辽宁省沈阳市浑南区广全实验学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

1 沈阳市浑南区广全实验学校 2023—2024学年度下学期第一次月考高二试题 数 学 命题人：张绍良 审核人：数学教研组 满分 150分 考试用时 120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。本试卷满分 150分。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分） 1．已知数列 1 3 ， 2 5 ， 3 7 ， 4 9 ， 5 11 ，···，按照这个规律，这个数列的第 211项为（ ） A． 211 424 B． 211 423 C． 211 421 D． 211 420 2．在等差数列{an}中，a4+a8=20，a7=12，则 a4=（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．已知数列{an}是以 a1为首项，q为公比的等比数列，则“a1(1−q)>0”是“{an}是单调递减数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知{an}是以 q为公比的等比数列，a3−a1=2，a6−a4=16，则 q=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知数列{an}的前 n项和为 Sn，若 Sn=n2−4n，则 a4=（ ） A．0 B．1 C．3 D．−3 6．若直线 l：y=2x+4与抛物线 C：y2=2px (p>0)只有 1个公共点，则 C的焦点 F到 l的距离为（ ） A． 5 B． 2 5 C．3 5 D． 4 5 7．已知 1 2 n x x      的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（ ） A． 1 235 8 x B． 7 27x C． 235 8 x D． 27x 8．已知数列{an}满是 1 1 10 a  ，an−an+1=an·an+1 (n∈N*)，则 1 n n na  的最小值为（ ） A． 37 2 B． 39 2 C．16 D．18 二、多项选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分） 9．已知等差数列{an}的公差为 d，前 n项和为 Sn，且 S9=S10<S11，则（ ） A．a10=0 B．d<0 C．S8<S9 D．S18<0 10．若椭圆 C： 2 2 2 11 x y m m    的一个焦点坐标为(0,1)，则下列结论中正确的是（ ） A．m=2 B．椭圆 C的长轴长为 3 C．椭圆 C的短轴长为 2 2 D．椭圆 C的离心率为 3 3 11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许 多类，如图 1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图 2，图形中黑色小点个数：1，4，9， 16，…称为正方形数，记三角形数为数列{an}，正方形数为数列{bn}，则（ ） A．a5=15 B．b5=20 C．b10=a10+45 D． ( 1) 2n n na  三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分） 12．一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的 种数为 ． 13．对于数列{an}，定义{an}的“优值”为 1 1 22 2 n n n a a aH n      ．若{an}的“优值”Hn=2n，则 an= ． 14．过圆 C：(x−1)2+(y−2)2=25内一点 P(1,5)的 2023条弦恰好可以构成一个公差为 d (d>0)的等差数列，则公差 d 的最大值为 ． 2 四、解答题（本题共 5小题，共 77分） 15．（本题 13分）已知在等差数列{an}中，a5=3，a9=−5． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{an}的前 n项和 Sn，则当 n为何值时 Sn取得最大，并求出此最大值． 16．（本题 15分）为了防止注册账号被他人非法登录，某系统在账号登录前，要先输入一个验证码．当连续 3次 输入错误验证码时，该用户账号将被冻结，需本人持有效证件进行解冻．已知该系统登入设置的每个验证码由有 序数字串 abcd组成，其中 a，b，c，d∈{0，1，2，3}，某人非法登录一个账号，任选一组验证码输入，直到输 入正确的验证码或账号被冻结． （1）求这个人第一次输入的验证码恰有两位正确的概率； （2）设这个人输入验证码的次数为 X，求 X的分布列和期望． 17．（本题 15分）在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司 A：第一年月工资 3000元，以后每 年的月工资比上一年的月工资增加 300元；公司 B：第一年月工资 3720元，以后每年的月工资在上一年的月工 资基础上递增 5%，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． （1）若此人选择在一家公司连续工作 n年，第 n年的月工资是分别为多少？ （2）若此人选择在一家公司连续工作 10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（参考数据：1.0510=1.6） 18．（本题 17分）如图，四棱锥 P−ABCD中，底面 ABCD为正方形，PD⊥平面 ABCD，PD=AD=2，点 E，F，G 分别为 PC，PD，BC的中点． （1）求证：PA⊥EF； （2）求平面 DFG与平面 EFG的夹角的余弦值． 19．（本题 17分）数列{an}满足 a1=1，a2=4，an+2−2an+1+an=2． （1）求 a3，a4； （2）证明：数列{an+1−an}是等差数列； （3）若 1 2n n b a n   ，求数列{bn}的前 n项和 Tn．