1.4 向量的分解和坐标表示（5大题型提分练）（题型专练）数学湘教版必修第二册

1.4 向量的分解和坐标表示 题型一 基底的概念及辨析 1.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（    ） A． B． C． D． 2.设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3.已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（    ） A． B． C． D． 4.（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与可以作为基底 C． D．与方向相同 题型二 平面向量线性运算的坐标表示 1.若，，则等于（　　） A． B． C． D． 2.若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 3.已知向量．若实数k与向量满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 4.已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型三 用基底表示向量 1.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（    ） A． B． C． D． 2.如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（    ） A． B． C． D． 3.在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（    ）． A． B． C． D． 4.在中，点满足，若，则（     ） A． B． C． D． 题型四 平面向量基本定理的应用 1.如图，在平行四边形中，，，E是边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2.在中，点D在边AB上且满足，E为BC的中点，直线DE交AC的延长线于点F，则（    ） A． B． C． D． 3.设与是两个不共线的向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为（    ） A．－ B．－ C．－ D．－ 4.（多选）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若存在实数，，使，则 题型五 利用平面向量基本定理求参数 1.已知向量、不共线，且，则的值等于（    ） A．3 B．－3 C．0 D．2 2.是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（    ）. A． B． C． D． 3.已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 4.在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为（　　） A． B． C． D． 1.已知向量，，若，则（    ） A． B． C．4 D．1 2.已知向量．若，则实数的值为（    ） A．－8 B．－6 C．－1 D．6 3.若平面向量，满足，平行于轴，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4.如图，平行四边形中，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 5.已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 6.在平行四边形中，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 7.已知向量，，则 ． 8.已知平行四边形ABCD，设向量，．试用、表示下列向量： (1)； (2)． 9.已知的三个顶点为，求顶点的坐标． 10.如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于． (1)用和表示； (2)求证：． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 向量的分解和坐标表示 题型一 基底的概念及辨析 1.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】利用基底的定义求解. 【详解】由题中图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量， 与不共线，可作为基底向量． 故选：B. 2.设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】只要两个向量不共线，便可作为平面内的一组基底，从而判断哪组向量共线即可. 【详解】对于A，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，A错误； 对于B，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，B错误； 对于C，， 和共线，不能作为一组基底，C正确； 对于D，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，D错误. 故选：C. 3.已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】判断选项中的两个向量是否平行，即可判断选项. 【详解】若两向量平行，则不可以作为基底， 由选项可知，ABD中的两个向量都不共线，可以作为基底， C中的向量，满足，向量，不能作为基底. 故选：C 4.（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与可以作为基底 C． D．与方向相同 【答案】AC 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、基底的概念及辨析 【分析】根据向量的坐标运算，共线向量定理和平面向量基本定理逐项分析即得. 【详解】对于A，因为，，可得，则，A正确； 对于B，平面内不共线的两个向量可以作为基底，可知两向量共线，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，与方向相反，D错误； 故选：AC. 题型二 平面向量线性运算的坐标表示 1.若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据直接求解. 【详解】因为，， 所以. 故选:D. 2.若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、用基底表示向量 【分析】根据向量的坐标运算得出选项. 【详解】, 因为不共线，所以基底表示向量系数 唯一，B正确. 故选：B. 3.已知向量．若实数k与向量满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相等向量、用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数 【分析】设，先求出的坐标，利用建立方程组，找出的关系来判断选项即可. 【详解】设， 因为向量， 所以， 又， 所以， 时不成立，所以， 所以， 选项A，不满足， 选项B，不满足， 选项C，不满足， 选项D，满足， 故选：D. 4.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】代入向量坐标的线性运算公式，即可求解. 【详解】. 故选：D 题型三 用基底表示向量 1.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、向量减法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】解：， ， ， ， 故选：C 2.如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用基底表示向量 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】，故， 则. 故选：A 3.在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】利用平面向量的线性运算即可求解． 【详解】由题意，画出图象如下： 可得． 故选：D． 4.在中，点满足，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量 【分析】利用向量的线性运算，由基底表示向量即可求解. 【详解】在中，点满足， 则， 又，所以. 故选：B. 题型四 平面向量基本定理的应用 1.如图，在平行四边形中，，，E是边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】根据平面向量基本定理结合题意求解即可. 【详解】由题意知， 所以 ． 故选：D． 2.在中，点D在边AB上且满足，E为BC的中点，直线DE交AC的延长线于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】根据A，C，F三点共线及D，E，F三点共线，结合平面向量基本定理用和表示出，然后根据向量相等即可得解． 【详解】 由题，A，C，F三点共线，则， D，E，F三点共线，则， ∴　，得　， ∴． 故选：B. 3.设与是两个不共线的向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为（    ） A．－ B．－ C．－ D．－ 【答案】B 【知识点】平面向量基本定理的应用、已知向量共线（平行）求参数、平面向量的混合运算 【分析】根据向量共线的判定定理结合向量的线性运算求解. 【详解】由题意可得：， 若A，B，D三点共线，所有必存在一个实数λ，使得， 即， 可得，解得. 故选：B. 4.（多选）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若存在实数，，使，则 【答案】BC 【知识点】基底的概念及辨析、平面向量基本定理的应用 【分析】根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断. 【详解】由题意可知：，可以看成一组基底向量， 根据平面向量基本定理可知：A，D正确，B不正确； 对于C，当时，则， 此时任意实数均有，故C不正确； 故选：BC． 题型五 利用平面向量基本定理求参数 1.已知向量、不共线，且，则的值等于（    ） A．3 B．－3 C．0 D．2 【答案】D 【知识点】基底的概念及辨析、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由平面向量基本定理，列方程求解. 【详解】向量、不共线，且， 则有，解得，所以. 故选：D 2.是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由向量加减、数乘几何意义用表示出，即可得结果. 【详解】由题设 ， 所以，即， 又，故. 故选：A 3.已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据共线定理有，再由平面向量基本定理列方程组可得. 【详解】∵向量，不共线，且向量，，与反向， ∴存在实数使， 于是． 整理得． 由于向量，不共线，所以有， 整理得， 解得或． 又因为，所以， 故． 故选：B． 4.在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【详解】如图，连接MN并延长，交AB的延长线于点T，则MT为值是1的等和线，设λ＋μ＝k，则k＝.由图易知，＝，故选C. 1.已知向量，，若，则（    ） A． B． C．4 D．1 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量共线的坐标表示即可求解． 【详解】由，则，得. 故选：B． 2.已知向量．若，则实数的值为（    ） A．－8 B．－6 C．－1 D．6 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】求得的坐标，利用共线向量的坐标运算可求的值. 【详解】由题意得，因为，所以． 故选：B． 3.若平面向量，满足，平行于轴，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】设，表示出的坐标，根据向量模的坐标表示及轴上的向量的特征即可得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，因为，平行于轴， 所以，解得或， 所以或. 故选：D 4.如图，平行四边形中，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】因为四边形为平行四边形，且，， 所以，即①， 又，即②， 由①②得到，又，，所以. 故选：D. 5.已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据题意结合向量共线的判定定理逐项分析判断． 【详解】因为， 对于选项A：若三点共线，则存在，使得， 则，方程组无解， 即不存在任何，使得， 所以不共线，故A选项错误； 对于选项B：若三点共线，则存在，使得， 则，方程组无解， 即不存在任何，使得， 所以不共线，故B选项错误； 对于选项C：因为． 可知，且与有公共点，所以三点共线，故C选项正确； 对于选项D：因为， 若三点共线，则存在，使得， 则，方程组无解， 则不存在任何，使得， 所以不共线，D选项错误． 故选：C． 6.在平行四边形中，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、数量积的运算律、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得，从而得解. 【详解】， ， ， ， ， ，，． 故选：D． 7.已知向量，，则 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量加法的坐标运算求解. 【详解】因为，， 所以， 故答案为： 8.已知平行四边形ABCD，设向量，．试用、表示下列向量： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、用基底表示向量 【分析】（1）（2）利用平行四边形法则与三角形法则用表达，，逆向求解即得； 【详解】（1） 如图，， ， 联立，解得. （2）由（1）可得. 9.已知的三个顶点为，求顶点的坐标． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】设出的坐标，由平行四边形对边平行且相等即可得到，即可求出答案. 【详解】设的坐标为，由 即 即的坐标为. 10.如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于． (1)用和表示； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）根据已知条件可得，，再结合向量的加减法和平面向量基本定理可求得结果； （2）由题意可得，再结合和三点共线，可求出，从而可证得结论. 【详解】（1）， ， 又为上靠近的三等分点， ， ； （2）交于，， 由（1）知． ． 三点共线， ，解得， ． 即 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$