知，船的实际速度与水流速度垂直，作出图形，求出的值，即可求得船所需的时间. 【详解】若使得船的航程最短，则船的实际速度与水流速度垂直， 作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示： 由题意可知，，且，， 由勾股定理可得， 因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间， 则. 故选：B. 7.一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移． 【答案】飞机从B地到C地的位移：南偏西且距离为 km. 【知识点】速度、位移的合成、数量积的运算律、向量加法法则的几何应用 【分析】由题设有，应用向量数量积的运算律求即可. 【详解】如下图，， 则， 所以km. 又，即，结合图易知：在南偏西方位， 综上，飞机从B地到C地的位移：南偏西且距离为 km.    8.如图，是等边三角形，边长为2，P是平面上任意一点．求的最小值．    【答案】 【知识点】数量积的运算律 【分析】根据三角形中心的性质，结合平面向量数量积的运算性质、正弦定理进行求解即可. 【详解】取等边的中心O． 记，，，，则． 又， ， 所以． 当时，上式取最小值． 因为等边的边长为2，所以． 所以． 因此，当点P满足时，取最小，其最小值为． 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角形中心性质、正弦定理. 9.在南海伏季休渔期中，我渔政船甲在A处观测到一外国偷渔船乙在我船北偏东60°方向，相距a海里的B处，偷渔船正在向北行驶.若我船速度是渔船速度的倍，问我船应沿什么方向前进才能追上渔船？此时渔船已行驶多少海里？ 【答案】甲船应沿北偏东30°的方向去追赶乙船，在乙船行驶a海里处相遇. 【知识点】距离测量问题 【分析】由题意设乙船的速度大小为v，则甲船行驶的速度大小为，由余弦定理得为等腰三角形，可得结论. 【详解】设乙船沿B点向北行驶的速度大小为v，则甲船行驶的速度大小为； 设两船相遇的时间为t，相遇处为C， 则， 在中，，， 由余弦定理得，即， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 又因，即为等腰三角形. 又因， ∴ 即甲船应沿北偏东30°的方向去追赶乙船，在乙船行驶a海里处相遇. 10.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向． (1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由． (2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） (3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ 【答案】(1)的左侧. (2)，航行小时. (3) 【知识点】速度、位移的合成 【分析】（1）只需确定在反方向上的分速度与的大小，即可判断游船航行到达的位置. （2）要使游船能到达处则在反方向上的分速度与相等，列方程即可求，进而求垂直方向上的分速度，即可知航行时间. （3）根据题设，求出水平方向上的位移大小，结合勾股定理即可求实际航程. 【详解】（1）由题设，在反方向上的分速度为， ∴游船航行到达北岸的位置是在的左侧. （2）要使能到达处，则在反方向上的分速度为， ∴，故，又，此时， ∴垂直方向上的速度， ∴. （3）由（1）知：垂直方向航行时间为， ∴水平方向航行距离为， ∴游船航行到达北岸的实际航程. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$