7.6 用锐角三角函数解决问题（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

7.6 用锐角三角函数解决问题（1） 第1课时　与坡度、坡角有关的问题 学习目标 1.了解坡度、坡角的概念； 2.能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题． 2 问题情境 锐角三角函数揭示了直角三角形的边与角的关系，怎样利用锐角三角函数的相关知识解决实际问题呢？ 已知一段公路的坡度为1 : 26，沿着这条公路每前进100 m上升的高度是多少？ 问题情境 什么是坡度？ 4 概念学习 坡度是指斜坡上任意一点的铅直高度h与水平宽度l的比，记作 i . 铅直高度h 水平宽度l 即i＝h : l，坡度又称坡比 . i＝h : l 注意：坡度是比值，不是角度. A B C 5 概念学习 铅直高度h 水平宽度l i＝h : l A B C 坡角α 坡度等于坡角的正切值. i＝h : l＝＝tanα 思考：坡角和坡度之间有什么关系呢？ 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡． 6 已知一段公路的坡度为1 : 26，沿着这条公路每前进100 m上升的高度是多少？ 新知应用 A B C 你能建立数学模型解决这个问题吗？ 7 已知一段公路的坡度为1 : 26，沿着这条公路每前进100 m上升的高度是多少？ 新知应用 A B C 解：如图，由题意得，AC : BC＝1 : 26， ∴BC＝26AC. 根据勾股定理得， ＋＝， ＝， 用计算器计算，得AC≈3.8 . 答：沿着这条公路每前进100 m上升的高度约为3.8m . 8 新知巩固 (1)斜坡的坡度iAB＝1:，则坡角α ＝_____度； (2)斜坡的坡角α是45°，则坡度是_______； (3)斜坡AB长是10m，坡高为5m，则斜坡AB的坡度iAB＝________； (4)斜坡的坡度iAB＝1：3，AB＝m，则坡高为______. 30 1 : 1 1: α l h A B C 2m 9 问题1 如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD坡度i（即tanB）＝1:1.2，坝顶DC＝2.5m，坝高4.5m . 例题讲解 D B A C (1) 背水坡AD的坡角β(精确到0.1°)； β α＝30° 10 F 问题1 如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD坡度i（即tanB）＝1:1.2，坝顶DC＝2.5m，坝高4.5m. 例题讲解 D B A C (1) 背水坡AD的坡角β(精确到0.1°)； β 解：作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分 别为E、F. (1)背水坡AD坡度i＝tanB＝1:1.2＝. 用计算器计算，得β≈39.8°. E α＝30° 11 F 问题1 如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD坡度i（即tanB）＝1:1.2，坝顶DC＝2.5m，坝高4.5m. 例题讲解 D B A C (2) 坝底AB的长(精确到0.1m). β E (2) 在Rt△BEC中， α＝30°，∠BCE＝90°－30°＝60°， EB＝CE ∙ tan∠BCE＝4.5×tan60°. 在Rt△AFD中， ∵＝， ∴AF＝1.2DF＝1.2×4.5＝5.4. 又∵FE＝DC＝2.5， ∴AB＝AF＋FE＋EB＝5.4＋2.5＋4.5×tan60°≈15.7. 答：背水坡AD的坡角约为39.8°，坝底AB的长约 为15.7m. α＝30° 12 G 拓展与延伸 在问题1中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶DC加宽0.5m，背水坡AD的坡度改为1:1.4. 已知堤坝的总长度为5km，求该项工程所需的土方 (精确到0.1m3). F D B A C β E α＝30° N M 13 拓展与延伸 在问题1中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶DC加宽0.5m，背水坡AD的坡度改为1:1.4. 已知堤坝的总长度为5km，求该项工程所需的土方 (精确到0.1m3). G F D B A C β E α＝30° N M 解：在Rt△MNG中， ∵＝1:1.4， ∴NG＝1.4MG＝1.4×4.5＝6.3. 又∵GF＝MD＝0.5， ∴ AN＝NG＋GF－AF＝6.3＋0.5－5.4＝1.4. ∴ S梯形MNAD＝(DM＋AN)×MG ＝×(0.5＋1.4)×4.5＝4.275m3. ∴所需的土方＝4.275×5000＝21375m3. 答：该项工程所需的土方为21375m3. 14 归纳与总结 表达式：tanα＝，tanβ＝ 关于堤坝问题的基本图形如图： BC＝BE＋EF＋FC＝BE＋AD＋FC＝h()＋AD. β α E F h D B C A 15 归纳与总结 利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程： (1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图，将其转化为解直角三角形的问题)； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 16 新知巩固 1. 在坡道两旁种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)为6m，测得坡道的坡度为1 : 3.5. 求相邻两树间的坡道距离(精确到 0.1 m). 6m B A C 1:3.5 h 解：∵ iAB＝h : 6＝1 : 3.5， ∴h≈1.71m. 由勾股定理得， AB＝≈6.2m. 答：相邻两树间的坡道距离为6.2m. 17 新知巩固 2. 如图，小明从点A出发，沿着坡角为10°的坡道向上走了120m到达点B，再沿着坡角为15°的坡道向上走了160m到达点C. 问小明沿垂直方向升高了多少(精确到0.1m)？ E F 解：∵在Rt△AEB中，∠A＝10°， BE＝AB ∙ sinA＝120×sin10°. 在Rt△BFC中，∠CBF＝15°， CF＝BC ∙ sin∠CBF＝160×sin15°. ∴CD＝CF＋DF＝CF＋BE ＝120×sin10°＋160×sin15°≈62.2m. 答：小明沿垂直方向升高了62.2m. 18 新知巩固 3. 为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3 : 4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长. (结果精确到0.1米，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32) 18° E F D B C A 3 : 4 20米 解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E. 由题意，得AF⊥BC，DE＝AF. ∵斜面AB的坡度i＝3 : 4， ∴AF: BF＝3 : 4， ∴设AF＝3x米，则BF＝4x米. 在Rt△ABF中， AB＝＝5x(米). 在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米， ∴DE＝CD·sin18°≈20×0.31＝6.2(米)， ∴AF＝DE＝6.2米， ∴3x＝6.2，解得x＝， ∴AB＝5x≈10.3米. 19 坡度、坡角的概念 构造直角三角形解决与坡度、坡角有关的实际问题 课堂总结 坡度、坡角的关系 当堂检测 基础过关 1. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约(sin37°≈0.6， cos37°≈0.8，tan37°≈0.75) ( ) A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 D B C A 21 当堂检测 基础过关 2. 如图，小明沿斜坡AB上行40 m，其上升的垂直高度CB为20 m，则斜坡AB的坡度是(　　) A. 30° B. C. D. C B C A 22 当堂检测 基础过关 3. 某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1 : 3，堤坝高BC＝50 m，则AB＝______m. 100 23 当堂检测 基础过关 4. 如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，坝底宽BC约为_________m. 25.1 24 当堂检测 基础过关 5.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m，坡角∠ABD=30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB=15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 答：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2 m. 解：在Rt△ABD中， ∵∠ABD＝30°，AB＝10 m， ∴ AD＝AB·sin∠ABD＝10×sin30°＝5(m). 在Rt△ACD中， ∵∠ACD＝15°，sin∠ACD＝， ∴ AC＝ADsin∠ACD＝5sin15°≈50.26≈19.2(m). 25 当堂检测 基础过关 6. 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1 : 3，斜坡CD的坡度i＝1 : 2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)； A D B C i＝1:2.5 23 6 α 解： 斜坡CD的坡度 i＝tanα＝1 : 2.5＝0.4， 由计算器可算得α≈22°. 故斜坡CD的坡角α为22°. i＝1:3 26 当堂检测 基础过关 (2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m). A D B C i＝1:2.5 23 6 α E F i＝1:3 解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD， 垂足分别为点E、 F，由题意可知， BE＝CF＝23m，EF＝BC＝6m. 在Rt△ABE中， ∴ AE＝3BE＝3×23＝69(m). ∵ i＝＝， 27 当堂检测 基础过关 在Rt△DCF中，同理可得 i＝＝ ， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m. FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m) ∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m) AB＝ ≈72.7(m) A D B C i＝1:2.5 23 6 α E F i＝1:3 28 当堂检测 能力提升 1. 如图，在平地MN上用一块10 m长的木板AB搭了一个斜坡，两根支柱AC＝7.5 m，AD＝6 m，其中AC⊥AB，AD⊥MN，则斜坡AB的坡度是 (　　) A. 3∶5        B. 4∶5       C. 3∶4        D. 4∶3 C 29 当堂检测 能力提升 2. 如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连(彩带拉紧). 若AB＝10米，则旗杆BC的高度为 (　　) A. 5米            B. 6米         C. 8米          D. (3＋)米 A 30 当堂检测 能力提升 3. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长(参考数据：sin37°≈0.6， cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)_____米. 1 31 当堂检测 能力提升 4. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为_________米. 6＋ 32 当堂检测 能力提升 5. 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1:1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1:．(1)求新坡面的坡角α； D 1:1 P M B C A 1: 解：(1)∵新坡面的坡度为1:， ∴tan∠CAB＝ ∴∠CAB＝30°. 答：新坡面的坡角α为30°. 33 当堂检测 能力提升 D 1:1 P M B C A 1: (2) 原天桥底部正前方8米处 (PB的长) 的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由． (2)文化墙PM不需要拆除. 作CD⊥AB于点D，则CD＝6， ∵坡面BC的坡度为1:1，新坡面的坡度为1:， ∴BD＝CD＝6，AD＝6， ∴AB＝AD－BD＝6－6＜8. ∴文化墙PM不需要拆除. 34 当堂检测 能力提升 6. 为了灌溉农田，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1∶0.8的渠道(其横断面为等腰梯形)，并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加0.6米(如图所示)．求：(1)渠面宽EF； 解：(1)如图，在横断面的示意图中，过点B作BG⊥EF, 垂足为G，交AD于点H. ∵点B到EF的垂直距离BG＝1.2＋0.6＝1.8(米)，坡度为1:0.8， 即＝， ∴EG＝0.8BG＝0.8×1.8＝1.44(米)， ∴EF＝BC＋2EG＝2＋1.44×2＝4.88(米)． G H 35 当堂检测 能力提升 6. 为了灌溉农田，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1∶0.8的渠道(其横断面为等腰梯形)，并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加0.6米(如图所示)．求：(2)修200米长的渠道需挖的土方数． G H (2)S梯形ABCD＝(AD＋BC)·BH ＝×[(2＋2×1.2×0.8)＋2]×1.2 ＝3.552(米2)， ∴修200米长的渠道需挖的土方数为200×3.552＝710.4(米3). 36 2021 Blues 4800.0 $$