广东省河源市河源中学2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试卷

第 1 页 共 4 页 数学试卷 河源中学 2024-2025 学年第一学期高二年级期末教学质量检测 数学试卷 命题人：黄禹 审题人：黎青燕 说明：本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。答案须写在答题卡上；选择 题填涂须用 2B 铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。考试结束后只需交答卷。 一、单项选择题。本题共有 8 题，每小题有四个选项，其中只有一个选项是正确的，本题共 40 分， 每小题 5 分。 1．已知集合  2 2 0A x x x    ， 1 2 4, Z2 xB x x        ，则 A B  （ ） A．[ 1,1] B．{0,1} C． [ 2,2] D．{ 1,0,1} 2．若复数 i 1 i az   是纯虚数，则实数 a （ ） A．1 B． 1 C．2 D． 2 3．已知向量 | | 2a   ，b  在 a  方向上的投影向量为 3a ，则   a b （ ） A． 12 B． 6 C．6 D．12 4．已知  sin 2sin sin     ， tan tan 2    ，则  tan   （ ） A． 4 3  B． 4 3 C． 2 D． 2 5．已知函数   2 , 0 , 0 x a x f x x x      ，那么“ 0a  ”是“函数  f x 是  ,   上的增函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．数列 na 满足 1 2 3 n na n       ，则数列 1 1 n na a        的前 n项和为（ ） A． 2 2n  B． 2 2 n n  C． 1 n n  D． 2 1 n n  7．在棱长为 4的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， , ,E F G分别是棱 BC， 1 1BB ,DD的中点，过 FG作平面  ，使得 1 / /AE  ，则点A到平面 的距离是（ ） 第 2 页 共 4 页 数学试卷 A． 2 17 17 B． 6 17 17 C．10 17 17 D．14 17 17 8．已知 nS 为数列 na 的前 n项和，且 2 2n nS a  ，若 22log 3n na a   对任意正整数 n恒成立，则 实数 的最小值为（ ） A． 4 B． 7 2 C．3 D． 5 2 二、多项选择题。本题共有 3 题，每小题有四个选项，其中只有二个或三个选项是正确的，部分选 对得部分分，本题共 18 分，每小题 6 分， 9．已知圆 2 2: ( 2) 8C x y   ，点A在直线 6 0x y   上，过A作圆C的两条切线 ,AM AN（ ,M N为 切点），则下列结论正确的是（ ） A． AM 的最小值为2 6 B．当 AN x 轴时，四边形 AMCN的面积为 6 2 C．原点O到直线MN距离的最大值为 2 D． AMN 的外接圆恒过两个定点 10．如图，已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 棱长为 2，O，M 分别为 1BD ，BD的中点，N为线段 1DC上 的动点，下列选项正确的是（ ） A．不存在 N使得OD MN B．存在 N使 / /MN 面 1A AD C．存在两个 N使MN与 AD成60角 D．任意N满足 6 2 MN  第 3 页 共 4 页 数学试卷 11．过抛物线  2 2 0y px p  的焦点 F 的直线 l交抛物线于点 ,A B，交其准线于点 ,C B在线段 AC上， 若 2BC BF ，且 4,AF O 为原点则下列说法正确的是（ ） A． 2p  B．以 AB为直径的圆与准线相切 C．直线 l斜率为 3 D． 1 2 BCO ABO S S   三、填空题。本题共有 3 题，共 15 分，每小题 5 分。 12．直线  3y k x  与双曲线 2 2 1 4 x y  的右支只有一个公共点，则 k的取值范围为 . 13．已知   e 1xf x   （e为自然对数的底数），   ln 1g x x  ，请写出  f x 与  g x 的一条公切线的 方程 . 14．若直线�� − b� + 2 = 0(� > 0, b > 0)被圆�2 + �2 + 2� − 4� + 1 = 0 所截得的弦长为 4，则2 � + 3 � 的最小值为 . 四、解答题。本题共有 5 题，共 77 分。 15．（13分）求下列函数的导数． (1)  ln 3 ex x y  ； (2) 21y x x  ； (3) π πcos 2 sin 2 2 2 y x x x             ． 16．（15分）在∆ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， 2a ， 2b ， 2c 成等差数列，且 π 3 B  ． (1)求证：∆ABC为等边三角形； (2)如图，点 D在边 BC的延长线上，且 2BC CD ， 7AD  ，求 sin BAD 的值． 第 4 页 共 4 页 数学试卷 17．（15分）已知正∆ABC边长为 3，点M ， N分别是 AB， AC边上的点， 1AN BM  ，如图 1 所示.将 AMN 沿MN折起到 PMN 的位置，使线段 PC长为 5 ，连接 PB，如图 2所示. （Ⅰ）求证：平面 PMN 平面 BCNM ； （Ⅱ）求点 N到平面 BMP的距离. 18．（17分）已知椭圆C：   2 2 2 2 1 0    x y a b a b 的左右顶点分别为 1A， 2A ，上下顶点分别为 1B ， 2B ， 且四边形 1 1 2 2A B A B 的周长为 4 3，过点  0,2P 且斜率为 k的直线交C于 ,A B两点，当直线 AB过C的 左焦点时， 2k  ． (1)求C的标准方程； (2)若O为坐标原点， OAB△ 的面积为 2 6 7 ，求直线 AB的方程； (3)记直线 1AB与直线 2BB 的交点为M ，求 1MA 的最小值． 19．（17分）设数列 na 的前 n项和为 nS ，若对任意的 *Nn ，都有 2n nS kS （ k为非零常数），则 称数列 na 为“和等比数列”，其中 k为和公比.若 nb 是首项为 1，公差不为 0的等差数列，且 nb 是 “和等比数列”，令 2 nn b nc  ，数列 nc 的前 n项和为 nT . (1)求 nb 的和公比; (2)求 nT ; (3)若不等式 2 1 3 4 ( 1) 2 2 n n n nT m      对任意的 *Nn 恒成立，求m的取值范围. 《高二年级期末教学质量检测数学试卷》参考答案 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A A A B D D AD BD ABD 1.D 【详解】因为集合A={2+x-2≤0}={x2≤x≤1， 8=-52r≤4e2-1≤2eZyl02,所似An8=10. 2.B 【详解12t-生司9+1+-o,则a+1=0且1-a+0,解得a=-1 2 3.A 【详解】依题意，5在石方向上的投影狗量为。=-女，则9-5：-3， 1a2 lap 而引a=2,所以a.b=-12, 4.A 【详解】由sin(a+B)=2 sin a sin B,得sina cosB+sin Bcosa=2 sinasinB, 等式两边同时除以sinasinB,得L。 1=2 tan B tanc 即ana+anE=2,又tana tan B=-2,所以ama+amB=4,所以ma+m= tana+tan B 4 tana tan B I-tanatanB3. 5.A x,x≤0 【详解】当a=0时，f(x)= x2,x>0 是(-0，+∞)上的增函数， 而由函数f(x)是(-o,+o)上的增函数，可得0+a≤0，即得a≤0，推不出a=0. 则“a=0”是“函数f(x)是(-o,+∞)上的增函数”的充分不必要条件 6.B n(n+) 2 所以数列 的前n项和为 经6++2}22 第1页共8页数学答案 7.D 【详解】解：如图所示： 以D原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴建立空间直角坐标系， A(4,0,4),E(2,4,0),G(0,0,2),F(4,4,2),A(4,0,0), ∴EA=(2,-4,4).GF=(4,4,0)AG=（4,0,2): 设平面a的一个法向量为i=(a,b,c),AE∥a,GFca,EA⊥i,GF⊥i, [a=2 EAi=2a-46+4k=0 GF.m=4a+46=0 ，令a=2,则b=-2,即i=(2,-2,-3)为平面a的一个法向量， c=-3 .点A到平面a的距离d= AG.14_147 同717 8.D 【详解】由S。=2an-2,令n=1,解得a1=2, 当n≥2时，由 =201-2得a,=-=血-2山，，即2=20n≥2， S,=2a,-2 所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a.=2”, 由a,22s:4+3,即22g2恒成立，令6=23，则26 )<0,所以c<c,即数列{c}单调递减，故(c.）=G= 而C1一Cn= 21 所以2≥所以元的最小值为号 9.AD 【详解】A选项，由题意得，C(0,-2),∠AMC=∠AWC=90°，AM=AW=4C-MC=4C-8 设A(,1+6),lAC=(t-0)°+(1+6+2)'=2(t+4)2+32≥32，所以AM=AC2-8≥V32-8=2N6, 故A正确： B选项，由于A-2W2,6-22)N(-25,-2)满足条件，但此时 Swcw=2Sua=HN|CN8-25k2迈=16正-8≠6，故B错误： C选现。设点0到w的面商为1，以4C为直径的圆的方程-写(-生-一+， 第2页共8页数学答案 即(x2+y2-4y-12)-1(x+y+2)=0,两圆方程相减得MN的方程为c+(t+8)y+21+8=0, 所以d= 21+8 2x+42x+4-5,故C错误： VP++8)2V+4+16√+4 D选项，由∠AMC=∠ANC=90°可知，△AMN的外接圆是以AC为直径的圆， 由c可知圆的方程为-(-生f+,甲+-4-1+y+2列=0， 4 由 x+y+2=0 10.BD 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 因为A2,0,0),B(2,20),M(1,1,0),D(0,0,2),C(0,2,0), 又O为BD,的中点，则O(1,1),设C=CD,1∈[0，小 又CD=(0.-2,2),由CN=(0,-22,2元)，得到N(0,2-22,2), 对于选项A,因为OD=(-1,-1,-1),M=（1,1-22), 又OD-MN=1-1+2元-2元=0，所以OD⊥MN,故选项A错误， 对于选项B,易知平面AAD的一个法向量为i=(0,1,0),由选项A知MN=（(-1,1-2元，21)， 由m=0,得到1-2以=0，解得无-号当N为c0中点时，MN1/面41D,所以选项B正确， 对于选项C,因为MN=(-1,1-2元，21)，AD=(-2,0,0), MN.AD 则由cosMN,AD 2 2+1-22+42 整理得到4以-22-1=0，解得方=1+5或无-上5<0《合去. 4 4 即存在1个N使MN与AD成60°角，所以选项C错误： 对于选项D,因为MN=(-1,1-2元，2)， 项-0-e-2-9当=时号立 所以选项D正确， 第3页共8页数学答案 11.ABD 【详解】由题意，不妨设A在第一象限，分别过A,B作AD,BE垂直于准线1， 垂足分别为D,E,作图如下： 对于A,由图可知FB=BE,|I=II, B 在RtBEC中，由B6-BC,则∠EBC=60, 易知∠CAD=60,在RtaADC中，AC=2AD=8, 由AF=4,则F为线段AC的中点，即在ADC中，FP-AD=2,所以P=2,故A正确： 对于B,由A易知C=4C-af=4,由2B=BC,则BF=等 即4-、所以以B为直径的圆的半径r一手 在直角梯形BED中，中位线的长度为0AD+Bs=等 4 则以AB为直径的圆的圆心到准线I的距离d=二=r,故B正确： 3 对于C,由A可得∠CAD=60°，则直线AB的倾斜角为60°，即斜率为tan60=√3， 当A在第四象限时，同理可得斜率为-√5，故C错误： 对于D, S.1 Sm4B2,故D正确： 2[周 【详解】直线过定点(3,0)，直线与双曲线图象如图所示， 又双曲线的两条渐近线为y=乞， 因为直线=(-)与双线-=1的有支只有一个公共点，所以由图可知，k[引 4 13.x-y-1=0或x-y=0(写出其中一条即可) 【详解】设公切线与f(x)相切于点(m,e"-1),与g(x)相切于点(m,lnn+1), :f()=e,g()=,则公切线斜率k=心=1 六公切线方程为y-e+1=e(K-m)或y-nn-1=(x-n), 第4页共8页数学答案 整理得y=e”x-(m-)e"-1或y=x+nm,所以 m=-Inn ，即 (m-1)e"+1=-lnn (m-1)e"+1=-lnn ∴.(m-1)c+1-m=(m-1)(e"-1)=0,解得m=1或m=0, .公切线方程为er-y-1=0或x-y=0. 14.4+2V3 【详解】将圆的一般方程2+2+2-4+1=0整理成标准方程为：(+1)2+(-2)2=4， 即该圆是以(-1,2)为圆心，半径为2的圆： 若直线被此圆截得的弦长为4，则线段长刚好为圆的直径，即直线过圆心(1,2)， 即直线方程满足--2+2=0，整理得+2=2： +-0+2)=北+2++2）4+0 1.13分)()y=1-血(3 2y=L+2x+ xe" 1+x2 【详解】D[如3-3-…2分 y.(3✉川e-a6x是h(3上-t(3时.4分 (e) e xe 2)y=-(+j=M++x(小+rj=+F+ =0+2)+ -,…8分 1+r 1+x2 （3)y=ws2x+}m2x+到=-sn2jcos2x=sin4,…10分 ay-（sin4 in4x-2xcos4x.…13分 2 16.(15分) 【详解】(1)因为a2,b,c2成等差数列，则62=a+c 2…2分 又因为B=分由余弦定理可得松=d2+c2-2ac6osB,…4分 即2+C2=a+c2-ac,解得a=c,…6分 2 所以VABC为等边三角形.…7分 第5页共8页数学答案 (2)设BC=2CD=2x>0,则AB=2x,BD=3x,…8分 在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos∠B,…9分 1 即7=4r+9r-2×2x×3x×2…10分 解得x=1,即AB=2,BD=3,…12分 由正弦定理D BD …13分 sin∠Bsin∠BAD 可得nB物D-s物众水】 2321.…15分 AD =714 17.(15分) 【详解】解：(I)依题意得，在aAMN中，AM=2,AN=1,∠A= 3 由余弦定理得MN=2产+-2×2x1xcos号=3，即N=5…2分 .MW2+AN2=AM,∴.AN⊥MN,即PN⊥N…3分 在图2△PWC中，PN=1,NC=2,PC=√5 .PC2=PN2+NC2,.PN⊥NC…4分 又：MN∩NC=N,MN,NCC平面BCWM,.PW⊥平面BCNM…6分 又：PWC平面PMW,.PMN⊥平面BCNM.…7分 (I)连接BN,由(I)可知PN⊥BN, 在ABNC中，BN2=BC2+NC2-2BC.NC.cosg=7,BN=√万…8分 3 在△PBN中，PB2=PN2+NB2=8,PB=2√2…9分 在△PBM中，cos∠PMB=MB+MP2-PB23 …10分 2MB·MP ÷sin∠PMB=V5 …11分 4 天Sasu=2MB·MP.sin/PMB=V .…12分 4 …13分 34 设点N到平面BMP的距离为d 1 由，-p=',-Bw,可知三×Sar×d=×S△w×PW.…l4分 3 则d=SARu X PN-V2 …15分 S△RMP 一点N到平面BMP的距离为 > 第6页共8页数学答案 18.(17分) A/B 4Na+b=45 【详解】(1)由题意知 2 …2分 c c2=a2-b2 B2 得a=反，b=l,c三l,所以椭圆C的标准方程为+少产三1： (2)由题意知直线AB的方程为y=x+2,设（1，)，（2,2)，…4分 [y=kx+2 B 2+2=1得(22+)x+8k+6=0,…5分 由 所以△=(8-2422+1=162-24>0，解得2>号…6分 B 8k 6 所以x+名=252 …7分 所以A=+k-x=+ 8k 12 -4 6 2V1+k2)(42-6 …8分 2k2+1 2k2+1 2k2+1 2 又点O到直线AB的距离d= 1+k2 …9分 所以△06的积5：-号3t-可 2242-6_2W6,…10分 2k2+1 1+k22k2+1厂=7 解得=3或-名，所以k=5或=5或55或k。5 ，…11分 6 6 所以直线B的方程为)y=5x+2或)=5x+2或y-5 6r+2或y=-5V6 +2:…12分 6 (3)由题意知直线AB的方程为y=x+2,设(1，)，(2,2)， [y=kx+2 +2=1·得(2k2+1)x2+8k+6=0, B 所以△=(8了-242+-162-24>0，解得>号 8k 6 所以+6=2码2 设M(m,n),因为B(0,1),(1,),M在同一条直线上， 所以”=乃1+山41 …13分 又8，(0，-)，M,(2,)在同一条直线上，所以+当+1_c+3=k+3 …14分 2 第7页共8页数学答案 3 8k 所以+1+3.n=一」=4秋+3+=4秋 2k2+1 =(, …15分 m 5 6 2k2+1 所以n=2,所以点M在直线y=2上，…16分 所以MAn=2 …17分 19.(17分) 【详解】(1)设等差数列b}的公差为d,前n项和为A,…1分 则A=h+m-少d=号+0马m,所以A.=2dn2+(2-dn,…2分 2 2 2 :他是和等比数列，么，=M,即2+2-加=兰+依-兰：对任意aeN恒成立 2d=@ k=4 所以 2-d=a'解得 =2所以物，}的和公比为4：…4分 2 (2)由(1)知h=1+2(0n-)=2n-1,c,=2,…5分 所以7=号 23 1.2 22+22m…6分 相减得子计++ ”- n23#4 22-22 …8分 1- 2m32产 27 所以7-号培：…0分 （8设R=兰-号禁-号8兰.1分 4,-P=-103n+7103m+45+0,P之，是递增数列，…13分 922m19×221 不等式工m2对任意neN恒成立 即不等式P>(-1)”m-2对任意的n∈N恒成立，…14分 当n为奇数时，-m-2<(P)mm=?=-3,则m>1,…15分 当n为偶数时，m-2<2=乃=，则m<…16 3 3 综上，m的取值范围是(L,三. …17分 第8页共8页数学答案