第09讲 圆内接正多边形与弧长及扇形的面积（3个知识点+12种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第09讲 圆内接正多边形与弧长及扇形的面积（3个知识点+12种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点2．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点3．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 题型强化 题型一、求正多边形的中心角 1．（2024·贵州·模拟预测）如图，正五边形内接于，连结，则（　　） A． B． C． D． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点O是正八边形的中心，连接、，则 ． 3．（20-21九年级·内蒙古赤峰·期末）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 题型二、正多边形和圆的综合 4．（2024·云南昭通·一模）如图，正八边形内接于，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·全国·期中）已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆半径为 ，内接正六边形的面积为 ． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 题型三、尺规作图——正多边形 7．（21-22九年级下·全国·课后作业）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 8．（2020·内蒙古呼和浩特·一模）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为 ． 题型四、求弧长 9．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 10．（2024九年级下·全国·专题练习）如果一个扇形的圆心角为，半径为6，那么该扇形的弧长是 ． 11．（23-24九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 题型五、求扇形半径 12．（2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 13．（2025九年级下·全国·专题练习）一个扇形的圆心角为，弧长，则此扇形的半径是 ． 14．（20-21九年级下·全国·课后作业）已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，求该圆的半径． 题型六、求圆心角 15．（2024·河北张家口·一模）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则为（    ） A．90 B．108 C．120 D．无法判断 16．（23-24九年级·全国·单元测试）半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，这个扇形的圆心角为 ． 17．（九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图1，在正方形中，，点在边上，且，以点为圆心，为半径在其左侧作半圆，分别交)于点，交的延长线于点． 　　　   （1） ； （2）如图2，将半圆绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点为；设为半圆上一点． ①当点落在边上时，求点与线段之间的最短距离； ②当半圆交于两点时，若的长为，求此时半圆与正方形重叠部分的面积； ③当半圆与正方形的边相切时，设切点为，直接写出的值． 题型七、求某点的弧形运动路径长度 18．（2025九年级下·全国·专题练习）秋千拉绳长，静止时踩板离地面，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处时踩板离地面（左右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为（   ） A． B． C． D． 19．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，正三角形的高是3厘米，正方形的边长是正三角形的2倍，木块从图①的位置开始，沿着木桩的边缘滚动，滚动过程如图②，图③所示，木块滚动一周后回到原位置，那么正三角形正中心的点A经过的路径长度为 ． 20．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知正三角形的边长为1，按如图所示位置放在直线m上，然后无滑动地滚动，当它滚动一个周期时，顶点 A 所经过的路线长为多少？ 题型八、求扇形面积 21．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知圆锥的高为，母线长为，则其侧面展开图的面积为（  ） A．60π B．70π C．80π D．90π 22．（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ． 23．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）现有成 角且足够长的墙角和可建总长为 围墙的建筑用料来修建储料场． (1)如图1，修建成一个半圆储料场，圆弧为新建围墙，求： ①储料场的半径； ②储料场的面积． (2)小林建议：把新建围墙建成如图2所示的以 为圆心的，这样修建的储料场会更大，你认为小林的建议合理吗？请说明理由． 题型九、求图形旋转后扫过的面积 24．（2024·贵州黔东南·二模）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积是（　　）    A． B．6 C． D． 25．（2024·吉林长春·模拟预测）一个闹钟的时针长是，从下午1点到下午4点，时针所扫过的面积是 ． 题型十、求弓形面积 26．（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 27．（2023·福建莆田·模拟预测）如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ． 28．（23-24九年级下·山东日照·开学考试）在中，，以为直径的分别与交于点D、E，过点作于点． (1)求证：是的切线∶ (2)如图，若的半径为，求阴影部分的面积． 题型十一、求圆锥侧面积 29．（2024·浙江宁波·模拟预测）要制作一个高为8cm，底面直径是cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则所需纸板的面积是（    ） A． B． C． D． 30．（2024·云南怒江·一模）某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为9，底面圆的直径为，则该圆锥的全面积为 ． 31．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 题型十二、求圆锥的高 32．（23-24九年级下·全国·期末）小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 33．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm． 34．（2023·安徽安庆·一模）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度. 分层练习 一、单选题 1．在平行四边形、矩形、等边三角形、正方形中，正多边形有多少个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，边长为2的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（  ） A． B． C． D． 3．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，半径OA交小圆于点D，若OD=3，tan∠OAB=，则劣弧AB的长是（ ） A．2π B．3π C．4π D．6π 4．如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　） A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm 6．如图是的小正方形网格，小正方形的边长为、点和是格点，连接，小明在 网格中画出以为直径的半圆，圆心为点，点是格点且在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 7．如图，圆中有四条弦，每一条弦都将圆分割成面积比为1:3的两个部分，若这些弦的交点恰是 一个正方形的顶点，那么这个正方形的外接圆的面积与图中阴影部分面积的比值为（ ） A．π B．2-π C．π D．2π 8．如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．将平行四边形的边与边分别绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此时、D、B 恰好共线，，，那么边扫过的面积为（    ） A． B． C． D．9 10．如图，已知是圆的直径，，是圆的弦，，射线、交于点，将绕点顺时针旋转，从与重合开始到与第一次重合停止，则点运动的路径长为(    ) A． B． C． D． 二、填空题 11．一个圆锥的母线长为3，底面圆的半径为4，它的侧面积是 ． 12．圆锥的主视图是边长为的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是 ． 13．已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为 ． 14．直角三角形的斜边长是6，以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是 ． 15．用一块弧长为 的扇形纸片，围成一个高为 4cm 圆锥的侧面，则此扇形纸片的圆心角为 ． 16．如图，等边△ABC中，BC=6，O、H分别为边AB、AC的三等分点，AH=AC，AO=AB，将△ABC绕点B顺时针旋转100°到的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为 ． 17．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心，则图中阴影部分的面积是 ． 18．如图，在中，，D为中点，以D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上，则图中阴影面积为 ． 三、解答题 19．如图是一个半圆，已如，阴影部分的面积是，求图中三角形的高．（取3.14）    20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出； (2)画出与关于点对称的； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转过程中点到点所经过的路径长度． 21．如图，△ABC中，∠C=90°． (1)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1；（不写画法，保留画图痕迹） (2)若AB=10，BC=6，求在旋转过程中，点C运动的路径长． 22．一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长． 23．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB于点E． （1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说明理由； （2）求图中阴影部分的面积（结果可保留根号和π）． 24．如图，直线经过点M(1，)和点N(，3)，A、B是此直线与坐标轴的交点．以AB为直径作⊙C，求此圆与y轴围成的阴影部分面积． 25．如图，已知：⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，AC＝CP． (1) 求证：CP是⊙O的切线； (2) 若PC＝6，AB=4，求图中阴影部分的面积． 26．如图，在中，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到．    (1)线段的长是 ，的度数是 ； (2)连接，求证：四边形是平行四边形； (3)求点旋转到点的位置所经过的路线的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 圆内接正多边形与弧长及扇形的面积（3个知识点+12种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点2．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点3．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 题型强化 题型一、求正多边形的中心角 1．（2024·贵州·模拟预测）如图，正五边形内接于，连结，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题考查正多边形内接于圆的知识．根据周角等于，正五边形内接于，因此，是该圆的五等分角，即可求得该角度数． 【详解】解：∵该五边形是正五边形 ∴． 故答案为：A． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点O是正八边形的中心，连接、，则 ． 【答案】45 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，根据是正八边形即可求出． 【详解】解：∵是正八边形， ∴， 故答案为：45． 3．（20-21九年级·内蒙古赤峰·期末）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 【答案】（1）；（2），；（3）． 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得，再根据圆内接正三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得； （2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得，再根据（1）同样的方法可得；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角，再根据（1）同样的方法可得； （3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得． 【详解】（1）如图，连接OB、OC，则， 是内接正三角形， 中心角， ∵点O是内接正三角形ABC的内心， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1，连接OB、OC， 四边形ABCD是内接正方形， 中心角， 同（1）的方法可证：； 如图2，连接OB、OC， 五边形ABCDE是内接正五边形， 中心角， 同（1）的方法可证：， 故答案为：，； （3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是， 的度数与正方形边数的关系是， 的度数与正五边形边数的关系是， 归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题关键． 题型二、正多边形和圆的综合 4．（2024·云南昭通·一模）如图，正八边形内接于，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，由正八边形内接于知，． 【详解】解：正八边形内接于 ． 故选：C． 5．（24-25九年级下·全国·期中）已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆半径为 ，内接正六边形的面积为 ． 【答案】 4 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查的是圆与正多边形的性质，勾股定理的应用，设的半径为，如图，连接，过作于，再进一步求解内接正三角形的面积，如图，连接，过作于，再进一步求解圆的内接正六边形的面积，再利用同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，再建立方程求解即可． 【详解】解：设的半径为， 如图，连接，过作于， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴内接正三角形的面积． 如图，连接，过作于， ∵六边形是的内接正六边形 ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴圆的内接正六边形的面积． ∵一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为， ∴， ∴（负值舍去）， ∴内接正六边形的面积为． 故答案为：， 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】正多边形和圆的综合、尺规作图——正多边形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 题型三、尺规作图——正多边形 7．（21-22九年级下·全国·课后作业）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【知识点】尺规作图——正多边形 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 8．（2020·内蒙古呼和浩特·一模）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为 ． 【答案】（，） 【知识点】尺规作图——正多边形、成中心对称 【分析】根据图形，利用对称的性质计算即可求出D的坐标． 【详解】解：根据题意，点D与点A关于原点对称， ∵点A的坐标为：（1，）， ∴点D的坐标为：（，）； 故答案为：（，）； 【点睛】此题考查了正多边形和圆，以及坐标与图形性质，熟练掌握对称的性质是解本题的关键． 题型四、求弧长 9．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长的计算，正确理解弧长的计算公式是解题的关键．已知，，根据弧长的计算公式，即可求出答案． 【详解】已知，， ， ， 解得． 故选：D． 10．（2024九年级下·全国·专题练习）如果一个扇形的圆心角为，半径为6，那么该扇形的弧长是 ． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式直接求解即可． 【详解】解：扇形的圆心角为，半径为6， 该扇形的弧长， 故答案为：． 11．（23-24九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求圆锥侧面积、求圆锥底面半径、求弧长、求扇形面积 【分析】（1）根据扇形面积公式计算； （2）根据弧长公式计算． 本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图、扇形面积公式、弧长公式是解题的关键． 【详解】（1）解：圆锥的母线长为， 扇形的半径为， 扇形面积为：， 圆锥的侧面积为； （2）解：设扇形的半径为， 圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长为， 扇形弧长为， 则， 解得：， ∴扇形的半径为． 题型五、求扇形半径 12．（2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【知识点】求扇形半径 【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∵裙长为米， ∴米， 故选：B． 13．（2025九年级下·全国·专题练习）一个扇形的圆心角为，弧长，则此扇形的半径是 ． 【答案】12 【知识点】求扇形半径 【分析】本题主要考查了扇形的弧长，正确理解扇形的弧长公式是解题的关键． 根据扇形的弧长弧长公式即可得到关于扇形半径的方程，即可求解． 【详解】解：设扇形的半径是R，则， 解得：． 故答案为：12． 14．（20-21九年级下·全国·课后作业）已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，求该圆的半径． 【答案】半径为 【知识点】求扇形半径 【分析】设该圆的半径为R，根据弧长公式列出方程，解方程可得． 【详解】解：设该圆的半径为Rcm， 根据题意，得：， 解得：R＝7.2， 答：该圆的半径为7.2cm． 【点睛】本题考查了弧长公式：（n为弧所对的圆心角的度数，R为弧所在圆的半径）． 题型六、求圆心角 15．（2024·河北张家口·一模）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则为（    ） A．90 B．108 C．120 D．无法判断 【答案】B 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查了弧长的公式的应用，根据传送的距离等于转动了的圆弧的长，进而即可求得． 【详解】， 解得． 故选：B． 16．（23-24九年级·全国·单元测试）半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，这个扇形的圆心角为 ． 【答案】 【知识点】求圆心角 【分析】此题考查了弧长公式，设这个扇形的圆心角度数为，半径为厘米的扇形，其弧长为厘米，则，解方程即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为，则 ， 解得 故答案为： 17．（19-20九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图1，在正方形中，，点在边上，且，以点为圆心，为半径在其左侧作半圆，分别交)于点，交的延长线于点． 　　　   （1） ； （2）如图2，将半圆绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点为；设为半圆上一点． ①当点落在边上时，求点与线段之间的最短距离； ②当半圆交于两点时，若的长为，求此时半圆与正方形重叠部分的面积； ③当半圆与正方形的边相切时，设切点为，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①点到的最短距离为，②此时半圆与正方形重叠部分的面积为；③ 【知识点】求圆心角、求角的正切值 【分析】（1）连接GO，根据已知条件，在△DGO中利用勾股定理即可求解； （2）①如图，过点O'作O'H⊥BC，根据三点共线及垂线段最短可得此时MH即为点M到BC的最短距离，根据已知求得HQ、O'Q、O'M，而MH=HQ- O'Q- O'M即可求得； ②如图，根据的长可以求出∠PO'R=60°，此时半圆与正方形重叠部分的面积为,即可求得答案； ③当半圆与正方形的边相切时有三种情况，分别作图， 第一种情况：当半圆与BC边相切时，连接O'N，，过点E作ET⊥O'N于T，连接EN，过点E作EK⊥DN于K，再依据勾股定理以及等面积法求得EK、NK的值，进而可以求得； 第二种情况：当半圆与AB边相切时,连接DN，如图，根据已知条件可以判断四边形ANED是矩形，进而可以求得； 第三种情况：当半圆O'与CD相切于点N时，此时点N与点E重合，不存在． 【详解】（1）连接GO，如图：    ∵四边形ABCD是正方形，AB=10， ∴DC=AD=10，∠ODG=90°， ∵CE=2，DO=3， ∴OG=OE=DC-DO-CE=10-3-2=5， ∴DG==4， ∴AG=AD-DG=10-4=6． 故答案为6． （2）①如图，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M,反向延长HO交AD于 点Q，则∠QHC=90°，    根据三点共线及垂线段最短可得此时点M到BC的距离最短， ∵∠C=∠D=∠QHC=90°， ∴四边形QHCD是矩形， ∴HQ=CD=10，HQ//CD， ∵点O'是EF'的中点， 点Q是DF'的中点， ∵DE=8， ∴O'Q=DE=4， ∴O'H=10-4=6， ∵CE=2，DO=3， ∴OE=10-2-3=5，即半圆O的半径为5， ∴MH=HQ- O'Q- O'M=10-4-5=1， 即点M到BC的最短距离为1． ②由①可知半圆O的半径为5，如图    设∠PO'R的度数为， 由题意得： 的长为=， ∴∠PO'R=60°， ∴∠F'O'P+∠EO'R=120°， ， ∵O'R=P O'， ∴△O'RP是等边三角形， ∴． ∴此时半圆O'与正方形重叠部分的面积为． ③第一种情况：当半圆O'与BC相切于N时，连接O'N，，过点E作ET⊥O'N于T，连接EN， 则TN=EC=2，如图：    ∵ON=O'E=5， ∴O'T=ON-TN=5-2=3 ∴ CN2=TE2= O'E2- O'T2 ∴ CN=TE= =4， ∴=， =， 过点E作EK⊥DN于K， ∵=EKDN=DECN， ∴EK===， ∵==， ∴， ∴NK=， ∴==； 第二种情况：当半圆O'与AB相切于点N时，连接DN，如图    ∵EN⊥AB， ∴四边形ANED是矩形， ∴==， 第三种情况：当半圆O'与CD相切于点N时，此时点N与点E重合，不存在， 综上所述，的值为 或． 【点睛】本题是正方形与圆的综合题型，难度较大，涉及的知识点还有三角函数，熟练掌握数形结合、分类讨论的思想是顺利解题的关键． 题型七、求某点的弧形运动路径长度 18．（2025九年级下·全国·专题练习）秋千拉绳长，静止时踩板离地面，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处时踩板离地面（左右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式，学会通过题目的条件计算出圆心角的度数是解题的关键．根据题意，作出秋千的示意图，通过作垂线构造直角三角形计算出圆心角的度数，再代入弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，作出秋千的示意图（如图），其中，，， 作交于， 则， ， ， ， ， ， 即该秋千所荡过的圆弧长为． 故选：B． 19．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，正三角形的高是3厘米，正方形的边长是正三角形的2倍，木块从图①的位置开始，沿着木桩的边缘滚动，滚动过程如图②，图③所示，木块滚动一周后回到原位置，那么正三角形正中心的点A经过的路径长度为 ． 【答案】44 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查了弧长的计算、旋转的性质．找出点A轨迹是解题的关键．利用弧长公式，可以解决问题． 【详解】解：如图， ∵和都是正三角形的中心， ∴， ∴，四个角上的弧所对圆心角为，， 第1次滚动，点A运动轨迹是以圆心O、圆心角，为半径的弧， 第2次滚动，是以圆心、圆心角为，半径的弧接下来运动类似， 如图中虚线， 点运动的路径长度． 故答案为：44． 20．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知正三角形的边长为1，按如图所示位置放在直线m上，然后无滑动地滚动，当它滚动一个周期时，顶点 A 所经过的路线长为多少？ 【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意可知，点A所经过的这两段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵点A所经过的这两段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为， ∴点A所经过的路线长为 题型八、求扇形面积 21．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知圆锥的高为，母线长为，则其侧面展开图的面积为（  ） A．60π B．70π C．80π D．90π 【答案】A 【知识点】求圆锥侧面积、求扇形面积 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据公式计算圆锥的侧面展开图的面积即可； 本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图面积公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的高为，母线长为 圆锥的底面圆的半径为， 圆锥的侧面展开图的面积      故选：A． 22．（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， （）， ∵点，分别是，的中点， ∴（）， ∴（）， ∴花窗的面积为 故答案为：． 23．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）现有成 角且足够长的墙角和可建总长为 围墙的建筑用料来修建储料场． (1)如图1，修建成一个半圆储料场，圆弧为新建围墙，求： ①储料场的半径； ②储料场的面积． (2)小林建议：把新建围墙建成如图2所示的以 为圆心的，这样修建的储料场会更大，你认为小林的建议合理吗？请说明理由． 【答案】(1)①， ② (2)小林的建议合理，理由见解析 【知识点】求扇形面积、圆的周长和面积问题 【分析】本题考查圆的性质，扇形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据圆的周长和面积公式求解即可； （2）根据扇形面积求解，然后比较即可； 【详解】（1）解：① 设半圆的半径为，则 ， 解得 ， ② ； （2）设 的半径为，则 ， 解得 ， ， ， 小林的建议合理； 题型九、求图形旋转后扫过的面积 24．（2024·贵州黔东南·二模）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积是（　　）    A． B．6 C． D． 【答案】D 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．求线段扫过的图形的面积，即求扇形的面积． 【详解】解：由题意，知． 由旋转的性质，得． 在中，． ∴． ∴扇形的面积为． 即线段扫过的图形的面积为． 故选：D． 25．（2024·吉林长春·模拟预测）一个闹钟的时针长是，从下午1点到下午4点，时针所扫过的面积是 ． 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．先求出从1点到下午4点扫过的角度，再根据扇形面积的计算公式计算即可． 【详解】解：由题知，时针从1点到下午4点扫过， 闹钟的时针长是， ． 故答案为：． 题型十、求弓形面积 26．（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求弓形面积 【分析】本题考查求弓形的面积，连接，利用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：， ∴, ∵，直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故选A． 27．（2023·福建莆田·模拟预测）如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积、求弓形面积 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间的关系是解题的关键． 设外的6个小弓形的面积和为 ，观察图形得到外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和，得到的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积)，于是得到答案 【详解】解：设外的6个小弓形的面积和为， 外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和， ∴的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积) [另外3个半圆的面积和(外的3个半圆的面积和)] ； 故答案为∶． 28．（23-24九年级下·山东日照·开学考试）在中，，以为直径的分别与交于点D、E，过点作于点． (1)求证：是的切线∶ (2)如图，若的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、求弓形面积、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】（1）连接，根据，，得出，证明，根据平行线的性质进一步证明，根据切线的判定求出即可； （2）连接，过O作于M，求出、的长和的度数，分别求出和扇形的面积，即可求出答案； 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点O， ∴是的切线． （2）连接，过O作于M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定以及性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，扇形的面积等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 题型十一、求圆锥侧面积 29．（2024·浙江宁波·模拟预测）要制作一个高为8cm，底面直径是cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则所需纸板的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥侧面积的求解，求出圆锥的母线长是解题关键． 【详解】解：由题意得：圆锥的半径为， ∵高为， ∴圆锥的母线长为． ∴所需纸板的面积为． 故选：B． 30．（2024·云南怒江·一模）某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为9，底面圆的直径为，则该圆锥的全面积为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥的全面积．熟练掌握圆锥的全面积为，其中为底面圆半径，为母线长是解题的关键． 根据圆锥的全面积为，其中为底面圆半径，为母线长，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 31．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【知识点】圆锥的实际问题、求圆锥侧面积 【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用． （1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论； （2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 题型十二、求圆锥的高 32．（23-24九年级下·全国·期末）小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求圆锥的高、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查圆锥的性质和勾股定理；设圆锥底面圆的半径是r，根据扇形的弧长可求出圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】∵扇形的弧长是， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥底面圆的半径是， ∴，解得： ∴圆锥的高是 故选：A． 33．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm． 【答案】 【知识点】求圆锥的高 【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可得母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得：． 即圆锥的母线长为， ∴圆锥的高cm， 故答案是：． 34．（2023·安徽安庆·一模）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度. 【答案】 【知识点】求圆锥的高、求圆锥底面半径 【分析】设圆锥底面圆的半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长=底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据勾股定理即可求出结果. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为， ∵， ∴的长， ∴，即：， 在中，， 根据勾股定理得，. 【点睛】本题考查了圆锥的相关知识，正确理解圆锥的侧面展开图的弧长与其底面圆的半径的关系是解题的关键. 分层练习 一、单选题 1．在平行四边形、矩形、等边三角形、正方形中，正多边形有多少个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据正多边形的定义进行判断. 【详解】解：等边三角形和正方形是正多边形，共有2个， 故选B. 【点睛】本题考查正多边形的定义，正多边形就是各边相等，各角也相等的多边形. 2．如图，边长为2的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：连接AC，可得AB=BC=AC=2，则∠BAC=60°，根据弧长公式，可得弧BC的长度等于，故答案选C． 考点：弧长公式． 3．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，半径OA交小圆于点D，若OD=3，tan∠OAB=，则劣弧AB的长是（ ） A．2π B．3π C．4π D．6π 【答案】C 【分析】连接OC、OB．根据，可推出，即可求出．又由AB为小圆的切线，可推出，即可求出AO的长，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】如图连接OC、OB． ∵，OA=OB． ∴， ∴． ∵AB为小圆的切线， ∴， 又∵OC=OD=3， ∴AO=2OC=6． ∴． 故选：C． 【点睛】本题为圆的综合题．掌握切线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式以及三角函数等知识是解答本题的关键． 4．如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： 正六边形内接于， ， P是圆上任意一点，， 根据圆周角定理，， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形与圆背景下求角度问题，涉及到正六边形的性质、圆周角定理，熟练掌握正六边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键． 5．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　） A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm 【答案】D 【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120°所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，重物的高度为（cm）， 故选：D． 【点睛】本题考查弧长公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6．如图是的小正方形网格，小正方形的边长为、点和是格点，连接，小明在 网格中画出以为直径的半圆，圆心为点，点是格点且在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 7．如图，圆中有四条弦，每一条弦都将圆分割成面积比为1:3的两个部分，若这些弦的交点恰是 一个正方形的顶点，那么这个正方形的外接圆的面积与图中阴影部分面积的比值为（ ） A．π B．2-π C．π D．2π 【答案】C 【详解】试题分析：根据题意可设图中各部分的面积如图所示： 设圆的面积为S：因为每一条弦都将圆分割成面积比为1:3的两个部分，所以2a+b=S，又4a+4b+c=S，所以c=S-4a-4b=8a+4b-4a-4b=4a，所以正方形的边长=，所以正方形的外接圆的直径=，所以正方形的外接圆的面积与图中阴影部分面积的比=．故选C． 考点：正多边形与圆． 8．如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 9．将平行四边形的边与边分别绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此时、D、B 恰好共线，，，那么边扫过的面积为（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作,平行四边形的面积就是扫过的面积. 【详解】解：连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作, 扫过的面积为,及，围成的面积，即平行四边形的面积就是扫过的面积. 由旋转可知，， ， 是平行四边形， 中，， ， ， 故选A． 10．如图，已知是圆的直径，，是圆的弦，，射线、交于点，将绕点顺时针旋转，从与重合开始到与第一次重合停止，则点运动的路径长为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接、，根据、的长可得，即可证明是等边三角形，可得，可得旋转的角度为，根据圆周角定理可得，根据三角形内角和定理可得，即可得出点E的运动轨迹为的外接圆，且所对的圆心角为，设外接圆圆心为O1，O1E旋转的角度为，连接，根据等腰三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理列方程可求出的长，利用弧长公式即可求出的长，即可得答案． 【详解】如图，连接、、 ∵为的直径， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， 同理：， ∴， ∵绕点顺时针旋转，从与重合开始到与第一次重合停止， ∴旋转的角度为， ∴点的运动根据为的外接圆，且弦所对的圆心角为， 设外接圆的圆心为，则旋转的角度为，图中为点的运动路径， 连接，则， ∵点为的圆心， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：O1A=，(负值舍去) ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质及弧长公式，正确得出点E的运动轨迹并熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 二、填空题 11．一个圆锥的母线长为3，底面圆的半径为4，它的侧面积是 ． 【答案】12π 【分析】根据圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积=底面周长母线长计算即可． 【详解】圆锥的侧面积=2π43=12π. 故答案为12π. 【点睛】本题考查圆锥的计算，熟练掌握公式是解题的关键. 12．圆锥的主视图是边长为的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是 ． 【答案】8π 【详解】解：根据题意得：圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm， 所以该圆锥侧面展开图的面积是8πcm2． 故答案为：8π 13．已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为 ． 【答案】2 【分析】先由扇形的面积公式求圆心角度数，然后再由弧长公式即可得出结论． 【详解】解：设扇形的圆心角为，由题意可得， 解得， 扇形的弧长为， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是扇形面积及弧长的计算，熟记扇形的面积和弧长公式是解答此题的关键． 14．直角三角形的斜边长是6，以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是 ． 【答案】9π 【详解】∵直角三角形的斜边长是6， ∴斜边上的中线，即圆的半径=6÷2=3. ∴圆的面积是：π×32=9π. 15．用一块弧长为 的扇形纸片，围成一个高为 4cm 圆锥的侧面，则此扇形纸片的圆心角为 ． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，再利用弧长公式即可解题. 【详解】解：∵扇形的弧长等于圆锥底面的周长，设圆锥底面半径为r， 则：，故圆锥底面半径为3； 沿着圆锥的高剖开，其截面为一个直角三角形， 故圆锥的母线长为：， 由圆锥的侧面展开图是一个扇形，且其弧长等于圆锥底面周长知： 故有：，其中是圆心角， 解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了扇形弧长的计算公式，需要理解的是：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；根据扇形的弧长公式进行计算即可. 16．如图，等边△ABC中，BC=6，O、H分别为边AB、AC的三等分点，AH=AC，AO=AB，将△ABC绕点B顺时针旋转100°到的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接BH，BH′，作BD⊥AC于D，解直角三角形求出BD、CD，由AH=AC，AO=AB求出AH和AO，即可求得DH，根据勾股定理求出BH，整个旋转过程中，线段OH所扫过部分的面积，其实是大扇形HBH′与小扇形BOO′的面积差． 【详解】解：连接BH，BH′，作BD⊥AC于D， ∵等边△ABC中，BC=6， ∴∠C=60°，AC=AB=BC=6， ∴，， ∵AH=AC，AO=AB， ∴AH=OA=2， ∴CH=OB=6-2=4， ∴DH=3﹣2=1， 由勾股定理得：， ∵将△ABC绕点B顺时针旋转100°到的位置， ∴∠HBH′=∠OBO′=100°， ∴整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，扇形面积公式，结合题意和图形得到整个旋转过程中，线段OH所扫过部分的面积，是大扇形HBH′与小扇形BOO′的面积差是解决本题的关键． 17．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】． 【详解】∵⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，且三角形内角和定理为1800， ∴阴影部分的面积是半圆的面积，为． 18．如图，在中，，D为中点，以D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上，则图中阴影面积为 ． 【答案】/ 【分析】连接，证明，则，再求得扇形的面积，则阴影部分的面积即可求得． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． ∵点D为的中点， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，扇形的面积等知识，是重要考点，难度一般．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、解答题 19．如图是一个半圆，已如，阴影部分的面积是，求图中三角形的高．（取3.14）    【答案】 【分析】利用可得三角形的面积，在利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：圆的半径为：， ， ， ，解得：， 三角形的高为． 【点睛】本题考查了三角形的面积及扇形的面积，熟练掌握其公式是解题的关键． 20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出； (2)画出与关于点对称的； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转过程中点到点所经过的路径长度． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】（1）根据图示，可知各点的坐标，向右平移个单位长度，则各点的坐标的横坐标加，由此得到对应点的坐标，连接各点即为所有图形； （2）由（1）可知各点的坐标，关于原点对称的点，则对称图形的坐标变为原来坐标的相反数，由此得到对应图形点的坐标，连接各点即为所求图形； （3）根据各点坐标的特点与各点的特点，以及旋转的性质，即可求出对应点的弧长． 【详解】（1）解：根据图示可知，，，，向右平移个单位长度得， ∴，，，如图所示，连接点， ∴即为所求图形． （2）解：∵中点，，，关于原点对称得， ∴，，，如图所示，连接， ∴即为所求图形． （3）解：∵中，，，中点，，，如图所示，连接对应点，交于点，如图所示， 当绕点顺时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为； 当绕点逆时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为， ∴， ∴点到点所经过的路径长． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，图形结合，理解并掌握平移，对称，旋转的性质，弧长的计算公式是解题的关键． 21．如图，△ABC中，∠C=90°． (1)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1；（不写画法，保留画图痕迹） (2)若AB=10，BC=6，求在旋转过程中，点C运动的路径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据勾股定理知AC=8，再根据弧长公式计算可得． 【详解】（1）解：点C绕点A顺时针旋转90°得点C1，点B绕点A顺时针旋转90°得点B1，连结AB1，B1C1，AC1如图，△AB1C1为所画三角形； ； （2）解：在中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6， ∴． ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴． ∴点C运动的路径长为：． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及弧长公式． 22．一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长． 【答案】该圆锥底面的半径为10，它的母线的长为30． 【分析】根据圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于母线长，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用弧长公式和圆的周长公式即可得． 【详解】设该圆锥底面的半径为，它的母线的长为， 由题意得：，， 解得，， 答：该圆锥底面的半径为10，它的母线的长为30． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式、圆的周长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图特点和公式是解题关键． 23．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB于点E． （1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说明理由； （2）求图中阴影部分的面积（结果可保留根号和π）． 【答案】（1）相切，证明见解析；（2） 【分析】（1）根据切线的判定定理，证明∠ACB即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）相切． 理由：∵， ∴， ∴， ∴以BC为直径的圆与AC所在的直线相切． （2）Rt△ABC中，， ∵， ∴∠， ∴ ． 【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系和扇形公式的求法，正确理解阴影部分的面积等于是解题的关键． 24．如图，直线经过点M(1，)和点N(，3)，A、B是此直线与坐标轴的交点．以AB为直径作⊙C，求此圆与y轴围成的阴影部分面积． 【答案】 【分析】首先根据点M,N两点求出直线的解析式,再求出A、B两点坐标, 即可求出∠OAB的度数，然后根据阴影部分的面积等于扇形OBC的面积减去△OBC的面积即可得出结果. 【详解】解：把代入 得： 令 ∴B 令得  ∴ ∴ ∴ 过点C作CD⊥OB，连接OC， 由垂径定理可知：OD=1，∴sin∠CBD= ∴∠CBD=30° ∵BC=OC    ∴∠BOC=300 ，∴∠BCO=120° ∴S扇= ∵S△OBC= ∴S阴= 【点睛】本题主要考查一次函数的求法及扇形的面积，综合性较强，求出扇形的圆心角及半径是解题的关键. 25．如图，已知：⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，AC＝CP． (1) 求证：CP是⊙O的切线； (2) 若PC＝6，AB=4，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）6－2π 【分析】（1）连接OC．根据圆周角定理、等腰三角形的性质即可求得∠COP=2∠ACO=60°，由AC=CP可求得∠P=30°，从而可得，即可得，从而证明； （2）阴影部分的面积即为Rt△OCP的面积减去扇形OCB的面积． 【详解】（1）连接OC． ∵AB是⊙O的直径， ∴AO=OC， ∴∠ACO=∠A=30°， ∴∠COP=2∠ACO=60°， ∵AC=PC， ∴∠A=∠P=30°， ∴， ∴， ∴CP是⊙O的切线； （2）在Rt△OCP中，tan∠P=， ∴OC=， ∵S△OCP=CP•OC=且S扇形COB=2π， ∴S阴影=S△OCP﹣S扇形COB=． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，连接半径是解决切线问题常作的辅助线． 26．如图，在中，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到．    (1)线段的长是 ，的度数是 ； (2)连接，求证：四边形是平行四边形； (3)求点旋转到点的位置所经过的路线的长． 【答案】(1)6， (2)见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质进行解答即可； （2）可证明且相等，即可证明四边形是平行四边形； （3）利用弧长公式求得点划过的弧长即可． 【详解】（1）解：，， 为等腰直角三角形，即， 根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，即， 对应角，旋转角， 的度数是， 故答案为：6，； （2）证明：， ， 又， 四边形是平行四边形． （3）解：在中，， ， 点旋转到点的位置所经过的路线长即以点为圆心为半径的的长：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平行四边形的判定、弧长计算，掌握图形旋转前后的两个图形全等，正确确定旋转角是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$