1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学习题课件(北师大版)

第一章　三角形的证明 2　直角三角形 第1课时　直角三角形的性质与判定 1 目 录 2 础 基 练 知识点1 全等三角形的性质定理与判定定理 B 1. （广东东莞期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是 （　　） A. 4，5，6 B. 1，1，2 C. 6，8，9 D. 5，12，14 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 3 2. 如图，在△ABC 中，AB=13，AC=23，点D 在边AC 上，若BD=CD=10，AE 平分∠BAC，则AE 的长为 （　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 11 B 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 4 3. （重庆开州期中）下列三角形中，是直角三角形的有 （　　） ①△ABC 中，三边长a，b，c 满足a2=c2-b2； ②△ABC 的三内角之比为3∶4∶7； ③△ABC 的三边平方之比为1∶2∶3； ④△ABC 的三边之比为3∶4∶5. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 5 4. （广东揭阳期中）在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A-∠B=30°，则∠B 的度数是_________. 30° 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 6 5. 【新情境 生产生活】 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“风涛”号、“风浪”号轮船同时离开该港口，各自沿一固定方向航行，“风涛”号每小时航行24海里，“风浪”号每小时航行18海里，它们离开港口一个小时后分别位于点Q，R 处，且相距30海里. 如果知道“风涛”号沿北偏东60°方向航行，你能知道“风浪”号沿哪个方向航行吗？ 解：由题意可得RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里，∵182+242=302，∴△RPQ 是直角三角形，且∠RPQ=90°. ∵“风涛”号沿北偏东60°方向航行，∴∠RPS=30°，∴“风浪”号沿北偏西30°方向航行. S 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 7 6. （教材P18第3题改编）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度. 如图，小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，请你帮小明求出旗杆的高度. 解：设旗杆的高AB为x m，则绳子AC的长为（x+1）m， 在Rt△ABC 中，AB2+BC2=AC2， ∴x2+52=（x+1）2，解得x=12， ∴AB=12 m，即旗杆的高度为12 m. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 8 7. （1）（江苏无锡中考）请写出命题“如果a>b，那么b-a<0”的逆命题：___________________. （2）命题“在三角形中有两个角是锐角，则另一个角一定是钝角”的逆命题是_____________________________________________________. 知识点2 互逆命题、互逆定理 如果三角形的一个内角是钝角，那么另外两个内角均是锐角 如果b-a<0，那么a>b 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 9 解：（1）逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等（假命题）； （2）逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等（假命题）； （3）逆命题：内错角相等，两直线平行（真命题）； （4）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是45°（假命题）. （3）的原命题和逆命题都是真命题，它们是互逆定理. 8. （教材P16第3题改编）写出下列各命题的逆命题，并判断真假，指出其中的互逆定理. （1）全等三角形的对应角相等； （2）如果两个数相等，那么它们的绝对值相等； （3）两直线平行，内错角相等； （4）如果两个角都是45°，那么这两个角相等. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 10 升 提 练 9. 【新情境 数学文化】 明朝数学家程大位在他的著作《算 法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》： “平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺 板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬 挂于O 点，静止时竖直下垂，A 点为踏板位置，踏板离地 高度为一尺（AC=1尺）. 将它往前推进两步（EB⊥OC 于点E，且EB=10尺），踏板升高到点B 位置，此时踏板离地五尺（BD=CE=5 尺），则秋千绳索（OA 或OB）长_________尺. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 11 【解析】 设OB=OA=x 尺， 在Rt△OBE 中，OB=x 尺，OE=（x-4）尺，BE=10尺， ∴x2=102+（x-4）2，∴x= ， ∴秋千绳索（OA 或OB）长 尺. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 12 10. 【新情境 生产生活】 如图所示，四边形ABCD是长方形地面，长AB=14米，宽AD=12米，中间竖有一堵砖墙高MN=1米. 一只蚂蚁从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走_________米的路程. 20 【解析】 如图所示，将图展开，图形长度增加2个MN 的长度， 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 13 即原图长度增加2米，∴AB=14+2=16（米）. 连接AC， ∵四边形ABCD 是长方形，AB=16米，AD=12米， 在Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC= = =20（米）， ∴蚂蚁从A 点爬到C 点，它至少要走20米的路程. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 11. （山东东营校级期中）如图，在△ABC 中，∠ABC=40°，∠ACB=60°，AD 平分∠BAC，AE⊥BC，则∠DAE=_________°. 10 【解析】 ∵∠ABC=40°，∠ACB=60°， ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=80°. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD= ∠BAC=40°. ∴∠ADE=∠BAD+∠ABC=80°. ∵AE⊥BC，∴∠AED=90°， ∴∠DAE=90°-∠ADE=10°. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 15 12. 如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划设计图中∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24，求绿地的面积. 解：在Rt△ADC 中，∠ADC=90°， AD=8，CD=6， ∴AC2=AD2+CD2=82+62=100， ∴AC=10（取正值）. 在△ABC 中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676， ∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC 为直角三角形， ∴S阴影=SRt△ABC−SRt△ACD= ×10×24− ×8×6=96，∴绿地的面积为96. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 16 13. 【新趋势 材料阅读题】 法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的方程，显然，这个方程有无数组解. 我们把满足该方程的正整数解（x，y，z）叫做勾股数，如（3，4，5）就是一组勾股数. （1）在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n 表示大于1的整数，x=2n，y=n2-1，z=n2+1，那么，以x，y，z 为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z 为勾股数），请你加以证明； （2）探索规律：观察下列各组数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…，直接写出第6组数. 养 素 练 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 17 （1）证明：x2+y2=（2n）2+（n2-1）2=4n2+n4-2n2+1=n4+2n2+1=（n2+1）2=z2，即x，y，z 为勾股数. （2）解：第6组数是（13，84，85）. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 18 绿卡图书—走向成功的通行证 19 $$