（易错讲义）第二单元 认识三角形和四边形（12个易错点+5个常考点+15个突破点）-2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本（北师大版）

作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年四年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶段+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺不漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本 第二单元 认识三角形和四边形 本专题为单元易错讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 第一部分：十二大易错知识点 3 第二部分：五大常考易错点 4 易错点一：误认为只要由四条线段组成的图形就是四边形，忽略四条线段需首尾相连这个条件。 3 易错点二：对三角形分类的方法掌握不准确，不理解锐角三角形三个角的特点。 3 易错点三：误以为三角形的内角和与三角形的形状有关。其实，无论什么形状的三角形，内角和都是180°。 4 易错点四：误以为三角形中两边之和等于第三边时,可以围成三角形。其实,只有当两边之和大于第三边时,才能围成三角形。 4 易错点五：弄错平行四边形 和长方形之间的关系。其实,长方形和正方形都是特殊的平行四边形。 4 第三部分：十五种易错题型突破 5 突破题型一三角形的稳定性及应用 5 突破题型二三角形的分类 6 突破题型三等腰三角形和等边三角形 7 突破题型四三角形的内角和及应用 7 突破题型五多边形的内角和及应用 9 突破题型六三角形三边关系及应用 10 突破题型七平行四边形的特征 11 突破题型八梯形的特征 12 突破题型九直角梯形和等腰梯形 12 突破题型十四边形分类及关系 13 突破题型十一画三角形 14 突破题型十二画平行四边形或梯形 15 突破题型十三等边三角形或等腰三角形的应用 15 突破题型十四三角形的内角和的应用 16 突破题型十五三角形的三边关系的应用 18 第一部分 十二大易错知识点 1、平面图形的特征是构成图形的所有的点都在同一平面内，而立体图形的特征是占有一定的空间。 2、由四条线段首尾顺次边接组成的封闭图形是四边形。 3、只有三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形。 4、等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。 5、一个三角形中至少有两个锐角，因此，根据最大的角就能直接判断出三角形的类型。 6、等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 7、一个三角形中最多有一个直角。 8、任意一个三角形的内角和都是180°。 9、只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形，等于或者小于第三边都不能围成三角形。 10、当三角形3条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就完全确定，不会改变。 11、判断3条线段能否围成三角形，要全面比较，只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形。 12、只有一组对边平行的四边形是梯形。 第二部分 五大常考易错点 易错点一：误认为只要由四条线段组成的图形就是四边形，忽略四条线段需首尾相连这个条件。 判断：是一个四边形。（ ） 【错误答案】准确 【错解分析】要准确掌握四边形的概念。由四条线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫作四边形,这个图形不是一个封闭图形,所以它不是一个四边形。 【正确答案】错误 易错点二：对三角形分类的方法掌握不准确，不理解锐角三角形三个角的特点。 判断:一个三角形中,如果有两个角是锐角,它就是锐角三角形。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】要准确掌握锐角三角形的概念。只有三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形, 【正确答案】错误 易错点三：误以为三角形的内角和与三角形的形状有关。其实，无论什么形状的三角形，内角和都是180°。 判断:把一个三角形缩小到原来的一半,它的内角和也缩小到原来的一半。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】要完全理解三角形内角和的特点。三角形内角和不会随着三角形的大小发生变化,三角形的内角和永远都是180°。把一个三角形缩小到原来的一半,它的内角和不会改变。 【正确答案】错误 易错点四：误以为三角形中两边之和等于第三边时,可以围成三角形。其实,只有当两边之和大于第三边时,才能围成三角形。 判断:用3根长度分别为2厘米、2厘米和4厘米的小棒可以围成一个等腰三角形。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】要准确掌握三角形三边之间的关系。只有当任意两条边的和大于第三条边时才能围成三角形,任意两边之和等于或小于第三条边时都不能围成三角形。2+2=4,因为两条边的长 度和等于第三条边,所以不能围成三角形。 【正确答案】错误 易错点五：弄错平行四边形 和长方形之间的关系。其实,长方形和正方形都是特殊的平行四边形。 判断:平行四边形是特殊的长方形。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】要正确理解平行四边形与长方形的关系。两组对边分别平行的四边形是平行四边形，长方形和正方形都具有这个特性,因此它们也属于平行四边形。 【正确答案】错误 第三部分 十五种易错题型突破 突破题型一三角形的稳定性及应用 1．下图斜拉桥在建造上采用了三角形结构，这样的设计利用了三角形具有( )。 2．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )。 3．斜拉桥是利用三角形的( )设计的，电动推拉门是利用四边形的( )设计的。 4．图形的性质在生活中的应用非常广泛，手机支架是利用了三角形具有( )的性质；自动升降机是利用了( )容易变形的性质。 突破题型二三角形的分类 5．一个三角形至少有( )个锐角，至多有( )个锐角。 6．下面图形中有( )个锐角三角形、( )个直角三角形和( )个钝角三角形。 7．三角形按角分可分为( )三角形、( )三角形和 ( )三角形。 8．如下图，将一个正方形沿对角线分成两个三角形，得到的三角形既是( )三角形，又是( )三角形。 突破题型三等腰三角形和等边三角形 9．一个等边三角形的周长是21厘米，它的一条边长是( )厘米。 10．如果用一根铁丝正好可以围成一个边长为6厘米的正方形，那么用这根铁丝正好可以围成一个边长为( )厘米的等边三角形。 11．找一找，填一填。 图形( )是等腰三角形，图形( )是等边三角形，图形( )是直角三角形，图形( )是钝角三角形，图形( )是锐角三角形。 12．用3根5厘米长的小棒摆成一个三角形，这个三角形按边分是( )三角形，按角分是( )三角形，它的周长是( )厘米。 突破题型四三角形的内角和及应用 13．如图，长方形里面有一个等边三角形，∠1＝( )°。 14．埃及金字塔四个侧面的形状都是三角形，它的顶角约52°，另两个底角一样大。一个底角约( )°，这样的三角形既是( )三角形，又是( )三角形。 15．一个等腰三角形，若它的一个内角是60度，它的另外两个内角分别是( )度和( )度，这个三角形按边分，它一定是个( )三角形。 16．认真观察如图，猜一猜，可能是什么三角形？ 如果是直角三角形，另外两个角分别是( )°，( )°。如果是等边三角形，另外两个角分别是( )°，( )°。 突破题型五多边形的内角和及应用 17．三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果多边形有n条边，其内角和为（n－2）×180°，已知一个多边形的内角和是三角形内角和的8倍，这个多边形的边数是( )条。 18．把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )。两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和是( )。 19．仔细观察，找找规律： 图形 …… 内角和 180° 360° 540° …… (1)第四个图形（六边形）的内角和是( )°。 (2)内角和是1260°的图形是( )边形。 突破题型六三角形三边关系及应用 20．有一些整厘米长的小棒，先选长6cm、9cm的小棒各一根，如果要摆成一个三角形，另一根小棒最长是( )cm，最短是( )cm。 21．一个三角形的三条边长都是整厘米数，一条边长是7厘米，一条边长是4厘米，第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 22．淘气准备用小棒围三角形，已经选用长度是7厘米和5厘米的两根小棒，第三根小棒最长是( )厘米，最短是( )厘米（取整厘米数），他围成的三角形内角和是( )°。 23．若等腰三角形的一个顶角是50°，它的底角是( )°；若一个等腰三角形的两条边长分别是7厘米和14厘米，它的周长是( )厘米。 突破题型七平行四边形的特征 24．把平行四边形的各个角撕下来拼在一起，拼成的角是( )角，是( )°。 25．平行四边形相邻两条边长度之和是26厘米，这个平行四边形周长是( )厘米。 26．一个等边三角形的边长是12厘米，它的周长是( )厘米；如果将长方形的对角用力拉后，此长方形就变成了( )形。 27．下图中有( )个平行四边形和( )个梯形，有( )个直角三角形和( )个锐角三角形。 突破题型八梯形的特征 28．两个周长都是42厘米且完全相同的梯形拼成了一个平行四边形，已知重合的边长为7厘米，如图所示，拼成的平行四边形的周长是( )厘米。 29．有一个梯形，它的上底是6厘米，下底是10厘米。如果把这个梯形的上底延长4厘米，下底不变，这时所形成的新图形是( )。如果把这个梯形的上底缩小到0，下底不变，这时所形成的新图形是( )。 突破题型九直角梯形和等腰梯形 30．如图：在直角梯形中，已知AD长4厘米，DC长3厘米，∠1＝45°，BC的长是( )厘米。 31．图形ABCD是一个等腰梯形，过A点作CD的平行线AE。则有CE＝( )，AE＝( )＝( )。 32．如图所示，四边形ABDE是等腰梯形，四边形ABCE是平行四边形，三角形ECD是等腰三角形。已知CD＝2.5厘米，平行四边形ABCE的周长是17厘米，那么等腰梯形ABDE的周长是( )厘米。 突破题型十四边形分类及关系 33．我们学习的数学知识有着密切的联系。用序号填一填，表示出图形之间的关系。 34．把下列图形分类后，填在相应的括号内。 平面图形有（    ）；四边形有（    ）；梯形有（    ）；平行四边形有（    ）；长方形有（    ）；正方形有（    ）。 请把以上提到的六种图形名称，填到下面的圆圈内。 突破题型十一画三角形 35．在下面的方格纸上画出等腰钝角三角形和等腰锐角三角形。 36．画一画。 在如图的方格纸上，分别画一个钝角三角形和一个等腰三角形。 37．在下面的方格中画出一个等腰三角形和一个梯形。 突破题型十二画平行四边形或梯形 38．如图是平行四边形的一部分。 （1）在上面方格图中把平行四边形画完整。 （2）画一条线段，把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形。 突破题型十三等边三角形或等腰三角形的应用 39．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”春天是放风筝的好时节，五一假期间爸爸给力力做了一个等腰三角形的风筝，这个等腰三角形风筝的底边长3厘米，一条腰长6厘米，这个等腰三角形周长是多少厘米？ 40．淘淘用铁丝围成了一个边长4分米的等边三角形，如果用这些铁丝围成一个底边长是2分米等腰三角形，这个等腰三角形的一条腰是多少？ 41．李伯伯要给一块边长是6.55米的等边三角形菜地围上篱笆，菜地的一边靠墙，李伯伯至少需要围多长的篱笆？ 42．贝贝用一根铁丝围成了一个边长是20cm的正方形。如果用这根铁丝围成一个底边长是30cm的等腰三角形，那么这个等腰三角形的腰长是多少厘米？ 突破题型十四三角形的内角和的应用 43．记者用相机记录了山西运动员的辉煌时刻，相机用三角支架支撑，与地面形成了等腰三角形，这个等腰三角形的一个角是70º，其他的两个角分别是多少度？ 44．奇奇在数学课上画了一个等腰三角形，已知他画的等腰三角形中的一个角是。你知道他画的等腰三角形中另外两个角分别是多少度吗？ 45．风筝至今已2000多年的历史，曾经是传递信息的工具。下面的风筝形象是一个四边形，它左右两个角相等最上面的角是75度，最下面的角是35度，你能计算出它左右两个角是多少度吗？ 46．我们佩戴的红领巾的颜色是国旗红，可用布、绸、缎等材料按照标准制作。分为小号、大号两个规格。小号：底边长100厘米、腰边长60厘米。大号：底边长120厘米、腰边长72厘米。红领巾中最大的角是120°。 （1）算式“100＋60×2”解决的问题是： （2）红领巾中另外两个的角分别是多少度？ 突破题型十五三角形的三边关系的应用 47．把50厘米长的绳子剪成三段（如下图）。 48．同学们正在进行“剪小棒摆三角形”的探索活动。一根长12厘米的小棒，如果先从4厘米处剪了一刀，作为三角形的一条边。要想摆成一个三角形，接下来可以从哪里剪开得到另两条边（边长都为整厘米）？请你先在图中用“|”标出剪的位置，再把思考过程写出来。图中每个“”都一样长。 49．从如图所示的5根小棒中选出3根，组成一个三角形，有多少种不同的组法？并列出其中三种。 50．周日，小夕一家外出散步，路上碰到了一些问题，请你帮助他们解决。 （1）小夕的爸爸身高1.82米，体重75千克，腿长约92厘米。小夕说她爸爸走一步可以迈2米。对于这种说法，你相信吗？请你从数学角度出发，写出结论，并解释理由。 （2）路上，他们路过文具店，小夕想买一面彩旗，彩旗的形状是等腰三角形。其中一个角是，想一想另外两个角分别是多少度？请列出所有的情况。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年四年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶段+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺不漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本 第二单元 认识三角形和四边形 本专题为单元易错讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 第一部分：十二大易错知识点 3 第二部分：五大常考易错点 4 易错点一：误认为只要由四条线段组成的图形就是四边形，忽略四条线段需首尾相连这个条件。 4 易错点二：对三角形分类的方法掌握不准确，不理解锐角三角形三个角的特点。 4 易错点三：误以为三角形的内角和与三角形的形状有关。其实，无论什么形状的三角形，内角和都是180°。 4 易错点四：误以为三角形中两边之和等于第三边时,可以围成三角形。其实,只有当两边之和大于第三边时,才能围成三角形。 4 易错点五：弄错平行四边形 和长方形之间的关系。其实,长方形和正方形都是特殊的平行四边形。 5 第三部分：十五种易错题型突破 5 突破题型一三角形的稳定性及应用 5 突破题型二三角形的分类 6 突破题型三等腰三角形和等边三角形 7 突破题型四三角形的内角和及应用 9 突破题型五多边形的内角和及应用 12 突破题型六三角形三边关系及应用 13 突破题型七平行四边形的特征 15 突破题型八梯形的特征 17 突破题型九直角梯形和等腰梯形 17 突破题型十四边形分类及关系 19 突破题型十一画三角形 21 突破题型十二画平行四边形或梯形 23 突破题型十三等边三角形或等腰三角形的应用 23 突破题型十四三角形的内角和的应用 25 突破题型十五三角形的三边关系的应用 27 第一部分 十二大易错知识点 1、平面图形的特征是构成图形的所有的点都在同一平面内，而立体图形的特征是占有一定的空间。 2、由四条线段首尾顺次边接组成的封闭图形是四边形。 3、只有三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形。 4、等腰三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。 5、一个三角形中至少有两个锐角，因此，根据最大的角就能直接判断出三角形的类型。 6、等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 7、一个三角形中最多有一个直角。 8、任意一个三角形的内角和都是180°。 9、只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形，等于或者小于第三边都不能围成三角形。 10、当三角形3条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就完全确定，不会改变。 11、判断3条线段能否围成三角形，要全面比较，只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形。 12、只有一组对边平行的四边形是梯形。 第二部分 五大常考易错点 易错点一：误认为只要由四条线段组成的图形就是四边形，忽略四条线段需首尾相连这个条件。 判断：是一个四边形。（ ） 【错误答案】准确 【错解分析】要准确掌握四边形的概念。由四条线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫作四边形,这个图形不是一个封闭图形,所以它不是一个四边形。 【正确答案】错误 易错点二：对三角形分类的方法掌握不准确，不理解锐角三角形三个角的特点。 判断:一个三角形中,如果有两个角是锐角,它就是锐角三角形。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】要准确掌握锐角三角形的概念。只有三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形, 【正确答案】错误 易错点三：误以为三角形的内角和与三角形的形状有关。其实，无论什么形状的三角形，内角和都是180°。 判断:把一个三角形缩小到原来的一半,它的内角和也缩小到原来的一半。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】要完全理解三角形内角和的特点。三角形内角和不会随着三角形的大小发生变化,三角形的内角和永远都是180°。把一个三角形缩小到原来的一半,它的内角和不会改变。 【正确答案】错误 易错点四：误以为三角形中两边之和等于第三边时,可以围成三角形。其实,只有当两边之和大于第三边时,才能围成三角形。 判断:用3根长度分别为2厘米、2厘米和4厘米的小棒可以围成一个等腰三角形。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】要准确掌握三角形三边之间的关系。只有当任意两条边的和大于第三条边时才能围成三角形,任意两边之和等于或小于第三条边时都不能围成三角形。2+2=4,因为两条边的长 度和等于第三条边,所以不能围成三角形。 【正确答案】错误 易错点五：弄错平行四边形 和长方形之间的关系。其实,长方形和正方形都是特殊的平行四边形。 判断:平行四边形是特殊的长方形。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】要正确理解平行四边形与长方形的关系。两组对边分别平行的四边形是平行四边形，长方形和正方形都具有这个特性,因此它们也属于平行四边形。 【正确答案】错误 第三部分 十五种易错题型突破 突破题型一三角形的稳定性及应用 1．下图斜拉桥在建造上采用了三角形结构，这样的设计利用了三角形具有( )。 【答案】稳定性 【分析】根据三角形具有稳定性的特性，生活中很多物品或建筑，如桥梁为了增加牢固性，通常把结构做成三角形，这就是利用了三角形的稳定性。据此填空。 【解答】根据分析可知： 斜拉桥在建造上采用了三角形结构，这样的设计利用了三角形具有稳定性。 2．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )。 【答案】三角形具有稳定性 【分析】三角形具有稳定性，一扇窗户打开后，利用三角形的稳定性，窗钩AB可将其固定。据此填空即可。 【解答】一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性。 3．斜拉桥是利用三角形的( )设计的，电动推拉门是利用四边形的( )设计的。 【答案】稳定性 不稳定性 【分析】三角形稳定性是指三角形三边长度一定时，它的形状，大小就不变了，生活中常运用三角形稳定性解决实际问题。四边形边长一定但形状和大小易变形，具有不稳定性。 【解答】斜拉桥是利用三角形稳定性的设计的，电动推拉门是利用四边形的不稳定性设计的。 4．图形的性质在生活中的应用非常广泛，手机支架是利用了三角形具有( )的性质；自动升降机是利用了( )容易变形的性质。 【答案】稳定 平行四边形 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，三角形具有稳定性，不容易变形，平行四边形不稳定，容易变形。据此解答即可。 【解答】图形的性质在生活中的应用非常广泛，手机支架是利用了三角形具有稳定的性质；自动升降机是利用了平行四边形容易变形的性质。 突破题型二三角形的分类 5．一个三角形至少有( )个锐角，至多有( )个锐角。 【答案】2 3 【分析】根据题意可知，一个三角形中如果有1个角是钝角，其余两个角的度数之和就小于90°，这两个角就都是锐角。所以一个三角形至少有2个锐角，至多有3个锐角。 【解答】一个三角形至少有2个锐角，至多有3个锐角。 6．下面图形中有( )个锐角三角形、( )个直角三角形和( )个钝角三角形。 【答案】2 1 1 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此填空即可。 【解答】三个单独的小三角形中除了左边的一个，另外两个都是锐角三角形； 两个小三角形组成的是直角三角形； 左边单独的小三角形是钝角三角形。 图形中有2个锐角三角形、1个直角三角形和1个钝角三角形。 7．三角形按角分可分为( )三角形、( )三角形和 ( )三角形。 【答案】锐角 直角 钝角 【分析】三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形，有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形，有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形，据此解答。 【解答】根据分析可得，三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 8．如下图，将一个正方形沿对角线分成两个三角形，得到的三角形既是( )三角形，又是( )三角形。 【答案】直角 等腰 【分析】观察上图可知，分成的三角形都有一个角是直角，并且三角形中有两条边相等，所以分成的三角形是等腰三角形，又是直角三角形。 【解答】根据分析可知，将一个正方形沿对角线分成两个三角形，得到的三角形既是等腰三角形，又是直角三角形。 【点评】熟练掌握三角形的分类知识是解答本题的关键。 突破题型三等腰三角形和等边三角形 9．一个等边三角形的周长是21厘米，它的一条边长是( )厘米。 【答案】7 【分析】三条边长度都相等的三角形是等边三角形。等边三角形的周长除以3，即可算出它的一条边长是几厘米。 【解答】21÷3＝7（厘米） 一个等边三角形的周长是21厘米，它的一条边长是7厘米。 10．如果用一根铁丝正好可以围成一个边长为6厘米的正方形，那么用这根铁丝正好可以围成一个边长为( )厘米的等边三角形。 【答案】8 【分析】由题意得，一根铁丝正好可以围成一个边长为6厘米的正方形，那么正方形的周长就等于铁丝的长度。正方形的周长＝边长×4，直接将数据代入即可求出铁丝的长度。接着用这根铁丝来围等边三角形，等边三角形的三条边都相等，直接用铁丝的长度除以3即可求出它的边长。 【解答】6×4÷3 ＝24÷3 ＝8（厘米） 如果用一根铁丝正好可以围成一个边长为6厘米的正方形，那么用这根铁丝正好可以围成一个边长为8厘米的等边三角形。 11．找一找，填一填。 图形( )是等腰三角形，图形( )是等边三角形，图形( )是直角三角形，图形( )是钝角三角形，图形( )是锐角三角形。 【答案】②④⑤ ③ ①④ ⑤⑦ ②③⑥ 【分析】两条腰相等的三角形是等腰三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 【解答】 是直角三角形； 是等腰三角形也是锐角三角形； 是等边三角形也是锐角三角形； 是直角三角形也是等腰三角形； 是钝角三角形也是等腰三角形； 是锐角三角形； 是钝角三角形。 图形②④⑤是等腰三角形，图形③是等边三角形，图形①④是直角三角形，图形⑤⑦是钝角三角形，图形②③⑥是锐角三角形。 12．用3根5厘米长的小棒摆成一个三角形，这个三角形按边分是( )三角形，按角分是( )三角形，它的周长是( )厘米。 【答案】等边 锐角 15 【分析】用3根5厘米长的小棒摆成一个三角形，这个三角形的三条边都相等，即为等边三角形，因为等边三角形的三个角都是60°，都是锐角，即为锐角三角形，三条边的长度之和是周长，因为三条边都相等，所以5乘3即可求出其周长。 【解答】5×3＝15（厘米） 用3根5厘米长的小棒摆成一个三角形，这个三角形按边分是等边三角形，按角分是锐角三角形，它的周长是15厘米。 【点评】熟练掌握等边三角形的特点，三条边都相等，三个角都是60°。三角形按角分属于什么三角形看三角形中最大的内角属于什么角，这个三角形就是什么三角形。 突破题型四三角形的内角和及应用 13．如图，长方形里面有一个等边三角形，∠1＝( )°。 【答案】45 【分析】如下图所示，长方形的最左边是一个直角三角形，三角形的内角和是180°，用180°减去90°和15°，即可求出∠2的度数。长方形里面有一个等边三角形，等边三角形的每个角都是60°，∠1、∠2和60°组成一个平角，平角是180°，那么用180°减去60°和∠2的度数，即可求出∠1的度数。 【解答】180°－90°－15°＝75° 180°－75°－60°＝45°，则∠1＝45°。 14．埃及金字塔四个侧面的形状都是三角形，它的顶角约52°，另两个底角一样大。一个底角约( )°，这样的三角形既是( )三角形，又是( )三角形。 【答案】64 锐角 等腰 【分析】三角形的内角和为180°。等腰三角形的两个底角相等。由题意得，这个三角形的顶角约为52°且两个底角一样大，那么直接用180°减去顶角的度数即可得到两个底角的度数之和，再除以2即可算出一个底角的度数；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。两个底角相等的三角形是等腰三角形。据此解答。 【解答】（180°－52°）÷2 ＝128°÷2 ＝64° 三个角都是锐角，所以这样的三角形是一个锐角三角形；两个底角相等，所以这样的三角形又是一个等腰三角形。 埃及金字塔四个侧面的形状都是三角形，它的顶角约52°，另两个底角一样大。一个底角约64°，这样的三角形既是锐角三角形，又是等腰三角形。 15．一个等腰三角形，若它的一个内角是60度，它的另外两个内角分别是( )度和( )度，这个三角形按边分，它一定是个( )三角形。 【答案】60 60 等边 【分析】因为等腰三角形的底角相等，再据三角形的内角和是180度，分别计算这个60度角为顶角的时候和这个60度内角为底角的时候；求出另外两个角的度数；然后根据三条边都不相等的三角形是一般三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。两腰的夹角叫做顶角，底边上的两个角叫做底角。等腰三角形的两个底角相等。三条边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形的3个内角都是60°。据此可判定这个三角形的类别。 【解答】若这个60度角为顶角： （180－60）÷2 ＝120÷2 ＝60（度） 这三个角的度数分别是：60度，60度，60度；这个三角形为等边三角形。 若这个60度角为底角： 180－60×2 ＝180－120 ＝60（度） 这三个角的度数分别是：60度，60度，60度；这个三角形为等边三角形。 综上可知，一个等腰三角形，若它的一个内角是60度，它的另外两个内角分别是60度和60度；这个三角形按边分，它一定是个等边三角形。 16．认真观察如图，猜一猜，可能是什么三角形？ 如果是直角三角形，另外两个角分别是( )°，( )°。如果是等边三角形，另外两个角分别是( )°，( )°。 【答案】90 30 60 60 【分析】观察题图可知，这个三角形中有一个角是60°。根据三角形的内角和为180°可知，如果是直角三角形，则有一个角是直角，即90°。第三个角就是180°－90°－60°＝30°。如果是等边三角形，三个角相等，每个角都是180°÷3＝60°。 【解答】180°－90°－60°＝30° 180°÷3＝60° 如果是直角三角形，另外两个角分别是90°，30°如果是等边三角形，另外两个角分别是60°，60°。 突破题型五多边形的内角和及应用 17．三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果多边形有n条边，其内角和为（n－2）×180°，已知一个多边形的内角和是三角形内角和的8倍，这个多边形的边数是( )条。 【答案】10 【分析】三角形的内角和为180°，那么一个多边形的内角和就等于180°乘8，即180°×8＝1440°，根据公式（n－2）×180°，用多边形的内角和除以180°，再加上2，即可求出这个多边形的边数是多少条，据此解答即可。 【解答】180°×8＝1440° 1440°÷180°＋2 ＝8＋2 ＝10（条） 所以这个多边形的边数是10条。 18．把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )。两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和是( )。 【答案】180° 360° 【分析】根据三角形的内角和是180°可知，把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180°；把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和就是两个三角形内角的度数总和，即180°＋180°＝360°。据此解答。 【解答】根据分析可知： 把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是180°。两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的内角和是360°。 19．仔细观察，找找规律： 图形 …… 内角和 180° 360° 540° …… (1)第四个图形（六边形）的内角和是( )°。 (2)内角和是1260°的图形是( )边形。 【答案】(1)720 (2)九 【分析】（1）三角形内角和180°，多边形边数－2＝三角形个数，三角形个数×三角形内角和＝多边形内角和，据此列式计算； （2）多边形内角和÷180°＋2＝多边形边数，据此分析。 【解答】（1）（6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 第四个图形（六边形）的内角和是720°。 （2）1260÷180°＋2 ＝7＋2 ＝9（条） 内角和是1260°的图形是九边形。 【点评】关键是掌握三角形内角和，通过将多边形分割成三角形可以求出多边形内角和。 突破题型六三角形三边关系及应用 20．有一些整厘米长的小棒，先选长6cm、9cm的小棒各一根，如果要摆成一个三角形，另一根小棒最长是( )cm，最短是( )cm。 【答案】14 4 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析即可。 【解答】6＋9＝15（cm） 第三边要比15cm小，比15小的最大整数是14，即第三边最长是14cm； 9－6＝3（cm） 第三边要比3cm大，比3大的最大整数是4，即第三边最短是4cm。 则有一些整厘米长的小棒，先选长6cm、9cm的小棒各一根，如果要摆成一个三角形，另一根小棒最长是14cm，最短是4cm。 21．一个三角形的三条边长都是整厘米数，一条边长是7厘米，一条边长是4厘米，第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 【答案】10 4 【分析】根据题意可知组成三角形要满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以第三边在7－4＝3（厘米）和7＋4＝11（厘米）之间取整厘米数，据此解答。 【解答】7＋4＝11（厘米），11－1＝10（厘米） 7－4＝3（厘米），3＋1＝4（厘米） 第三条边最长是10厘米，最短是4厘米。 22．淘气准备用小棒围三角形，已经选用长度是7厘米和5厘米的两根小棒，第三根小棒最长是( )厘米，最短是( )厘米（取整厘米数），他围成的三角形内角和是( )°。 【答案】11 3 180 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；三角形内角和是180°。进行解答即可。 【解答】（7－5）厘米＜第三边＜（7＋5）厘米 所以：2厘米＜第三边＜12厘米 即第三边的取值在2厘米～12厘米（不包括2厘米和12厘米）， 因为三根小棒都是整厘米数，所以第三根小棒最长为：12－1＝11（厘米），最短为：2＋1＝3（厘米）。 他围成的三角形内角和是180°。 23．若等腰三角形的一个顶角是50°，它的底角是( )°；若一个等腰三角形的两条边长分别是7厘米和14厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】65 35 【分析】根据三角形内角和是180°，以及等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等的特点；用等腰三角形内角和180°减顶角50°，即得到两个底角的度数和，再除以2即得到一个底角的度数； 因为这个等腰三角形的两条边长分别是7厘米和14厘米，那么第三条边可能是7厘米或14厘米；根据三角形任意两边之和大于第三边，如果这个等腰三角形的三条边分别是7厘米、7厘米、14厘米，因为7＋7＝14，则三条边不能围成三角形；如果这个等腰三角形的三条边分别是7厘米、14厘米、14厘米，因为7＋14＞14，则三条边能围成三角形；可以确定这个等腰三角形三条边分别是7厘米、14厘米、14厘米，把三条边相加的和就是它的周长。据此解答。 【解答】（180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 7＋14＋14 ＝21＋14 ＝35（厘米） 所以，它的底角是65°，它的周长是35厘米。 突破题型七平行四边形的特征 24．把平行四边形的各个角撕下来拼在一起，拼成的角是( )角，是( )°。 【答案】周 360 【分析】根据题目要求将四个角撕下来，再拼在一起；锐角是大于0°小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°小于180°的角，平角是等于180°的角，周角是等于360°的角；据此解答。 【解答】根据分析如图： 所以把平行四边形的各个角撕下来拼在一起，拼成的角是周角，是360°。 25．平行四边形相邻两条边长度之和是26厘米，这个平行四边形周长是( )厘米。 【答案】52 【分析】平行四边形的对边相等。由题意得，一个平行四边形相邻两条边长度之和是26厘米，那么剩下的另外一组相邻的两条边长度之和也为26厘米，所以平行四边形的周长就等于相邻两条边长度之和再乘2。 【解答】26×2＝52（厘米） 故平行四边形相邻两条边长度之和是26厘米，这个平行四边形周长是52厘米。 26．一个等边三角形的边长是12厘米，它的周长是( )厘米；如果将长方形的对角用力拉后，此长方形就变成了( )形。 【答案】36 平行四边 【分析】等边三角形的三边长度相等，等边三角形的周长等于边长乘3；如果将长方形的对角用力拉后，四个角不再是直角，但两组对边分别平行，所以就变成了平行四边形；据此即可解答。 【解答】12×3＝36（厘米） 一个等边三角形的边长是12厘米，它的周长是36厘米；如果将长方形的对角用力拉后，此长方形就变成了平行四边形。 27．下图中有( )个平行四边形和( )个梯形，有( )个直角三角形和( )个锐角三角形。 【答案】2 3 2 3 【分析】两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫梯形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，据此在图中找出相应的图形即可。 【解答】 平行四边形有：，共2个； 梯形有：，共3个； 直角三角形有：，共2个； 锐角三角形有：，共3个。 所以，图中有2个平行四边形和3个梯形，有2个直角三角形和3个锐角三角形。 突破题型八梯形的特征 28．两个周长都是42厘米且完全相同的梯形拼成了一个平行四边形，已知重合的边长为7厘米，如图所示，拼成的平行四边形的周长是( )厘米。 【答案】70 【分析】根据题意可知，拼成的平行四边形的周长＝梯形的周长×2－重合的边长×2，已知两个完全相同的梯形的周长都是42厘米，重合的边长为7厘米，代入数据，即可解答。 【解答】42×2－7×2 ＝84－14 ＝70（厘米） 即两个周长都是42厘米且完全相同的梯形拼成了一个平行四边形，已知重合的边长为7厘米，如图所示，拼成的平行四边形的周长是70厘米。 29．有一个梯形，它的上底是6厘米，下底是10厘米。如果把这个梯形的上底延长4厘米，下底不变，这时所形成的新图形是( )。如果把这个梯形的上底缩小到0，下底不变，这时所形成的新图形是( )。 【答案】长方形、正方形或平行四边形 三角形 【分析】（1）梯形上底延长4厘米，就是6＋4＝10厘米，与下底等长，对边平行且相等的四边形可能是长方形，正方形或者平行四边形； （2）上底缩小到0，就变成了两条边的交点，四边形就变成了三边形，三条边围成的图形叫做三角形。 【解答】（1）6＋4＝10（厘米） 如果把这个梯形的上底延长4厘米，下底不变，这时所形成的新图形是长方形、正方形或平行四边形； （2）如果把这个梯形的上底缩小到0，下底不变，这时所形成的新图形是三角形。 【点评】此题主要考查学生对多边形的理解与认识，根据变化后的特征，确定符合的图形。 突破题型九直角梯形和等腰梯形 30．如图：在直角梯形中，已知AD长4厘米，DC长3厘米，∠1＝45°，BC的长是( )厘米。 【答案】7 【分析】过点A作线段BC的垂线AE，线段AE将直角梯形分成一个等腰直角三角形和一个长方形，再根据等腰直角三角形和长方形的性质可知BE和CE的长度，进而可求BC的长度。 【解答】如图所示，因为四边形AECD是长方形，所以AD＝CE＝4（厘米），AE＝CD＝3（厘米），又因为△ABE是等腰直角三角形，所以BE＝AE＝3（厘米），所以BC＝BE＋CE＝7（厘米）。 31．图形ABCD是一个等腰梯形，过A点作CD的平行线AE。则有CE＝( )，AE＝( )＝( )。 【答案】AD CD AB 【分析】 如图所示，过A点作CD的平行线AE。图形AECD是一个平行四边形，两组对边平行且相等，那么CE＝AD。AE＝CD。图形ABCD是一个等腰梯形，则AB＝CD，也就是AE＝CD＝AB。据此解答。 【解答】过A点作CD的平行线AE。则有CE＝AD，AE＝CD＝AB。 【点评】本题考查平行四边形和等腰梯形的特征，平行四边形的两组对边平行且相等，等腰梯形的两条腰相等。 32．如图所示，四边形ABDE是等腰梯形，四边形ABCE是平行四边形，三角形ECD是等腰三角形。已知CD＝2.5厘米，平行四边形ABCE的周长是17厘米，那么等腰梯形ABDE的周长是( )厘米。 【答案】19.5 【分析】根据题意，平行四边形ABCE的周长17cm＝AB×2＋BC×2，根据四边形ABDE是等腰梯形，则AB＝DE，所以平行四边形ABCE的周长＝DE×2＋BC×2，等腰梯形ABDE的周长＝DE×2＋AE＋BD，BD＝BC＋2.5，即等腰梯形ABDE的周长＝DE×2＋AE＋BC＋2.5，根据四边形ABCE是平行四边形AE＝BC，所以等腰梯形ABDE的周长DE×2＋BC×2＋2.5，由此解答。 【解答】由分析可知：平行四边形ABCE的周长＝DE×2＋BC×2＝17cm 等腰梯形ABDE的周长＝DE×2＋BC×2＋2.5 ＝17＋2.5 ＝19.5（cm） 【点评】本题考查梯形周长的计算，正确地观察图形之间存在的相等关系是解决本题的关键。 突破题型十四边形分类及关系 33．我们学习的数学知识有着密切的联系。用序号填一填，表示出图形之间的关系。 【答案】见详解 【分析】只有一组对边平行的四边形是梯形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形。长方形不仅两组对边分别平行且四个角都是直角，所以长方形是特殊的平行四边形。正方形不仅两组对边分别平行、四个角都是直角且四条边都相等，所以正方形是特殊的长方形。据此解答。 【解答】 34．把下列图形分类后，填在相应的括号内。 平面图形有（    ）；四边形有（    ）；梯形有（    ）；平行四边形有（    ）；长方形有（    ）；正方形有（    ）。 请把以上提到的六种图形名称，填到下面的圆圈内。 【答案】①②③④⑤⑥⑦⑧；①③④⑥⑦⑧；⑥⑧；①③④；①；④ 填图见详解 【分析】根据平行四边形、梯形、长方形和正方形的含义：两组对边都平行的四边形是平行四边形；一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形；有一个角是直角的平行四边形是长方形，一组邻边相等的长方形是正方形；可知：正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形；梯形和平行四边形都是四边形；在平面内所画出的图形都属于平面图形。据此解答即可。 【解答】 平面图形有①②③④⑤⑥⑦⑧；四边形有①③④⑥⑦⑧；梯形有⑥⑧；平行四边形有①③④；长方形有①；正方形有④。 请把以上提到的六种图形名称，填到下面的圆圈内。 突破题型十一画三角形 35．在下面的方格纸上画出等腰钝角三角形和等腰锐角三角形。 【答案】见详解 【分析】等腰三角形指的是有两边相等的三角形；钝角三角形指的是有一个内角为钝角（大于90°小于180°）的三角形；锐角三角形指的是三个内角都是锐角（大于0°小于90°）的三角形。结合各类三角形的特征画出图形即可。 【解答】作图如下图所示： 36．画一画。 在如图的方格纸上，分别画一个钝角三角形和一个等腰三角形。 【答案】见详解 【分析】最大角是钝角的三角形是钝角三角形。两条边相等的三角形是等腰三角形。据此画图。 【解答】 （答案不唯一） 37．在下面的方格中画出一个等腰三角形和一个梯形。 【答案】见详解 【分析】等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。相等的两个边称为这个三角形的腰。先画出一条线段，再过线段上高3格处的位置点一个点，用这个端点分别连接线段的两个端点，即可画出一个等腰三角形；只有一组对边平行的四边形是梯形，画两条平行线段，平行线段相距3个方格边长，并且两条线段都以同一条直线为对称轴，把两条线段的对应端点连接起来即可得到一个梯形。据此画图即可。 【解答】 突破题型十二画平行四边形或梯形 38．如图是平行四边形的一部分。 （1）在上面方格图中把平行四边形画完整。 （2）画一条线段，把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形。 【答案】 见详解 【分析】平行四边形是两组对边分别平行的四边形；梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形；三角形是由三条线段首尾顺次连接所围成的封闭的图形； 据此可先将平行四边形补充完整；然后选取平行四边形的一个顶点，在底边线段上任取一点（不可取到底边顶点上），将这两点相连接，得到一个三角形；剩余部分即为梯形（如下图所示）。 【解答】（画法不唯一） 突破题型十三等边三角形或等腰三角形的应用 39．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”春天是放风筝的好时节，五一假期间爸爸给力力做了一个等腰三角形的风筝，这个等腰三角形风筝的底边长3厘米，一条腰长6厘米，这个等腰三角形周长是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】等腰三角形的两条腰的长度相等。由题意得，等腰三角形风筝的底边长3厘米，一条腰长6厘米，那么另一条腰也长6厘米，直接把这三条边的长度加起来即可算出这个等腰三角形的周长。 【解答】3＋6＋6 ＝9＋6 ＝15（厘米） 答：这个等腰三角形周长是15厘米。 40．淘淘用铁丝围成了一个边长4分米的等边三角形，如果用这些铁丝围成一个底边长是2分米等腰三角形，这个等腰三角形的一条腰是多少？ 【答案】5分米 【分析】等边三角形三条边都相等，三角形的周长是三条边相加得到的，首先先用4×3计算出铁丝的长度，等腰三角形两腰相等，再用铁丝的长度减去三角形的底边就是两条腰的长度，最后再除以2即可。 【解答】4×3＝12（分米） （12－2）÷2 ＝10÷2 ＝5（分米） 答：这个等腰三角形的一条腰是5分米。 41．李伯伯要给一块边长是6.55米的等边三角形菜地围上篱笆，菜地的一边靠墙，李伯伯至少需要围多长的篱笆？ 【答案】13.1米 【分析】等边三角形的三条边长度都一样，菜地的一边靠墙，李伯伯至少要围的长度就是两边之和。 【解答】6.55＋6.55＝13.1（米） 答：李伯伯至少需要围13.1米的篱笆。 42．贝贝用一根铁丝围成了一个边长是20cm的正方形。如果用这根铁丝围成一个底边长是30cm的等腰三角形，那么这个等腰三角形的腰长是多少厘米？ 【答案】25厘米 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，求出这根铁丝的长度，再根据等腰三角形的特征，等腰三角形的两条腰的长度相等，所以每条腰的长度等于周长减去底边的长度，然后除以2即可。 【解答】（20×4－30）÷2 ＝（80－30）÷2 ＝50÷2 ＝25（厘米） 答：这个等腰三角形的腰长是25厘米。 【点评】此题主要考查正方形的周长公式、三角形的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 突破题型十四三角形的内角和的应用 43．记者用相机记录了山西运动员的辉煌时刻，相机用三角支架支撑，与地面形成了等腰三角形，这个等腰三角形的一个角是70º，其他的两个角分别是多少度？ 【答案】70°、40°或55°、55° 【分析】等腰三角形有两个底角的度数相等，因此有两种情况：当70°是这个等腰三角形的底角时，则这个等腰三角形的另一个底角页是70°，则用三角形的内角和180°减去两个底角的和，即可求出三角形的第三个角的度数； 当70°是这个等腰三角形的顶角时，则用三角形的内角和180°减去顶角的度数再除以2，即可求出这个等腰三角形的底角的度数；据此解答。 【解答】当70°角是这个等腰三角形的底角时， 180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 当70°角是这个等腰三角形的顶角时，     （180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55°   答：其他的两个角分别是70°、40°或55°、55°。 44．奇奇在数学课上画了一个等腰三角形，已知他画的等腰三角形中的一个角是。你知道他画的等腰三角形中另外两个角分别是多少度吗？ 【答案】两个角的度数分别是70°和40°或两个角的度数都是55° 【分析】在等腰三角形中，两个底角相等且三个内角之和为180°。已知等腰三角形中的一个角是70°，那么有两种情况。第一种，如果已知的那个角是底角，那么剩下的两个角分别是底角和顶角，也就是另一个底角也为70°。然后用180°减去两个底角的度数之和即可得到另一个顶角的度数。第二种，如果已知的那个角是顶角，那么可以用180°减去顶角的度数可以得到两个底角的度数之和。最后用除法即可求出另外两个底角的度数。 【解答】第一种：如果已知的那个角是底角，它的度数是70°，那么另一个底角的度数也是70°。 180°－（70°＋70°） ＝180°－140° ＝40° 第二种：如果已知的那个角是顶角，它的度数是70°。 （180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 答：明明画的等腰三角形中另外两个角的度数分别是70°和40°或两个角的度数都是55°。 45．风筝至今已2000多年的历史，曾经是传递信息的工具。下面的风筝形象是一个四边形，它左右两个角相等最上面的角是75度，最下面的角是35度，你能计算出它左右两个角是多少度吗？ 【答案】125度 【分析】 四边形内角和360度，四边形内角和－最上面的角的度数－最下面的角的度数＝左右两个角的度数和，再除以2即可，据此列式解答。 【解答】（360－75－35）÷2 ＝250÷2 ＝125（度） 答：它左右两个角是125度。 46．我们佩戴的红领巾的颜色是国旗红，可用布、绸、缎等材料按照标准制作。分为小号、大号两个规格。小号：底边长100厘米、腰边长60厘米。大号：底边长120厘米、腰边长72厘米。红领巾中最大的角是120°。 （1）算式“100＋60×2”解决的问题是： （2）红领巾中另外两个的角分别是多少度？ 【答案】（1）小号红领巾的周长是多少厘米？ （2）30度 【分析】（1）红领巾是等腰三角形，两条腰的长度相等，在小号红领巾中100厘米是底边的长度，60厘米是腰的长度，100＋60×2表示小号红领巾的周长是多少厘米。 （2）三角形的内角和是180度，等腰三角形的两个底角相等，先用三角形的内角和减去顶角的度数，求出两个底角的和，再除以2，即可求出红领巾的另外两个的角分别是多少度。 【解答】（1）算式“100＋60×2”解决的问题是：小号红领巾的周长是多少厘米？ （2）（180－120）÷2 ＝60÷2 ＝30（度） 答：红领巾中另外两个的角都是30度。 【点评】解决本题的关键是熟知等腰三角形的特点，以及三角形的内角和定理。 突破题型十五三角形的三边关系的应用 47．把50厘米长的绳子剪成三段（如下图）。 【答案】不能；因为第三边长26厘米，不满足三角形三条边的关系 【分析】根据题意可知，用50厘米减去另外两条绳子的长度之和，即可计算出第三根绳子的长度，然后再根据三角形三边的关系进行解答。 三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边。 【解答】50－（11＋13） ＝50－24 ＝26（厘米） 11厘米＋13厘米＜26厘米，因此不能围成三角形。 答：它们不能围成一个三角形，因为第三边长26厘米，不满足三角形三条边的关系。 48．同学们正在进行“剪小棒摆三角形”的探索活动。一根长12厘米的小棒，如果先从4厘米处剪了一刀，作为三角形的一条边。要想摆成一个三角形，接下来可以从哪里剪开得到另两条边（边长都为整厘米）？请你先在图中用“|”标出剪的位置，再把思考过程写出来。图中每个“”都一样长。 【答案】见详解 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，先从4厘米处剪了一刀，则有一条边长是4厘米，另外两条边长之和为12－4＝8（厘米），8＞4，所以只需要另外两条边长之差小于4厘米即可摆成三角形，据此解答即可。 【解答】12－4＝8（厘米） 当另外两条边长为1厘米和7厘米时：7－1＝6（厘米），6＞4，不能围成三角形； 2厘米和6厘米：6－2＝4（厘米），不能围成三角形； 3厘米和5厘米：5－3＝2（厘米），2＜4，可以围成三角形。 4＋3＝7（厘米），4＋5＝9（厘米） 答：可以从7厘米或9厘米处剪开得到另两条边。 如图：或 49．从如图所示的5根小棒中选出3根，组成一个三角形，有多少种不同的组法？并列出其中三种。 【答案】7；2cm、3 cm、4 cm，2cm、4 cm、5 cm，2cm、5 cm、6cm 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，选出的小棒符合三角形三边之间的关系即可组成一个三角形，据此即可解答。 【解答】2＋3＞4，所以2cm、3 cm、4 cm的小棒可以组成一个三角形。 2＋3＝5，所以2cm、3 cm、5 cm的小棒不能组成一个三角形。 2＋3＜6，所以2cm、3 cm、6cm的小棒不能组成一个三角形。 2＋4＞5，所以2cm、4 cm、5 cm的小棒可以组成一个三角形。 2＋4＝6，所以2cm、4 cm、6cm的小棒不能组成一个三角形。 2＋5＞6，所以2cm、5 cm、6cm的小棒可以组成一个三角形。 3＋4＞5，所以3cm、4 cm、5cm的小棒可以组成一个三角形。 3＋4＞6，所以3cm、4 cm、6cm的小棒可以组成一个三角形。 3＋5＞6，所以3cm、5 cm、6cm的小棒可以组成一个三角形。 4＋5＞6，所以4cm、5 cm、6cm的小棒可以组成一个三角形。 答：有7种不同的组法，例如：2cm、3 cm、4 cm，2cm、4 cm、5 cm，2cm、5 cm、6cm可以组成一个三角形。 50．周日，小夕一家外出散步，路上碰到了一些问题，请你帮助他们解决。 （1）小夕的爸爸身高1.82米，体重75千克，腿长约92厘米。小夕说她爸爸走一步可以迈2米。对于这种说法，你相信吗？请你从数学角度出发，写出结论，并解释理由。 （2）路上，他们路过文具店，小夕想买一面彩旗，彩旗的形状是等腰三角形。其中一个角是，想一想另外两个角分别是多少度？请列出所有的情况。 【答案】（1）不相信；理由见详解；（2）、或、。 【分析】（1）依据三角形的任意两边之和大于第三边，腿长约92厘米，走一步两腿和地面形成一个三角形，两腿的长度和要大于一步的距离，先求出92与92的和，再根据1米＝100厘米，将2米的单位化为厘米是200厘米，最后与前面所得的和比较即可。 （2）已知给出了一个内角是，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论根据三角形的内角和是180°，当顶角是70°时，先求出180°减70°的差，因为等腰三角形两个底角相等，再用这个差即可求出底角的度数；当底角是70°时，用180°减70°，再减70°，即可求出顶角的度数。 【解答】（1）不相信。 92（厘米） 2米厘米 184厘米厘米 答：不符合三角形的任意两边之和大于第三边，所以小夕说她爸爸走一步能迈2米这种说法不可信。 （2）分情况讨论： ①若等腰三角形的顶角为时； （180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° ②若等腰三角形的底角为时； 180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 答：这个等腰三角形另外两个角分别是、或、。 学科网（北京）股份有限公司 $$