第09讲 简单几何体的表面展开图（7个知识点+9种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第09讲 简单几何体的表面展开图（7个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．几何体的表面积 （1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和） （2）常见的几种几何体的表面积的计算公式 ①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） ②圆锥体表面积：πr2+（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角） ③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） ④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长） 知识点2．几何体的展开图 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 知识点3．展开图折叠成几何体 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 知识点4．专题：正方体相对两个面上的文字 （1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象． （2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面． 知识点5．截一个几何体 （1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． （2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形． 知识点6．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点7．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 题型强化 题型一、已知三视图求边长 1．（2024·浙江金华·模拟预测）如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 2．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，是某圆锥的左视图，其中，则圆锥的侧面积为 ． 题型二、已知三视图求侧面积或表面积 3．（2021·浙江杭州·三模）一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm）如图所示，根据图中所示数据计算这个几何的表面积为（　　）cm2． A．2π B．3π C．4π D．5π 4．（2024·浙江宁波·一模）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为，则a的值是 ． 5．（九年级下·全国·单元测试）几何体的三视图相互关联．已知直三棱柱的三视图如图，在△PMN中，∠MPN=90°，PN=4，sin∠PMN= ． （1）求BC及FG的长； （2）若主视图与左视图两矩形相似，求AB的长； （3）在（2）的情况下，求直三棱柱的表面积． 题型三、求小立方块堆砌图形的表面积 6．（2023九年级下·浙江·专题练习）如图是10个棱长为1的正方体摆放成的图形，则这个图形的表面积（　　） A．60 B．36 C．24 D．48 7．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）将个棱长为1的正方体积木摆成一堆，则形成的几何体表面积最小是 ． 题型四、求圆锥侧面积 8．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A．15 B．8 C． D． 9．（22-23九年级下·浙江金华·开学考试）圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面积 ． 10．（九年级·浙江杭州·期中）如图，一个圆锥底面圆直径为6cm，高PA为4cm，请求出该圆锥的侧面积 (结果保留 )． 题型五、求圆锥底面半径 11．（2024·浙江嘉兴·三模）已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B．1 C．π D．2 12．（2024·浙江宁波·一模）若一个圆锥侧面展开图的半径为14cm，圆心角为，则该圆锥的底面半径长为 ． 13．（2020·浙江绍兴·一模）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点、、，若该圆弧所在圆的圆心为点，请你利用网格图回答下列问题： （1）圆心的坐标为_____； （2）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．    题型六、求圆锥的高 14．（2021·浙江温州·三模）若某圆锥的侧面展开图是一个半圆，已知圆锥的底面半径为r，那么圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 15．（21-22九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知圆锥的底面半径为5，侧面积为65π，则圆锥的高 ． 题型七、求圆锥侧面展开图的圆心角 16．（九年级·浙江金华·期末）一张半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，要求圆锥底面圆的半径为4cm，那么这张扇形纸片的圆心角度数是（  ） A．150° B．240° C．200° D．180° 17．（2023·浙江·一模）一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图扇形的圆心角等于 度． 题型八、圆锥的实际问题 18．（2020·浙江·一模）某班设计小组想制作如图纸帽，使纸帽的高为，底面半径为，若小李用漂亮的彩纸做一顶这样的纸帽，则纸帽的外部面积为 ． 19．（2024·浙江·模拟预测）一个圆锥形沙堆，底面周长是米，高米，用这堆沙在米宽的路上铺厘米厚的路面，能铺多长？ 题型九、圆锥侧面上最短路径问题 20．（2012·浙江台州·一模）如图，已知O为圆锥的顶点，MN为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M点出发，绕圆锥侧面爬行到N点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（    ） A． B． C． D． 21．（20-21九年级·全国·课后作业）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 分层练习 一、单选题 1．圆锥的母线长为8cm，底面半径为6cm，则圆锥的侧面积是 (     ) A．96πcm2 B．60πcm2 C．48πcm2 D．24πcm2 2．下列平面图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ） A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 1，以AC为轴旋转一周得一个圆锥，则这个圆锥的全面积等于（     ）； A．6π B．5π C．4π D．3π 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（    ） A．214° B．215° C．216° D．217° 5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（    ） A．32 B． C．48 D． 6．一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ 　　） A．9 B．18 C．27 D．39 7．如果一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为4的正三角形，俯视图是圆且中间有一点，那么这个几何体的表面积是（ ） A．8π B．12π C．4π D．8 8．如图是某几何体的三种视图，其表面积为（   ） A．2π B．3π C．4π D．5π 9．正如我们小学学过的圆锥体积公式V=πr2h（π表示圆周率，r表示圆锥的地面半径，h表示圆锥的高）一样，许多几何量的计算都要用到π．祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确．在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少．现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹（小竹棍或小竹片）进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习． 下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于，则这个圆锥的高等于（　　） A． B． C． D． 10．下列结论中： ①的内切圆的半径为r，的周长为L，则的面积是； ②有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为； ③圆内接平行四边形是矩形； ④二次函数，自变量的两个值，对应的函数值分别为，，若，则其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．圆锥的侧面展开图是半圆 ,那么该圆锥的轴截面形状是 ． 12．一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图扇形的圆心角等于 度． 13．如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径为 ． 14．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °． 15．如图，在中，，，将绕直线旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于 ．（结果保留） 16．扇形的圆心角是120°，面积是3π cm²，则扇形的弧长是 cm，将此扇形卷成一个圆锥，则底面圆的半径为 cm． 三、解答题 17．如图是某几何体的三视图，其俯视图是边长为的菱形． (1)该几何体的名称是______； (2)请根据图中数据，计算该几何体的所有侧面的面积之和． 18．如图是一个由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请你而出它从正面和从左面看到的形状图． （1）请画出它从正面看，左面看的形状图； （2）若小立方体边长为1．则它的表面积为　　． 19．如图所示是由大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中画出该几何体的主视图和俯视图．（用阴影部分表示） (2)若小立方块的棱长为1，则所搭成的几何体表面积是多少？ 20．把边长为的10个相同正方体摆成如图所示的几何体．      (1)该几何体的体积是 ，表面积是 ； (2)在方格纸中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图∶    (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体 ，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体． 21．已知下图为一几何体从三个方向看到的形状图： 从正面看：长方形从左面看：长方形从上面看：等边三角形 （1）写出这个几何体的名称； （2）任意画出它的一种表面展开图； （3）根据图中所给的数据，求这个几何体的侧面积． 22．有一个顶部是圆锥，底部是圆柱的粮囤模型，如图是它的主视图. （1）画出该粮囤模型的俯视图； （2）若每相邻两个格点之间的距离均表示1米，请计算： ①在粮囤顶部铺上油毡，需要多少平方米油毡（油毡接缝重合部分不计）？ ②若粮食最多只能装至与圆柱同样高，则最多可以存放多少立方米粮食？（结果保留和根号） 23．如图，在单位长度为1的正方形网格中，经过格点A、B、C． (1)借助网格画出所在圆的圆心M的位置，并连接； (2)在平面直角坐标系中，圆心M的坐标为________；的半径为________（结果保留根号）； (3)若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是________． 24．如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体，并放在墙角．（注：图、图、图每一个小方格的边长为）   (1)该几何体主视图如图所示，请在图方格纸中画出它的俯视图； (2)若将其外面涂一层漆，则其涂漆面积为________．（正方体的棱长为） (3)用一些小立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体有几种？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？并在图方格纸中画出需要最多小立方块的几何体的左视图． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 简单几何体的表面展开图（7个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．几何体的表面积 （1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和） （2）常见的几种几何体的表面积的计算公式 ①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） ②圆锥体表面积：πr2+（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角） ③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） ④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长） 知识点2．几何体的展开图 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 知识点3．展开图折叠成几何体 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 知识点4．专题：正方体相对两个面上的文字 （1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象． （2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面． 知识点5．截一个几何体 （1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． （2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形． 知识点6．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点7．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 题型强化 题型一、已知三视图求边长 1．（2024·浙江金华·模拟预测）如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】已知三视图求边长、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体、勾股数的应用等知识点，根据左视图的形状，求得左视图的宽成为解题的关键． 根据主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，求得左视图为长方形，其长为6，再根据底面运用等面积法求得长方形的长即可． 【详解】解：如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3，4，5， ∴俯视图为直角三角形，且斜边为5， ∴斜边上的高为 ∴左视图为长方形，其长为6，宽为，即． 故选：Ａ． 2．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，是某圆锥的左视图，其中，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积、已知三视图求边长 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，三视图，根据三视图可知圆锥底面圆的直径为，母线长为，再根据圆锥的侧面积等于底面圆周长与母线长乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，圆锥底面圆的直径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 题型二、已知三视图求侧面积或表面积 3．（2021·浙江杭州·三模）一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm）如图所示，根据图中所示数据计算这个几何的表面积为（　　）cm2． A．2π B．3π C．4π D．5π 【答案】C 【知识点】已知三视图求侧面积或表面积 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积． 【详解】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥； 根据三视图知：该圆锥的母线长为3cm，底面半径为1cm， 故表面积=πrl+πr2=π×1×3+π×12=4πcm2． 故选：C． 【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，关键是根据圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积． 4．（2024·浙江宁波·一模）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为，则a的值是 ． 【答案】2 【知识点】已知三视图求侧面积或表面积 【分析】本题考查几何体的三视图复原几何体以及几何体的表面积的求法，根据三视图可知该正三棱柱底面等边三角形的高为，则底面等边三角形的边长为4，由此能根据该正三棱柱的表面积求得a的值． 【详解】解：∵由左视图知底面正三角形的高为， ∴底面正三角形的边长为4， ∴底面正三角形面积为， ∵这个正三棱柱的表面积为， ∴， ∴， 故答案为：2． 5．（九年级下·全国·单元测试）几何体的三视图相互关联．已知直三棱柱的三视图如图，在△PMN中，∠MPN=90°，PN=4，sin∠PMN= ． （1）求BC及FG的长； （2）若主视图与左视图两矩形相似，求AB的长； （3）在（2）的情况下，求直三棱柱的表面积． 【答案】（1）5，；（2）；（3）12+24． 【知识点】已知三视图求侧面积或表面积 【分析】（1）由图可知BC=MN，FG等于Rt△PMN斜边上的高，进一步由锐角三角函数与三角形面积公式求得答案即可；（2）利用相似的性质列出比例式，代入数值求得答案即可； （3）求出五个面的面积和得出答案即可． 【详解】（1）由图可知： BC=MN，FG=PM， ∵sin∠PMN==，PN=4， ∴BC=MN=5； ∵ ∴ ∴ （2）∵矩形ABCD与矩形EFGH相似，且AB=EF， ∴， 即， ∴AB=； （3）直三棱柱的表面积：×3×4×2+5×+3×+4×=12+24． 【点睛】本题考查了立体图形的三视图，锐角三角函数，相似的性质以及立体图形的表面积，解题的关键是根据三视图，找出边之间的关系，利用三角函数解决问题． 题型三、求小立方块堆砌图形的表面积 6．（2023九年级下·浙江·专题练习）如图是10个棱长为1的正方体摆放成的图形，则这个图形的表面积（　　） A．60 B．36 C．24 D．48 【答案】B 【知识点】求小立方块堆砌图形的表面积 【分析】分类计算各个方向的面积，再求面积之和即可． 【详解】解：正面有6个正方形，面积为：， 上面有6个正方形，面积为：， 右面有6个正方形，面积为：， ∴整个几何体的表面积为：． 故选：B． 【点睛】本题考查几何体的表面积，观察几何体特征，分类求各个方向的表面积是求解本题的关键． 7．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）将个棱长为1的正方体积木摆成一堆，则形成的几何体表面积最小是 ． 【答案】 【知识点】求小立方块堆砌图形的表面积 【分析】本题考查立体图形，熟练掌握立体图形表面积的计算方法是解题的关键，根据个棱长为1的正方体积木摆成一堆，当每个小正方体相互重合的面最多时表面积最小，即可得到答案． 【详解】解：将个棱长为1的正方体积木摆成一堆，如图， 此时几何体表面积最小， 表面积的最小值为：， 故答案为：． 题型四、求圆锥侧面积 8．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A．15 B．8 C． D． 【答案】C 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故选：C． 9．（22-23九年级下·浙江金华·开学考试）圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面积 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的底面周长为：， ∴圆锥侧面展开图的弧长为：， ∵圆锥的母线长， ∴圆锥侧面展开图的半径为：， ∴圆锥侧面积为： 故答案为：． 10．（九年级·浙江杭州·期中）如图，一个圆锥底面圆直径为6cm，高PA为4cm，请求出该圆锥的侧面积 (结果保留 )． 【答案】15cm2 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】利用圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2即可求得圆锥的侧面积． 【详解】解：由已知条件可得，AB=3 在Rt△PAB中，PB= ∴S侧=π×3×5=15π（cm2）． 答：这个圆锥的侧面积是15πcm2. 【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了扇形面积公式，圆的周长公式求解．解题的关键是熟练地应用公式． 题型五、求圆锥底面半径 11．（2024·浙江嘉兴·三模）已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B．1 C．π D．2 【答案】B 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故选：B． 12．（2024·浙江宁波·一模）若一个圆锥侧面展开图的半径为14cm，圆心角为，则该圆锥的底面半径长为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】此题考查扇形的弧长公式，根据圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径长为rcm， ∵圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长， ∴ 解得 故答案为． 13．（2020·浙江绍兴·一模）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点、、，若该圆弧所在圆的圆心为点，请你利用网格图回答下列问题： （1）圆心的坐标为_____； （2）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．    【答案】（1）；（2）该圆锥底面圆的半径长为． 【知识点】确定圆心(尺规作图)、求圆锥底面半径 【分析】（1）连接、，分别作、的垂直平分线，两直线交于点，则点即为该圆弧所在圆的圆心，进而即可求解； （2）根据网格结构，可得，，根据勾股定理的逆定理，可得，结合弧长公式与圆周长公式，即可求解． 【详解】（1）连接、，分别作、的垂直平分线，两直线交于点，则点即为该圆弧所在圆的圆心，可知点的坐标为． 故答案是：； （2）∵圆的半径长． ∴，， ， ． 设圆锥的底面圆的半径长为， ∴， 解得：， 答：该圆锥底面圆的半径长为．    【点睛】本题主要考查垂径定理以及弧长公式，掌握圆锥的底面周长与侧面扇形弧长的关系，是解题的关键． 题型六、求圆锥的高 14．（2021·浙江温州·三模）若某圆锥的侧面展开图是一个半圆，已知圆锥的底面半径为r，那么圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求圆锥的高 【分析】设圆锥母线长为R，由题意易得圆锥的母线长为，然后根据勾股定理可求解． 【详解】解：设圆锥母线长为R，由题意得： ∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，已知圆锥的底面半径为r， ∴根据圆锥侧面展开图的弧长和圆锥底面圆的周长相等可得：， ∴， ∴圆锥的高为； 故选C． 【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长计算公式，熟练掌握圆锥的特征及弧长计算公式是解题的关键． 15．（21-22九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知圆锥的底面半径为5，侧面积为65π，则圆锥的高 ． 【答案】12 【知识点】求圆锥的高 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】解：根据题意得，解得， 所以圆锥的高． 故答案为12． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为——扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 题型七、求圆锥侧面展开图的圆心角 16．（九年级·浙江金华·期末）一张半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，要求圆锥底面圆的半径为4cm，那么这张扇形纸片的圆心角度数是（  ） A．150° B．240° C．200° D．180° 【答案】B 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】直接利用圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长进而得出答案． 【详解】设这张扇形纸片的圆心角度数是n， 根据题意可得：=2×4π， 解得：n=240， 故选B． 【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，掌握圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长是解题关键． 17．（2023·浙江·一模）一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图扇形的圆心角等于 度． 【答案】120 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角是， 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 题型八、圆锥的实际问题 18．（2020·浙江·一模）某班设计小组想制作如图纸帽，使纸帽的高为，底面半径为，若小李用漂亮的彩纸做一顶这样的纸帽，则纸帽的外部面积为 ． 【答案】cm2． 【知识点】圆锥的实际问题 【分析】纸帽的外部面积就是圆锥侧面展开图的面积，所以计算侧面展开图的面积，问题即可求解． 【详解】解：纸帽底面圆的周长为： ∴侧面展开图的扇形的弧长为 ∵圆锥的母线长为：（cm） ∴圆锥侧面展开图的面积为：cm2 故答案为：cm2． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 19．（2024·浙江·模拟预测）一个圆锥形沙堆，底面周长是米，高米，用这堆沙在米宽的路上铺厘米厚的路面，能铺多长？ 【答案】米 【知识点】圆锥的实际问题 【分析】本题考查了求圆锥的体积；把一个圆锥形的沙堆铺到路面上，体积不变．用求出沙堆的体积(用周长求出底面的半径，再求底面积)；把沙子铺在路面上由圆锥变成长方体，这个长方体的横截面的面积为，把铺的长度看成高，据此可求铺的长度． 【详解】解：(立方米)，厘米米，(米) 答：能铺米． 题型九、圆锥侧面上最短路径问题 20．（2012·浙江台州·一模）如图，已知O为圆锥的顶点，MN为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M点出发，绕圆锥侧面爬行到N点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥侧面上最短路径问题 【详解】因为MN为圆锥底面的直径，展开后D图中MN即为直径，也为所爬过的最短路线的痕迹，故选D． 21．（20-21九年级·全国·课后作业）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图． 【答案】详见解析． 【知识点】圆锥侧面上最短路径问题 【分析】利用圆锥的性质，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段， 又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合， 如图所示： ． 【点睛】本题考查圆锥的性质，立意相对较新，考查了学生的空间想象能力，运用到两点间线段最短定理． 分层练习 一、单选题 1．圆锥的母线长为8cm，底面半径为6cm，则圆锥的侧面积是 (     ) A．96πcm2 B．60πcm2 C．48πcm2 D．24πcm2 【答案】C 【分析】根据圆锥的侧面积=×底面周长×母线长计算即可求解． 【详解】解：底面半径为6cm，则底面周长=12π， 侧面面积=×12π×8=48πcm2． 故选C． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积=×底面周长×母线长． 2．下列平面图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的特点分析侧面展开图的特点，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形； 又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，掌握常见几何体的展开图是解题的关键． 3．在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 1，以AC为轴旋转一周得一个圆锥，则这个圆锥的全面积等于（     ）； A．6π B．5π C．4π D．3π 【答案】A 【分析】利用勾股定理易得圆锥母线长，那么圆锥的全面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2． 【详解】由勾股定理易求得 ∵旋转后的圆锥母线为AB，长度为5，底面半径为BC，长度为1， 则底面圆的周长，即侧面展开图的弧长是2π. ∴圆锥的侧面积是： 圆锥的底面积是 ∴圆锥的全面积是5π+π=6π. 故选A. 【点睛】考查圆锥的全面积的计算，掌握圆锥全面积的计算方法是解题的关键. 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（    ） A．214° B．215° C．216° D．217° 【答案】C 【分析】由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数． 【详解】解：由圆锥的高为4，底面直径为6， 可得母线长， 圆锥的底面周长为：， 设圆心角的度数为n， 则， 解得：， 故圆心角度数为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题． 5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（    ） A．32 B． C．48 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三视图的表面积，勾股定理．根据题意可得几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，再根据勾股定理求出四棱锥的斜高，即可求解． 【详解】解：由三视图知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，如图所示， ∴四棱锥的斜高为， 故该四棱锥的表面积为． 故选B． 6．一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ 　　） A．9 B．18 C．27 D．39 【答案】B 【分析】设出圆锥的母线长和底面半径，用两种方式表示出圆锥侧面积，即可求得圆锥底面半径和母线长的关系，再利用勾股定理即可求得圆锥的母线长和底面半径，继而求得圆锥的侧面积． 【详解】设底面半径为r，母线长为R，则底面周长=2πr，即展开后的弧长为2πr， ∵展开后的侧面积为半圆， ∴侧面积为：πR2， ∴侧面积=×2πrR=πR2， ∴R=2r， 由勾股定理得，（2r）2=r2+（3）2， ∴r=3，R=6， ∴圆锥的侧面积=18π． 故选B. 7．如果一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为4的正三角形，俯视图是圆且中间有一点，那么这个几何体的表面积是（ ） A．8π B．12π C．4π D．8 【答案】B 【详解】解：由图片中的三视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且其底面圆半径为1，母线长为2， 因此它的表面积=π×2×4+π×22=12π． 故选B． 考点：1.由三视图判断几何体；2.圆锥的计算. 8．如图是某几何体的三种视图，其表面积为（   ） A．2π B．3π C．4π D．5π 【答案】B 【分析】利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的表面积即可． 【详解】解：由三视图可知几何体为底面半径为1，高为的圆锥，圆锥的母线长为． 所以所求几何体的表面积为：S侧＋S底＝π×1×2＋π×12＝3π， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力，掌握圆锥的表面积的计算方法是解题的关键． 9．正如我们小学学过的圆锥体积公式V=πr2h（π表示圆周率，r表示圆锥的地面半径，h表示圆锥的高）一样，许多几何量的计算都要用到π．祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确．在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少．现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹（小竹棍或小竹片）进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习． 下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于，则这个圆锥的高等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设母线长为R，底面圆半径为r，根据弧长公式、扇形面积公式以及圆锥体积公式即可求出圆锥的高 【详解】解：设母线长为R，底面圆半径为r，圆锥的高为h，由于圆锥的侧面展开图是个半圆 ∴侧面展开图的弧长为：=πR， ∵底面圆的周长为：2πr， ∴πR=2πr， ∴R=2r， ∴由勾股定理可知：h=r， ∵圆锥的体积等于， ∴=πr2h， ∴r=3， ∴h=． 故选：D． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练运用圆锥的相关计算公式，本题属于基础中等题型． 10．下列结论中： ①的内切圆的半径为r，的周长为L，则的面积是； ②有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为； ③圆内接平行四边形是矩形； ④二次函数，自变量的两个值，对应的函数值分别为，，若，则其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】①设内切圆的圆心为，将的面积分为三部分，进行求解，进行判断即可；②设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为R，先求出圆柱的高，再根据圆锥的侧面展开图是半圆，求出之间的数量关系，利用勾股定理进行求解即可；③根据圆内接四边形的对角互补，以及平行四边形的对角相等，即可进行判断；④根据函数解析式，确定抛物线的对称轴为：，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①如图： 的内切圆半径为r，的周长为L，则 ，故①正确； ②设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为R， 根据题意得， 则， ∵圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高， ∴， ∴， ∵， 即， 则， 即它的母线长是，故②正确； ③∵圆内接四边形的对角互补，平行四边形的对角相等， ∴圆内接平行四边形的每一个内角均为：，即圆内接平行四边形是矩形；故③正确； ④二次函数的对称轴是直线， 当时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， ∴； 当时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∴；综上：时，，故④正确． 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个， 故选A． 【点睛】本题考查三角形的内切圆，圆内接四边形，圆锥的侧面积以及二次函数的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 二、填空题 11．圆锥的侧面展开图是半圆 ,那么该圆锥的轴截面形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】设半圆的半径为R，圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到，那么，所以圆锥的母线长等于圆锥底面圆的直径，然后根据等边三角形的判定方法进行判断． 【详解】解：设半圆的半径为R ,圆锥的底面圆的半径为r， ∴， ∴， ∴圆锥的母线长等于圆锥底面圆的直径， ∴该圆锥的轴截面形状为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】此题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 12．一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图扇形的圆心角等于 度． 【答案】120 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角是， 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 13．如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】4 【分析】考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，熟练掌握弧长及圆的周长公式是解决本题的关键．求得扇形的弧长，进而求出圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：剪去圆周之后的圆周对应扇形的弧长为， ∴围成的圆锥底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， 故答案为4． 14．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，根据“圆锥的侧面积扇形面积”建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度， 侧面展开扇形的面积为：， 解得， 故答案为：． 15．如图，在中，，，将绕直线旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，勾股定理，面动成体，先利用勾股定理得到，再根据题意可得将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，据此根据圆锥侧面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥， ∴这个几何体的侧面积等于， 故答案为：． 16．扇形的圆心角是120°，面积是3π cm²，则扇形的弧长是 cm，将此扇形卷成一个圆锥，则底面圆的半径为 cm． 【答案】 2π 1 【分析】先根据扇形的面积公式即可求得半径，然后根据扇形的面积公式,即可求得弧长．利用圆的周长公式可以求出底面圆的半径． 【详解】解：设扇形的半径是rcm，则，解得：r=3cm， 设扇形的弧长是l，则，解得：l=2π（cm）， 将此扇形卷成一个圆锥，设底面圆的半径为Rcm，则2πR=2π，解得R=1， 故答案为2π，1． 【点睛】本题考查扇形的面积公式，弧长公式，以及圆锥展开图与底面圆的关系等知识，解题的关键是熟练掌握圆的公式，以及圆锥展开图和底面圆的关系． 三、解答题 17．如图是某几何体的三视图，其俯视图是边长为的菱形． (1)该几何体的名称是______； (2)请根据图中数据，计算该几何体的所有侧面的面积之和． 【答案】(1)四棱柱 (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的形状以及几何体侧面积的求解，注意计算的准确性． （1）由三视图即可判断； （2）由俯视图是菱形可知侧面是全等的矩形，据此即可求解． 【详解】（1）解：由三视图可知该几何体是四棱柱 故答案为：四棱柱 （2）解：∵四棱柱的底面是边长为的菱形， ∴侧面是全等的矩形， ∴四棱柱所有侧面的面积之和为． 18．如图是一个由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请你而出它从正面和从左面看到的形状图． （1）请画出它从正面看，左面看的形状图； （2）若小立方体边长为1．则它的表面积为　　． 【答案】（1）见解析；（2）44 【分析】（1）根据俯视图以及俯视图中每个位置所摆放的小立方体的个数，即可看画出其主视图和左视图； （2）根据三视图的面积以及被挡住的面继续计算即可． 【详解】解：（1）由俯视图，可以得出以下主视图、左视图： （2）（8+6+7）×2+2＝44， 故答案为：44． 【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图和简单组合体的表面积，画三视图时需要注意“长对正，宽相等，高平齐”． 19．如图所示是由大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中画出该几何体的主视图和俯视图．（用阴影部分表示） (2)若小立方块的棱长为1，则所搭成的几何体表面积是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)34 【分析】此题考查了作图-三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；俯视图决定底层立方块的个数． （1）从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1，从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为2，1，2，依此画出图形即可； （2）利用几何体的组成进而得出这个组合几何体的表面积． 【详解】（1） （2）这个组合几何体的表面积为：． 20．把边长为的10个相同正方体摆成如图所示的几何体．      (1)该几何体的体积是 ，表面积是 ； (2)在方格纸中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图∶    (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体 ，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体． 【答案】(1)10，38 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）该几何体的体积为10个棱长为的小正方体的体积和，表面积为所有露在外面面积为的正方形面积之和； （2）根据正视图，左视图和俯视图分别是从正面看，从左面看和从上面看到的图形进行求解即可； （3）求出保持俯视图和左视图同时不变时最多可以有多少个小正方体即可得到答案． 【详解】（1）解：该几何体的体积为：， 该几何体的表面积为：， 故答案为：10，38； （2）解：如图所示，即为所求；    （3）解：如图所示，左视图、俯视图分别不变，则视图中每个地方的小正方体个数如下图所示， ∴要同时保持左视图、俯视图同时不变，则最多可以有个小正方体， ∴最多可以再添加个小正方体， 故答案为：4．    【点睛】本题主要考查了画几何体的三视图，求几何体的体积和表面积，以及根据三视图判断小正方体的个数问题，解题的关键在于能够发挥空间想象能力进行求解． 21．已知下图为一几何体从三个方向看到的形状图： 从正面看：长方形从左面看：长方形从上面看：等边三角形 （1）写出这个几何体的名称； （2）任意画出它的一种表面展开图； （3）根据图中所给的数据，求这个几何体的侧面积． 【答案】（1）三棱柱；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由三视图可知，该几何体为三棱柱； （2）画出三棱柱的展开图即可； （3）根据三棱柱侧面积计算公式计算可得． 【详解】解：（1）由三视图可知，该几何体为三棱柱； （2）展开图如下： （3）这个几何体的侧面积为3×8×4=96cm2． 【点睛】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．注意：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱． 22．有一个顶部是圆锥，底部是圆柱的粮囤模型，如图是它的主视图. （1）画出该粮囤模型的俯视图； （2）若每相邻两个格点之间的距离均表示1米，请计算： ①在粮囤顶部铺上油毡，需要多少平方米油毡（油毡接缝重合部分不计）？ ②若粮食最多只能装至与圆柱同样高，则最多可以存放多少立方米粮食？（结果保留和根号） 【答案】（1）见解析；（2）①需要平方米油毡；②最多可以存放立方米粮食. 【分析】（1）根据三视图的画法画图即可. (2)根据圆锥侧面积计算公式即可解答. (3)根据圆柱体积计算公式即可解答. 【详解】解：（1） （2） 答：需要平方米油毡. （3）解： 答：最多可以存放立方米粮食. 【点睛】本题考查图形的三视图画法和圆锥侧面积计算公式、圆柱体积计算公式，掌握相关公式是解题关键. 23．如图，在单位长度为1的正方形网格中，经过格点A、B、C． (1)借助网格画出所在圆的圆心M的位置，并连接； (2)在平面直角坐标系中，圆心M的坐标为________；的半径为________（结果保留根号）； (3)若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是________． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】（1）连接，利用网格特点，作和的垂直平分线，根据垂径定理，它们的交点即为圆心M点； （2）利用（1）所画图形写出M点的坐标，然后利用勾股定理计算出的长得到圆的半径； （3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，设该圆锥的底面圆半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，据此求解即可． 【详解】（1）如图，点M为所作； （2）如图，圆心M的坐标为； ， 即的半径为； 故答案为：，； （3）该圆锥的底面圆半径为r， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， 根据题意得， 解得， 即该圆锥的底面圆半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了垂径定理和勾股定理及其逆定理． 24．如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体，并放在墙角．（注：图、图、图每一个小方格的边长为）   (1)该几何体主视图如图所示，请在图方格纸中画出它的俯视图； (2)若将其外面涂一层漆，则其涂漆面积为________．（正方体的棱长为） (3)用一些小立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体有几种？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？并在图方格纸中画出需要最多小立方块的几何体的左视图． 【答案】(1)见解析 (2) (3)这样的几何体有125种，它最少需要12个小立方块，最多需要18个小立方块，画图见解析 【分析】（1）由已知条件可知，俯视图有4列，每列小正方数形数目分别为2，2，1，1．据此可画出图形； （2）先求出露在外面的面数，再乘以1个面的面积即可求解； （3）每列都有5种情况，依此可求这样的几何体有几种，进一步得到它最少需要多少个小立方块，最多需要多少个小立方块，并在图5方格纸中画出需要最多小立方块的几何体的左视图即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2） ． 故答案为：17． （3）（种）． 故这样的几何体有种，它最少需要个小立方块，最多需要个小立方块， 最多小立方块的几何体的左视图如图所示： 【点睛】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 学科网（北京）股份有限公司 $$