第一章 三角形的证明（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（广东专用，北师大版）

第一章 三角形的证明（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知：在中，分别是的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键． 利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，∴，，，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，∴可设，∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选B． 2．如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，见详解． 【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是， A.点时，，此项不符合题意； B.点时，，此项不符合题意； C.点时，如图，不是直角三角，符合题意； D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意； 故选：C．    4．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，画已知线段的作法，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键．先利用题中作法得出和垂直平分，再利用线段垂直平分线的性质得出，最后利用线段的和差即可解决． 【详解】解：∵以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点， ∴， ∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点． ∴垂直平分， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴的周长为， 故选：D． 5．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理求解，再证明得到即可； 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，在三角测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（    ） A．等腰三角形的三线合一 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等边对等角 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵中，，为的中点， ∴， 故这种做法依据的数学原理是等腰三角形的三线合一， 故选：A． 7．如图，为等边三角形，为延长线上一点，作交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，先根据等边三角形性质得，，则，再根据得，，由此可判定为等边三角形，进而可得的长． 【详解】解：∵为等边三角形，且， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：B． 8．在平面直角坐标系中，已知点 ，Q是y轴上一点，则使 为等腰三角形的点的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定与性质；分情况进行分析是正确解答本题的关键． 由于点的位置不确定，所以应当讨论，当时，可得到点，当时，可得到一点．当时， 【详解】如图所示： ， 分三种情况： 当时，分别以为圆心，以长为半径作圆，与 y 轴交点点，，； 当时，分别以为圆心，以长为半径作圆，与 y 轴交与另一点，； 当时，作线段的垂直平分线，与 y 轴的交点可得到一点，． 综上所述：使 为等腰三角形的点的个数为4 个， 故选：B． 9．若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（   ）． A．7 B．8 C．9 D．7或8 【答案】D 【分析】分边长2为腰和边长3为腰两种情况解答，并运用三角形的三边关系验证解答即可． 【详解】解：①当边长2为腰时，三边为2、2、3，由2+2＞3，则可组成三角形，即周长为2+2+3=7； ②当边长3为腰时，三边为3、3、2，由2+3＞3，则可组成三角形，即周长为2+3+3=8； 所以该等腰三角形的周长为7或8． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确应用三角形的三边关系是解答本题的关键、也是解答本题的易错点． 10．如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，，连接，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的判定定理可得平分，从而可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 12．在中，，当 度时，是等腰三角形． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理．根据等角对等边以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：在中，，是等腰三角形， 当为顶角时，则； 当为底角时，则，不存在这种情况； ∴当时，是等腰三角形， 故答案为：． 13．如图，在中，的垂直平分线分别交BC和AB于点和点M，AC的垂直平分线分别交BC和AC于点和点，连接AD，AE，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等角对等边，三角形的内角和的定理，综合运用以上知识是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的内角和定理可得，进而根据即可求得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交和于点和点M，的垂直平分线分别交和于点和点， ∴ ∴ 在中，， 故答案为： 14．一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 ． 【答案】/平方厘米 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键； 先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可求解； 【详解】解：三角形的三边长的比为， ∴设三角形的三边长分别为，，， 其周长为， ，解得， ∴三角形的三边长分别是，，， ∵， 此三角形是直角三角形， ， 故答案为： 15．如图，在等边中，点分别在边上，，点在的延长线上，且，若，，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键熟练掌握以上性质；过点作，垂足为，设，由等边三角形的性质可得，，再证明是等边三角形，可得，，再由含的直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再列方程求解即可． 【详解】如图，过点作，垂足为，则，设， 是等边三角形， ，， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， 解得， ， 故答案为：3． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．已知：如图，在中， (1)请用尺规作图，作的平分线，交于D点．（保留作图痕迹．） (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作角的平分线，三角形定理，正确作出角平分线是解答本题的关键． （1）根据作角的平分线作图即可； （2）由三角形定理得出由角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理得出． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：∵，且， ∴， 又是的平分线， ∴； 又 ∴ 17．如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 18．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，等腰三角形的性质，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图，，． (1)求证：； (2)若，则__________°． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质．熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键． （1）利用“”证明，即可证明； （2）利用全等三角形性质得，利用直角三角形两个锐角互余得． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：15． 20．如图，等腰中，，，于点，延长至点，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明即可； （2）根据等边对等角和三角形外角的性质可求出，然后结合三线合一性质可得出，最后根据等角对等边证明即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，，， 是等边三角形， （2）证明：， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， ． 21．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． (1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时,小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； (2)如图所示,八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为,请帮助他们求出该实验基地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形,根据直角三角形的面积公式计算即可； （2）过点A作于D,根据勾股定理列出方程,解方程求出,再根据勾股定理求出,根据三角形面积公式计算,得到答案． 【详解】（1）解：∵, ∴, ∴这个三角形是直角三角形, ∴三角形的面积为：； （2）如图,过点A作于D, 设,则, 在中, 在中,, ∴,即, 解得：, 由勾股定理得：（m）, ∴, ∴该实验基地的面积为． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x2的值； （3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x2=169， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x2=119， 故x2的值为169或119； （3）∵a=2，b=4， ∴， ∴， 若△ABC是钝角三角形， 则或， 则或， ∴或； 若△ABC是直角三角形， 则或， 则或； 若△ABC是锐角三角形， 则或， 则或， ∴． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键． 23．阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． (3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 【答案】(1)依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 (2)相等 (3) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． （1）根据题意可直接进行作答； （2）结合（1）可得答案； （3）由（2）可得，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，上述证明过程中， 依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； （2）结合（1）可知，三角形的内心到三角形三边的距离相等． 故答案为：相等； （3）∵，，，， ∴， ∴ ， 即的面积表示为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知：在中，分别是的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 2．如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 3．在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 5．如图，，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在三角测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（    ） A．等腰三角形的三线合一 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等边对等角 7．如图，为等边三角形，为延长线上一点，作交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．7 8．在平面直角坐标系中，已知点 ，Q是y轴上一点，则使 为等腰三角形的点的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（   ）． A．7 B．8 C．9 D．7或8 10．如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，，连接，若，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 12．在中，，当 度时，是等腰三角形． 13．如图，在中，的垂直平分线分别交BC和AB于点和点M，AC的垂直平分线分别交BC和AC于点和点，连接AD，AE，则的度数为 ． 14．一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 ． 15．如图，在等边中，点分别在边上，，点在的延长线上，且，若，，则线段的长为 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．已知：如图，在中， (1)请用尺规作图，作的平分线，交于D点．（保留作图痕迹．） (2)已知，求的度数． 17．如图，，，，，求的度数． 18．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图，，． (1)求证：； (2)若，则__________°． 20．如图，等腰中，，，于点，延长至点，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 21．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． (1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时,小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； (2)如图所示,八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为,请帮助他们求出该实验基地的面积． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 23．阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． (3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$