1.1 第2课时 等腰三角形的性质（2）-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学习题课件(北师大版)

第一章　三角形的证明 1　等腰三角形 第2课时　等腰三角形的性质（2） 1 目 录 2 础 基 练 知识点1 等腰三角形中的相等线段 1. 【原创题 生产生活】 学习了等腰三角形中的线段后，明明总结了下面四句话，说法不正确的是 （　　） A. 等腰三角形两底角的平分线相等 B. 等腰三角形两腰上的中线相等 C. 等腰三角形两腰上的高相等 D. 等腰三角形底边上的高和腰上的高相等 D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 BM=CM 2. （福建福州校级模拟）如图，已知，在△ABC 中，AB=AC，BD⊥AC 于D，CE⊥AB 于E，BD 与CE 相交于M 点，则BM，CM 的数量关系是_________. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 证明：如图，连接AD. ∵AB=AC，D 是BC 边上的中点， ∴AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°. 在△AED 和△AFD 中，∴△AED≌△AFD，∴DE=DF. 3. （易错题）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是BC边上的中点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F. 求证：DE=DF. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 4. （福建漳州漳浦期中）一个等边三角形的边长为2，则该三角形的高为 （　　） A. 2 B. 1 C. 3 D. 2 知识点2 等边三角形的性质定理 C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 5. （山西太原校级期中）如图，在等边△ABC 中，AB=4，D 是边BC 上一点，∠BAD=30°，则CD的长为 （　　） A. 1 B. C. 2 D. 3 C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 6. 【新趋势 多模块综合】 如图，a⫽b，△ABC为等边三角形，若∠1=45°，则∠2的度数为 （　　） A. 105° B. 120° C. 75° D. 45° A 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 7. （山东滨州二模）如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 到点D，使CD=AC，连接AD. 若AB=4，则AD 的长为_________. 4 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 解：∵D，E 是BC 的三等分点， 且△ADE 是等边三角形， ∴BD=DE=EC=AD=AE， ∠ADE=∠AED=∠DAE=60°， ∴∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°， ∴∠BAD+∠CAE=30°+30°=60°. 8. （教材P6第2题改编）如图，在△ABC 中，D，E 是BC 的三等分点，且△ADE 是等边三角形，求∠BAD+∠CAE 的度数. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 9. （教材P7第3题改编）如图，在等边三角形ABC 中，点D，E 分别在边BC，AB 上，且BD=AE，AD 与CE 交于点F. （1）求证：AD=CE； （2）求∠DFC 的度数. （1）证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠EAC=∠B=60°，AC=BA. ∵AE=BD，∴△AEC≌△BDA. ∴AD=CE. （2）解：由（1）知△AEC≌△BDA，∴∠ACE=∠BAD. ∵∠BAC=60°，∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 10. 【新趋势 动点探究题】 如图，在等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 为AC 的中点，P 为AD 上一动点，若AD=12，则PC+PE的最小值为 （　　） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 升 提 练 A 【解析】 连接BP，如图所示， ∵AD⊥BC，∴∠BDP=∠CDP=90°，BD=CD. 又∵DP=DP，∴△BPD≌△CPD， ∴BP=PC，即PC+PE=PB+PE， ∴当B，P，E 共线时，PC+PE 取最小值，最小值为线段BE 的长. 连接BE，∵E 是AC 的中点，∴BE 是等边三角形ABC 的高，∴BE=AD=12. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 【解析】 利用折叠的性质可得△BDE≌△B′DE， ∴BD=B′D，BE=B′E， ∴阴影部分图形的周长 =AD+B′D+AG+B′E+EC+CG =（AD+B′D）+（AG+GC）+（B′E+EC） 11. 【新趋势 多模块综合】 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E 分别在边AB，BC上，将△BDE 沿直线DE 折叠，使点B 落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC 于点F，G，则阴影部分图形的周长等于 （　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 =（AD+BD）+（AG+GC）+（BE+EC） =AB+AC+BC. ∵△ABC 是边长为2的等边三角形， ∴AB=AC=BC=2，∴AB+AC+BC=6， ∴阴影部分图形的周长等于6. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 12. 如图，在△ABC 中，AB=AC，给出的下列条件中，不能使BD=CE 的是 （　　） A. BD，CE 分别为AC，AB 边上的高 B. BD，CE 分别为AC，AB 边上的中线 C. ∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB D. ∠ABD=∠BCE D 【解析】 若BD，CE 分别为AC，AB 边上的高，则根据面积可以求出BD=CE，故A选项不符合题意； 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 若BD，CE 分别为AC，AB 边上的中线， 在△BCD 和△CBE 中，∴△BCD≌△CBE， ∴BD=CE，故B选项不符合题意； 若∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB， 在△ABD 和△ACE 中，∴△ABD≌△ACE， ∴BD=CE，故C选项不符合题意. 由∠ABD=∠BCE 不能得出BD=CE，故D选项符合题意. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 解：（1）∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°. ∴∠DBC=∠ECA=120°. ∵AD=BE，∴AD-AB=BE-BC，即BD=CE. 在△BCD 和△CAE 中， 13. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D，E分别在边AB，BC 的延长线上，且AD=BE，连接DC，AE. （1）试说明△BCD≌△CAE； （2）如果BE=2AB，求∠BAE的度数. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ∴△BCD≌△CAE（SAS）. （2）∵BE=2AB=2BC，∴BC=CE. ∵AC=BC，∴AC=CE，∴∠CAE=∠E. ∵∠ACB=∠CAE+∠E=60°，∴∠E=30°. ∵∠ABE+∠E+∠BAE=180°，∠ABE=60°， ∴∠BAE=180°-∠ABE-∠E=90°. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 解：（1）∵△ACD 为等边三角形， ∴∠ADC=∠ACD=60°，AC=DC. ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°，DC=BC， ∴∠CDB= ∠CBD= ×（180° - ∠DCB）= ×（180° -30°）=75°， 14. （河北保定顺平校级阶段练习）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，△ACD为等边三角形，连接BD. （1）求∠ADB 的度数； （2）求△BCD 的面积. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 ∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=60°+75°=135°. （2）如图，过D 作DE⊥AC 于E，∴∠AED=90°. ∵∠ACB=90°，∴DE⫽BC， ∴△BCD 的边BC 上的高等于CE. ∵△ACD 为等边三角形，∴AD=CD. 又∵DE⊥AC，AC=BC=2， ∴EC= AC= ×2=1， ∴S△BCD= BC·EC= ×2×1=1. E 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 解：（1）在等边三角形ABC 中，CD= BC=2， 在Rt△ADC 中，AD= =2，∴S△ABC= BC·AD= ×4×2=4. （2）AC⊥DE. 15. （浙江金华中考）如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD⊥BC 于点D，以AD 为一边向右作等边三角形ADE. （1）求△ABC 的面积； （2）判断AC，DE 的位置关系，并给出证明. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 证明：在△CDF 中，∵∠CDE=90°-∠ADE=30°， ∴∠CFD=180°-∠C-∠CDE=180°-60°-30°=90°. ∴AC⊥DE. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 养 素 练 16. 【新趋势 探究性问题】 如图，已知∠MON=30°，A，B，C，D 在射线ON 上，点E，F，G 在射线OM 上，△ABE，△BCF，△CDG 均为等边三角形，若OA=1，则△ CDG 的周长为_________. 12 解析：∵△ABE 是等边三角形， ∴∠EAB=60°，∴∠OAE=120°. ∵∠MON=30°， ∴∠AEO=180°-120°-30°=30°. ∴OA=AE. 同理可得，OB=BF，OC=CG. ∴OB=OA+AE=2，∴OB=BF=BC=2. ∴CG=OC=2+2=4，∴△CDG 的周长为12. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 绿卡图书—走向成功的通行证 24 $$