1.5 向量的数量积（6大题型提分练）（题型专练）数学湘教版必修第二册

1.5 向量的数量积 题型一 向量的数量积 1.已知，，与的夹角是，则等于（　　） A． B． C． D． 2.在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知与为两个不共线的单位向量，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 4.下列各命题中，不正确的命题的个数为（    ） ①   ②   ③  ④ A．4 B．3 C．2 D．1 题型二 数量积的坐标表示 1.设，，，则（   ） A．11 B．5 C．-14 D．10 2.已知平面向量，，满足，，且．若，则（    ） A． B． C． D． 3.已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．或2 4.已知向量，满足，，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．2 题型三 已知数量积求模 1.已知，，则（　　） A．1 B． C．2 D．或2 2.已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3.已知非零向量，满足，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 4.已知，是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 题型四 向量夹角的计算 1.若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2.已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3.若非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4.设两个向量，满足，，，之间的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 利用数量积求参数 1.若向量，则“”是“向量的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 3.已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 4.已知向量与垂直，若，且与向量的夹角是锐角，则（    ） A． B． C． D． 题型六 平面向量数量积的定义及辨析 1.已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 2.下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 3.设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．与垂直 D． 4.设，均为单位向量，则“”是“⊥”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1.已知向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2.为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 3.已知，为单位向量，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4.已知，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．4 B．8 C．－8 D．－4 5.已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 6.若，，和的夹角为120°，则在方向上的投影数量为（    ） A． B． C． D．2 7.已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 8.已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围. 9.若向量满足，，则（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 10.已知向量，，与的夹角为. (1)求； (2)求； (3)求. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 向量的数量积 题型一 向量的数量积 1.已知，，与的夹角是，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】由平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】由平面向量数量积的定义可得. 故选：B. 2.在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】由零向量、向量数乘、数量积等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案. 【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误； 0乘以任何向量都为零向量，故②正确； 向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误； 不一定有，如满足条件，结论不成立，故④错误； 故选：A 3.已知与为两个不共线的单位向量，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】向量夹角的计算、已知数量积求模、用定义求向量的数量积、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直，向量的模以及向量夹角公式判断即可. 【详解】选项A：若，则，即， 与与为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A说法错误； 选项B：设与的夹角为，则，， 所以，故选项B 说法错误； 选项C：若，则， 所以，，即， 所以， 又，所以，故选项C说法错误； 选项D：因为，， 所以，化简得， 设与的夹角为，则，，所以， 所以，即，所以，故选项D说法正确； 故选：D 4.下列各命题中，不正确的命题的个数为（    ） ①   ②   ③  ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、向量数乘的有关计算、相等向量 【分析】利用平面向量数量积的运算性质及运算律可判断①③，利用数乘向量的结合律可判断②，利用数量积的意义及相等向量判断④作答. 【详解】由向量数量积的运算性质知，①正确；由数乘向量的结合律知，②正确； 因，③正确； 都表示两个非负实数，表示与共线的向量，表示与共线的向量，即与不一定相等，④不正确. 故选：D 题型二 数量积的坐标表示 1.设，，，则（   ） A．11 B．5 C．-14 D．10 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】先根据向量坐标运算求出，的坐标，然后利用向量数量积的坐标公式求解即可. 【详解】因为，，，所以，， 所以. 故选：A 2.已知平面向量，，满足，，且．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量的垂直和数量积的坐标表示求出，再用坐标公式求模即可. 【详解】设，则，可得， 所以. 故选:A 3.已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．或2 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】利用投影向量的定义，由数量积的坐标表示即可求出. 【详解】利用投影向量的定义，由向量在向量上的投影向量为可得， 即可得， 结合，得， 即，所以， 故选：C． 4.已知向量，满足，，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．2 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】设且，建立直角坐标系，得到，求得，得到，结合基本不等式和函数上的单调性，即可求解. 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设且， 因为，可得， 则， 所以， 又因为向量满足，可得，解得， 所以， ， 则， 设，因为，当且仅当， 所以， 又因为在上为单调递增函数， 所以，即的最小值为. 故选：A. 题型三 已知数量积求模 1.已知，，则（　　） A．1 B． C．2 D．或2 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据数量积的运算律即可求解模长. 【详解】因为，所以， 故选：C. 2.已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解. 【详解】， 在上的投影向量为， 故选：C 3.已知非零向量，满足，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】利用向量数量积与模长关系结合二次函数的性质计算即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时，等号成立. 故选：B 4.已知，是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、已知数量积求模、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】根据给定条件利用向量模的计算公式得出关于t的函数，再借助均值不等式求解即得. 【详解】因，是两个互相垂直的单位向量，则， ， 当且仅当，即时取等号，则 所以当时，的最小值是. 故选：B 题型四 向量夹角的计算 1.若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算 【分析】利用数量积公式求出，然后由数量积定义可得夹角； 【详解】因为， ， ， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B. 2.已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量模的坐标表示、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】由两边平方可得，带入即可得解, 【详解】因为， 等式两边平方得， 又，所以， 解得. 故选：D. 3.若非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】由数量积的定义和运算律进行运算即可. 【详解】∵，∴， 设与的夹角为，且，∴， 由已知，， ∴， ∵，∴. 故选：C. 4.设两个向量，满足，，，之间的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据题意，，且不能共线反向，再求解即可得实数的取值范围； 【详解】因为，，与的夹角为， 所以， 因为向量与向量的夹角为钝角， 所以且不能共线反向， 若， 则， 解得， 若向量与向量共线反向，则有， 即，解得（舍去）或，所以， 综上可得实数的取值范围. 故选：B 题型五 利用数量积求参数 1.若向量，则“”是“向量的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、数量积的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】根据向量的夹角为钝角求出m的范围，即可判断“”和“向量的夹角为钝角”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】向量，由向量的夹角为钝角， 即有，解得且， 即“”不能推出“且”即“向量的夹角为钝角”； “向量的夹角为钝角”即“且”能推出“”； 故“”是“且”的必要不充分条件， 即“”是“向量的夹角为钝角”的必要不充分条件． 故选：B． 2.设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】根据条件，利用向量垂直的坐标运算，得出，从而可得出，再利用向量数量积公式即可求出结果. 【详解】因为，，又，所以，得到， 所以，得到， 所以， 故选：B. 3.已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】已知模求参数、已知数量积求模 【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案. 【详解】因为，所以， 即，解得. 故选：A. 4.已知向量与垂直，若，且与向量的夹角是锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用向量垂直求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】根据题意，设，由条件列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】设，因为向量与垂直，且， 则可得，解得或， 又因为与向量的夹角是锐角， 当时，，故舍去， 当时，，满足. 故选：A 题型六 平面向量数量积的定义及辨析 1.已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】. 故选：C 2.下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 【答案】AD 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项. 【详解】，， 可得，故选项A正确； 由可得， 又，可得或， 故选项B错误； , 所以不一定成立， 故选项C错误； 由向量数量积运算的分配律可知选项D正确； 故选：AD. 3.设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．与垂直 D． 【答案】ABD 【知识点】向量减法法则的几何应用、平面向量数量积的定义及辨析、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】A：根据不共线进行分析；B：根据数量积的计算公式进行分析；C：根据数量积的运算进行分析；D：结合向量的三角不等式进行分析. 【详解】选项A：因为是三个非零的平面向量，且相互不共线， 所以不会同时与垂直，所以与不会同时为， 所以，故A错误； 选项B：，由于， 所以，故B错误； 选项C：因为， 所以与垂直，故C正确； 选项D：因为是非零向量，且不共线，所以设， 从而，在中，两边之差小于第三边，所以，故D错误； 故选：ABD. 4.设，均为单位向量，则“”是“⊥”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】已知模求数量积、探求命题为真的充要条件 【分析】将化简，求出，结合充分、必要条件判断即可. 【详解】由， 又，均为单位向量，所以， 所以， 所以“”是“⊥”的充分必要条件. 故选：C 1.已知向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】利用向量夹角的坐标表示可得，结合向量夹角的范围及，得到与的夹角与的关系式. 【详解】设与的夹角为，则． ∵，， ∴， ∴． 故选：A 2.为平面向量，已知，则夹角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】由平面向量夹角公式的坐标运算即可得到答案. 【详解】设向量的夹角为θ，则. 故选：A. 3.已知，为单位向量，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求即可判断夹角大小. 【详解】由题意，则与的夹角为. 故选：B 4.已知，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．4 B．8 C．－8 D．－4 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量、数量积的运算律、求投影向量 【分析】根据投影向量的知识列方程，化简求得. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，即， 因为，所以，即，所以. 故选：C 5.已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】根据投影向量公式计算即可． 【详解】由已知得，， 向量在向量上的投影向量为， 整理得，即， 解得． 故选：C． 6.若，，和的夹角为120°，则在方向上的投影数量为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】根据向量投影数量的概念即可求得在方向上的投影数量． 【详解】因为，，和的夹角为120°， 所以在方向上的投影数量为． 故选：A． 7.已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的坐标表示、向量夹角的计算 【分析】根据数量积，结合共线即可求解. 【详解】∵与的夹角为钝角，∴，即． 当时，，解得， 当时，，此时反向共线， ∴的取值范围是． 故选：D 8.已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】. 【知识点】向量夹角的坐标表示、利用数量积求参数、数量积的坐标表示、向量夹角的计算 【分析】本题根据向量夹角的计算公式结合夹角为钝角可得，再由与不平行可得，综合可得出结果. 【详解】因为与的夹角为钝角，所以，由题意可知与不平行， 所以且， 解得或. 所以的取值范围为. 9.若向量满足，，则（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【答案】BC 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、求投影向量 【分析】 根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，求出，即可判断D. 【详解】对于A：因为，， 所以，所以，故A错误； 对于B：设与的夹角为，则，又，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，且， 所以在上的投影向量为，故D错误； 故选：BC 10.已知向量，，与的夹角为. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】由向量数量积定义和运算律依次求解即可. 【详解】（1）. （2），. （3）. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$