1.6 解三角形（8大题型提分练）（题型专练）数学湘教版必修第二册

1.6 解三角形 题型一 正弦定理解三角形 1.在中，内角所对的边分别是.已知，则的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 又因，所以， 所以. 故选：C. 2.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】解：由题意得： 因为，所以由正弦定理得，即． 故选：A． 3.在中，如果，那么的长为（    ） A．72 B． C． D．30 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形 【分析】利用同角关系式及正弦定理即得. 【详解】在中，因为， 所以， 又， 所以． 故选：D. 题型二 余弦定理边角互化的应用 1.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】由余弦定理求出答案. 【详解】由得：， 解得： 故选：B 2.已知△ABC的外接圆半径为R，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B，那么角C的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、特殊角的三角函数值 【分析】运用正弦定理角化边及余弦定理可求得结果. 【详解】由正弦定理得，，即：， 所以， 又因为， 所以. 故选：C. 3.在中，是三角形的三条边，若方程有两个相等的实数根，则是（    ） A．锐角三角形； B．直角三角形； C．钝角三角形； D．以上都有可能． 【答案】B 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、正弦定理边角互化的应用 【分析】方程有两个相等的实数根，则有，再利用正弦定理边角互化的应用可得，从而可得三角形的形状. 【详解】由题可知, 方程有两个相等的实数根， ， ，再由正弦定理可得， 是直角三角形. 故选：B. 题型三 余弦定理解三角形 1.已知的内角A，B，C所对的边分别是，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由已知，根据题意，可使用余弦定理直接求解出. 【详解】，即， 由余弦定理得：. 故选：B. 2.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（    ） A．12 B．24 C．27 D．36 【答案】A 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 又因，所以， 由，得， 所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：A. 3.在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据，得，由余弦定理可求. 【详解】因为向量，， 因为， 所以，即， 由余弦定理可得. 因为，所以， 故选：B. 题型四 距离测量问题 1.如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】距离测量问题 【分析】根据图形，可以知道，可以测得，角也可测得，、都是不易测量的数据，从而可得结论 【详解】根据实际情况、都是不易测量的数据， 在中，，可以测得，角也可测得， 利用余弦定理, 可求解AB的长度. 故选：C． 2.一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（    ） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 【答案】D 【知识点】余弦定理边角互化的应用、距离测量问题 【分析】由题意画出图形，结合余弦定理求解即可. 【详解】记轮船初始位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示． 则，，所以在中，由余弦定理得，所以． 故20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里． 故选：D. 3.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知, 由余弦定理可得， 故选：D 题型五 正弦定理判定三角形解的个数 1.在中，若，则此三角形（    ） A．无解 B．有两解 C．有一解 D．解的个数不确定 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理求出，再结合，即可得出结论. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以， 所以满足的有两个，所以此三角形有两解. 故选：B. 2.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理可判定选项A，利用正弦定理和大边对大角可判断选项B，C，D. 【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误； 对于B，根据正弦定理得，， 又，，B有两解，故B符合题意； 对于C，由正弦定理：得：， C只有一解，故C不符合题意. 对于D，根据正弦定理得，， 又，，D只有一解，故D不符合题意. 故选：B 3.在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 . 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理和图形关系得到，然后解不等式即可. 【详解】    由图可得，要使有两解，则，即，解得. 故答案为：. 题型六 高度测量问题 1.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】高度测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】在中，由余弦定理求得，在中，运用正弦定理求得即可. 【详解】在中，设，则， 由余弦定理得， 即，解得． 在中，． 由正弦定理得，即，解得． 故选：B． 2.某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高AB为，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】高度测量问题、几何图形中的计算、正弦定理解三角形、特殊角的三角函数值 【分析】由已知求出AM，在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算即可得到天文台的高度． 【详解】在Rt△ABM中，有， 在△ACM中，有，，， 由正弦定理得， 故， 在Rt△CDM中，有， 又， 则． 故选：C． 3.如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为，山脚A处的俯角为，已知，则下列选项中山的高度BC错误的是（    ）    A．700m B．640m C．600m D．560m 【答案】ABD 【知识点】高度测量问题 【分析】利用正弦定理解三角形即可得解. 【详解】根据题意，可得在中，，， 所以； 因为在中，，， 所以， 由正弦定理得， 在中，． 故选：ABD. 题型七 正弦定理及辨析 1.有关正弦定理的叙述 ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于直角三角形; ③在某一个确定的三角形中，各边与其所对角的正弦的比是一定值 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】正弦定理及辨析 【分析】利用正弦定理直接判断作答. 【详解】由正弦定理知，在一个三角形中，各边和它所对角正弦的比相等， 因此，对于任意，都有，其中分别是角所对的边， 所以正弦定理适用于任意三角形.①②错误，③正确. 故选：B. 2.在中，下列式于与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】正弦定理及辨析 【分析】利用正弦定理可得结果. 【详解】由正弦定理可得，设， 则， 故满足条件为AC选项. 故选：AC. 3.下列说法中正确的有（    ） A．在中， B．在中，若，则 C．在中，若，则；若，则 D．在中， 【答案】ACD 【知识点】正弦定理及辨析、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理，逐项判断，即可得出结果. 【详解】设外接圆的半径为R，由正弦定理得． 对于A，，正确； 对于B，由二倍角公式得， 则，即， 整理得，即， 则或，所以或，错误； 对于C，（大边对大角），正确； 对于D，，正确． 故选：ACD. 题型八 三角形面积公式 1.已知中，分别是角的对边，若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】首先利用余弦定理得，再利用向量数量积公式求得，最后利用三角形面积公式即可. 【详解】由余弦定理得， 因为，所以，又， 所以，则，则， 故选：C. 2.（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．若，则的面积为 D．若，则内切圆半径为 【答案】ACD 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦定理得到A选项；由大边对大角确定C最大，由余弦定理求出得到答案；C选项，由角C的余弦求出角C的正弦，再用面积公式求解；D选项，设出内切圆半径，利用面积列出方程，求出内切圆半径. 【详解】由正弦定理得：，A正确； 大边对大角，故C最大，设，则，故是锐角三角形，B错误； 因为，所以，由得：，故的面积为，C正确； 此时设内切圆半径为r，则，解得：，D正确. 故选：ACD 3.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，其公式为：.若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理及辨析 【分析】由余弦定理得，又，代入面积公式计算即可. 【详解】因为，， 所以， 则， 故选：D. 1.在中，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理化简可得. 【详解】由，结合正弦定理可得：， 因为，所以， 因为，所以或； 故选：C 2.已知空间向量，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的计算、余弦定理解三角形 【分析】设，在中由余弦定理求解. 【详解】空间向量，，，， 则三向量可能构成三角形的三边. 如图，设，则中，， . 故选：D 3.已知中，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正弦定理边角互化的应用 【分析】先利用三角函数的基本关系式求得，再利用正弦定理推得为锐角，从而可求得，再利用余弦的和差公式即可求得. 【详解】因为在中，，所以， 所以，由正弦定理可得，故，故为锐角， 所以， 所以. 故选：B. 4.在中，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用给定条件结合对数运算可得，再利用正弦定理角化边即可判断得解. 【详解】因，则有， 即有，于是得， 在中，由正弦定理得：， 所以是直角三角形. 故选：B 5.的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理可以计算出第三边，再用正弦定理求出外接圆半径. 【详解】不妨设，，的外接圆的半径为， 则，． ， ， , ， ． 故选：C. 6.一点测得一电视塔尖的仰角为，再向塔底方向前进，又测得塔尖的仰角为，则此电视塔高约为（    ）m A．237 B．227 C．247 D．257 【答案】A 【知识点】高度测量问题 【分析】画出示意图，设塔高，根据题意得到，即可求解. 【详解】如图所示，由题意知，和都是直角三角形， 且， 设塔高，可得且， 所以，解得. 故选：A.    7.已知锐角中，，则（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用三角形内角和定理与两角和的余弦公式得到，再利用余弦定理即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，因为， ，所以， 因为为锐角三角形，所以，则，所以， 在中，由余弦定理可得，所以， 则， 故选：C. 8.（多选）某人向正东方向走了后向右转了，然后沿新方向走了，结果离出发点恰好，那么x的值是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】AB 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】设，由余弦定理代入即可得出答案. 【详解】 由题意设． 由余弦定理得， 解得或． 故选：AB. 9.落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝ 米． 【答案】 【知识点】高度测量问题、余弦定理解三角形 【分析】设，表示出，利用结合余弦定理列方程求解. 【详解】设， 则. 由得， 由余弦定理得， 解得，即OP为米． 故答案为：. 10.在中，内角所对的边长分别为，且满足. (1)求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出； （2）由正弦定理得出，再由面积公式求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，所以 因为为三角形的内角，所以 （2）因为，，， 由正弦定理可得：，所以 因为为三角形的内角，所以 . 11.已知△ABC的外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2R(sin2A-sin2C)=(a-b)·sin B，求△ABC面积的最大值. 【答案】R2 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】利用余弦定理可求，再利用基本不等式可求△ABC面积的最大值. 【详解】由正弦定理，得a2-c2=(a-b)b， 即a2+b2-c2=ab. 由余弦定理，得. ∵，∴，故. 由余弦定理可得，故. 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立. 故， 故三角形面积的最大值为. 12.如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里. (1)求∠ABC 的正弦值； (2)当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离. 【答案】(1) (2)海里 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】（1）利用正弦定理求∠ABC 的正弦值； （2）应用余弦定理求甲乙两船之间的距离. 【详解】（1）由题设，，，， 在△中，，则； （2）由题意，，由（1）及题图知：为锐角，则， 由， 所以海里. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.6 解三角形 题型一 正弦定理解三角形 1.在中，内角所对的边分别是.已知，则的大小为（    ） A．或 B．或 C． D． 2.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 3.在中，如果，那么的长为（    ） A．72 B． C． D．30 题型二 余弦定理边角互化的应用 1.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.已知△ABC的外接圆半径为R，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B，那么角C的大小为（    ） A． B． C． D． 3.在中，是三角形的三条边，若方程有两个相等的实数根，则是（    ） A．锐角三角形； B．直角三角形； C．钝角三角形； D．以上都有可能． 题型三 余弦定理解三角形 1.已知的内角A，B，C所对的边分别是，，则（    ） A． B． C． D． 2.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（    ） A．12 B．24 C．27 D．36 3.在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 题型四 距离测量问题 1.如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据（    ）    A． B． C． D． 2.一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（    ） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 3.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（    ） A． B． C． D． 题型五 正弦定理判定三角形解的个数 1.在中，若，则此三角形（    ） A．无解 B．有两解 C．有一解 D．解的个数不确定 2.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3.在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 . 题型六 高度测量问题 1.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2.某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高AB为，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为，山脚A处的俯角为，已知，则下列选项中山的高度BC错误的是（    ）    A．700m B．640m C．600m D．560m 题型七 正弦定理及辨析 1.有关正弦定理的叙述 ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于直角三角形; ③在某一个确定的三角形中，各边与其所对角的正弦的比是一定值 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.在中，下列式于与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 3.(多选）下列说法中正确的有（    ） A．在中， B．在中，若，则 C．在中，若，则；若，则 D．在中， 题型八 三角形面积公式 1.已知中，分别是角的对边，若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2.（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．若，则的面积为 D．若，则内切圆半径为 3.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，其公式为：.若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（    ） A． B． C． D． 1.在中，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 2.已知空间向量，，，，则（    ） A． B． C． D． 3.已知中，，则（    ） A．或 B． C． D．或 4.在中，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5.的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 6.一点测得一电视塔尖的仰角为，再向塔底方向前进，又测得塔尖的仰角为，则此电视塔高约为（    ）m A．237 B．227 C．247 D．257 7.已知锐角中，，则（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 8.（多选）某人向正东方向走了后向右转了，然后沿新方向走了，结果离出发点恰好，那么x的值是（    ） A． B． C．3 D．6 9.落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝ 米． 10.在中，内角所对的边长分别为，且满足. (1)求； (2)若，求. 11.已知△ABC的外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2R(sin2A-sin2C)=(a-b)·sin B，求△ABC面积的最大值. 12.如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里. (1)求∠ABC 的正弦值； (2)当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$