第14讲 二次函数的应用（课件）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第三章 函数 第14讲 二次函数的应用 2025年中考 一轮复习讲练测 数学 考点精讲+专训 11大题型探究 目录 01 考情透视·目标导航 02 知识导图·思维引航 03 考点突破·考法探究 04 题型精研·考向洞悉 01 考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 二次函数的实际应用-图形面积问题 二次函数的实际应用-利润最值问题 二次函数的实际应用-其他问题 ★★ ★★ 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义； 能解决相应的实际问题. 【考情分析】二次函数的实际应用多以解答题形式出现，难度中等，考查类型包括销售问题，拱桥、投篮等抛物线型问题. 一般需要根据题目条件列出二次函数关系式，再利用其性质确定最大利润/最大面积等. ★★ 02 知识导图·思维引航 03 考点突破·考法探究 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 2 设 找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3 例 用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 审题，仔细审题，理清题意； 1 审 依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 4 解 检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论 5 检 1.用二次函数解决实际问题的一般步骤 【注意】 03 考点突破·考法探究 2. 利用二次函数解决实际问题的常见类型 常见的问题 求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、 涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等 1.正确地建立模型 2.选择合理的位置建立平面直角坐标系 第一步：用待定系数法求出函数表达式 第二步：利用函数性质解决问题. 解决问题关键 解决问题思路 04 题型精研·考向洞悉 最大利润问题 题型01 方案选择问题 题型02 行程问题 题型03 拱桥问题 题型04 隧道通车问题 题型05 喷水问题 题型06 投球问题 题型07 利用图像构建函数模型解决问题 题型08 图形最大面积问题 题型09 图形问题 题型10 图形运动问题 题型11 7 题型精研·考向洞悉 ►题型01 最大利润问题 方法技巧 利润问题主要涉及两个等量关系: 利润=售价-进价， 总利润=单件商品的利润x销售量， 利用二次函数解决利润最值的方法： 在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 题型精研·考向洞悉 ►题型01 最大利润问题 【例1】 （2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 方法指导 解题的关键： ٭（1）利用待定系数法求解即可； ٭ （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式， ٭ （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式 题型精研·考向洞悉 ►题型01 最大利润问题 【例1】 （2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； 方法指导 解题的关键： ٭（1）利用待定系数法求解即可； ٭ （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式， ٭ （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式 解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得 解得 ∴y与x的函数表达式为 题型精研·考向洞悉 ►题型01 最大利润问题 【例1】 （2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 方法指导 解题的关键： ٭（1）利用待定系数法求解即可； ٭ （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式， ٭ （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 = = ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 题型精研·考向洞悉 ►题型01 最大利润问题 【例1】 （2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 方法指导 解题的关键： ٭（1）利用待定系数法求解即可； ٭ （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式， ٭ （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式 (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 = ， ∴当时， 有最大值， 最大值， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为： ,舍去， ∴m的值为2． ， 题型精研·考向洞悉 ►题型01 最大利润问题 【例2】 （2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 方法指导 解题的关键： ٭二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式 ٭ （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式 ٭ （2）令y=12160，得到关于x的一元二次方程 题型精研·考向洞悉 ►题型01 最大利润问题 【例2】 （2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 方法指导 解题的关键： ٭二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式 ٭ （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式 ٭ （2）令y=12160，得到关于x的一元二次方程 （1）解：由题意，得： =； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴ = ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大， 最大= 元； ∴ 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； 题型精研·考向洞悉 ►题型01 最大利润问题 【例2】 （2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 方法指导 解题的关键： ٭二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式 ٭ （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式 ٭ （2）令y=12160，得到关于x的一元二次方程 当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴ （辆）； 解：由（1）得y= 答：这天售出了64辆轮椅． 15 题型精研·考向洞悉 ►题型01 最大利润问题 1.（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求两种客房每间定价分别是多少元？ （1）解：设种客房每间定价为元， B种客房每间定价为为元， 由题意可得 解得 (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 答：种客房每间定价为元， 种客房每间定价为为元； （2）解：设种客房每间定价为元 ， ∵， ∴当时，取最大值，元， 答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 题型精研·考向洞悉 ►题型01 最大利润问题 2.（2023·辽宁营口·中考真题）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价． (1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ （1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 元， 答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元. 题型精研·考向洞悉 ►题型01 最大利润问题 2.（2023·辽宁营口·中考真题）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价． (1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大， 根据题意得出： ， 整理得：， 根据二次函数的性质得出： 当时，利润最大， 每瓶进价是24元 ， 答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元． 题型精研·考向洞悉 ►题型02 方案选择问题 【例1】 （ （2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1   正   1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1   正   1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 题型精研·考向洞悉 ►题型02 方案选择问题 【例1】 （ （2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 方法指导 解题的关键： ٭次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解 ٭任务1利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式 ٭ 任务2根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100-2(x-10)] ٭任务3：根据任务2结果化为顶点式 【例1】 （ （2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 题型精研·考向洞悉 ►题型02 方案选择问题 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1   正   1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 解：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务1： 等量关系：“正”服装总件数和“风”服装相等 【例1】 （ （2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 题型精研·考向洞悉 ►题型02 方案选择问题 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1   正   1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 解：根据题意得 ： =-2 ²+120 =48 =48×（）=-16 +1120 ∴ 任务2： “雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元； 如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． = 【例1】 （ （2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 题型精研·考向洞悉 ►题型02 方案选择问题 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1   正   1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 解：由任务2得 ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 任务3： = 题型精研·考向洞悉 ►题型02 方案选择问题 1.（2022·湖南湘潭·中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ （2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得， 两块矩形总种植面积=BC×DC 即y=x·(21-3x) ∴y=-3x2+21x=-3(x-)2+ （1）解：两块篱笆墙的长为12m， 篱笆墙的宽为 AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m， 设CG为am，DG为(12-a)m，∴AD×DC-AE×AH=32 即12×3-1×（12-a）=32 解得：a=8 ∴CG=8m，DG=4m． ∵21-3x≤12 ∴x≥3 ∴当BC=m时，y最大=m2． 24 题型精研·考向洞悉 ►题型02 方案选择问题 2.（2024·湖北宜昌·模拟预测）某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件． (1)求该商品原来的进价； (2)在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润为2000元，且销售量尽可能大时，该商品的售价是多少元/件？ (3)在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案． 方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． （1）解：设该商品原来的进价为元． 由题意：， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：该商品原来的进价为20元； （2）解：设提价元，根据题意得： ， 解得或5， 销量尽可能大， ， 商品的售价是每件30元； 题型精研·考向洞悉 ►题型02 方案选择问题 2.（2024·湖北宜昌·模拟预测）某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件． (3)在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案． 方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． （3）解：设提价元，由题意得： ； ， 抛物线对称轴是直线，开口向下， 对称轴左侧随的增大而增大， 对称轴右侧随的增大而减小， 方案：根据题意得，，则， 当时，利润最大， （元， 原来的进价为20元 方案：根据题意得，， 解得：， 则， 故当时，利润最大， （元， ， 综上所述，方案最大利润更高． 解题的关键： ٭掌握二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征 ٭利用待定系数法，根据条件准确得到表达式 题型精研·考向洞悉 ►题型03 行程问题 【例1】 （2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为． (1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）， (2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s． ①当时，求出此时龙舟划行的总路程， ②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）． 方法指导 题型精研·考向洞悉 ►题型03 行程问题 【例1】 （2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为． (1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）， （1）解：把代入 得， 解得， 启航阶段总路程关于时间的函数表达式 ； 题型精研·考向洞悉 ►题型03 行程问题 【例1】 （2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为． (2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s． ①当时，求出此时龙舟划行的总路程， ②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时， 视为达标，请说明该龙舟队能否达标； （2）①设，把代入， 得， 解得， ． 当时，． 当时，龙舟划行的总路程为． ②， 把代入， 得． ， 该龙舟队能达标． 题型精研·考向洞悉 ►题型03 行程问题 【例1】 （2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为． (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）． （3）加速期：由（1）可知， 把代入， 得． 函数表达式：， 把代入 ， 解得． （1） ， ． 答：该龙舟队完成训练所需时间为． 题型精研·考向洞悉 ►题型03 行程问题 1.（2024·广西南宁·三模）根据物理学知识可知，物体匀加（减）速运动时的路程平均速度时间t．，其中是开始时的速度，是t秒时的速度．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)直接写出钢球在斜面滚动t秒时的速度． (2)求钢球在斜面滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式． (3)如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ (4)在（3）的条件下，钢球从斜面顶端滚到底端后，继续在水平地面上滚动，速度每秒减少，求钢球静止时在水平地面上滚动的路程． （1）解：∵速度每秒增加 ∴； （2）解：∵ 由题意得， ∴ 题型精研·考向洞悉 ►题型03 行程问题 1.（2024·广西南宁·三模）根据物理学知识可知，物体匀加（减）速运动时的路程平均速度时间t．，其中是开始时的速度，是t秒时的速度．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (3)如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ (4)在（3）的条件下，钢球从斜面顶端滚到底端后，继续在水平地面上滚动，速度每秒减少，求钢球静止时在水平地面上滚动的路程． （4）解： 当时，即 解得： 将代入得： ． ∴钢球静止时在水平地面上滚动的路程为． （3）解：把代入 得 :． 解得， ∵， ∴ 答：钢球从斜面顶端滚到底端用时2秒； 题型精研·考向洞悉 ►题型03 行程问题 2.（2024·浙江嘉兴·一模）汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离与刹车时间的速度有以下关系式：（a，b为常数，且）．某车辆测试结果如下：当车速为时，刹车距离y为；当车速为，刹车距离y为． (1)求出a，b的值； (2)行车记录仪记录了该车行驶一段路程的过程，汽车在刹车前匀速行驶了，然后刹车直至停下．测得刹车距离为，问：记录仪中汽车行驶路程为多少米？ （1）解：由题意，把=时，y=； ，y=代入得： （2）解：由（1）得：， 当时，由 得，（舍去）， ， ∴记录仪中汽车行驶路程为255米． 解得，； 题型精研·考向洞悉 ►题型04 拱桥问题 方法技巧 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： （1）建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题， （2）根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题. 题型精研·考向洞悉 ►题型04 拱桥问题 【例1】 （2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 解题的关键： ٭掌握二次函数的应用，（1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入 ٭（2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为 方法指导 题型精研·考向洞悉 ►题型04 拱桥问题 【例1】 （2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； （1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； 题型精研·考向洞悉 ►题型04 拱桥问题 【例1】 （2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (2)点E在缆索上，，且，，求的长． （2）解：由（1）得缆索 ∵所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴=40m或=60m ， ∵<OD， ∴的长为40m ． 题型精研·考向洞悉 ►题型04 拱桥问题 1.（2024·贵州黔南·模拟预测）贵州都匀是一座以河为伴、山水交融的“山水桥城”，大大小小的桥梁随处可见，被誉为“桥梁博物馆”．都匀市某石拱桥如图1，拱桥截面可视为抛物线的一部分，若拱顶到水面的距离为，水面宽度为，以水面与桥截面左侧的交点为原点，水面为横轴建立平面直角坐标系（如图2）． (1)求桥拱所在抛物线的函数解析式． (2)若水位下降，有一只宽为，高为的清洁船能否顺利通过该石拱桥？请说明理由． (3)某相关部门要对石拱桥进行维护，为了安全，现将一块三角形形状的安全围布通过平移后遮住桥体（如图3）．已知，，且，．若安全围布向桥拱所在抛物线方向平移个单位长度后，桥体全部在安全围布内部（不包括边界），求的取值范围． 题型精研·考向洞悉 ►题型04 拱桥问题 1.（2024·贵州黔南·模拟预测）贵州都匀是一座以河为伴、山水交融的“山水桥城”，大大小小的桥梁随处可见，被誉为“桥梁博物馆”．都匀市某石拱桥如图1，拱桥截面可视为抛物线的一部分，若拱顶到水面的距离为，水面宽度为，以水面与桥截面左侧的交点为原点，水面为横轴建立平面直角坐标系（如图2）． (1)求桥拱所在抛物线的函数解析式． (2)若水位下降，有一只宽为，高为的清洁船能否顺利通过该石拱桥？请说明理由． （1）解：由题意得：， 将代入上式得： ， 则， 则抛物线的表达式为： ； （2）解：可以，理由： 当船从桥的正中间经过时， 即，， 当水面下降1米时，水面距离桥的距离: （米）米， 故清洁船能顺利通过该石拱桥； 水位 题型精研·考向洞悉 ►题型04 拱桥问题 (3)某相关部门要对石拱桥进行维护，为了安全，现将一块三角形形状的安全围布通过平移后遮住桥体（如图3）．已知，，且，．若安全围布向桥拱所在抛物线方向平移个单位长度后，桥体全部在安全围布内部（不包括边界），求的取值范围． （3）解：过点作于点，在中， ∵，． 设，则， 则，则， 即，则， 如图3，则点、的坐标分别为： 、， ∴直线的表达式为： ， 当向左平移个单位和抛物线相切时， 则平移后的的表达式为： ， 联立上式和抛物线的表达式为： ， 则， 解得：； 由点、的坐标得， 设的表达式为 把、， 的表达式为：， 当向左平移个单位和抛物线相切时， 则平移后的的表达式为： ， 联立上式和抛物线的表达式为： ， 则 ， 解得：； 故． 题型精研·考向洞悉 ►题型05 隧道通车问题 【例1】 （2024·陕西西安·模拟预测）如图①，是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面． (1)以点为原点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系．求抛物线的表达式； (2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 ； (3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度． 解题的关键： ٭（1）根据题意得顶点D(6,8)，B(0,2)进而待定系数法求解析式 ٭（2）根据平移的性质可得所求区域为边长为矩形的面积 方法指导 题型精研·考向洞悉 ►题型05 隧道通车问题 【例1】 （2024·陕西西安·模拟预测）如图①，是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面． (1)以点为原点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系．求抛物线的表达式； （1）解：又∵OA=12m，AC=2m ∴B(0,2),-6≤x≤6，顶点D(6,8) 设抛物线解析式为y= (x-6)²+8 ∴2=36 +8 解得： =- ∴抛物线解析式为：y=- (x-6)²+8 (6,8) (0,2) (2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 ； （2）将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域 ∴贴黄黑立面标记的区域的面积为 题型精研·考向洞悉 ►题型05 隧道通车问题 【例1】 （2024·陕西西安·模拟预测）如图①，是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面． (3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度． （3）由题意，∵车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，令x=2， ． 又（米）， ∴该隧道车辆的限制高度为5米． y=- (x-6)²+8 2 题型精研·考向洞悉 ►题型05 隧道通车问题 1.（2024·湖北荆州·二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； 题型精研·考向洞悉 ►题型05 隧道通车问题 1.（2024·湖北荆州·二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （1）解：依题意：抛物线形的公路隧道， 其高度为米，宽度为米，现在点为原点， ∴点，顶点， 设抛物线的解析式为． 把点，点代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为 ，， 自变量x的取值范围为：； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明； （2）解：当时， ， 能同时并行两辆宽米、高5米的特种车辆． 题型精研·考向洞悉 ►题型05 隧道通车问题 1.（2024·湖北荆州·二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． （3）解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 设， 则   ∴ ∵， ∴当时，l有最大值， l最大值=． 答：三根木杆的长度和的最大值是米． 题型精研·考向洞悉 ►题型05 隧道通车问题 2.（2023·广东深圳·模拟预测）按要求解答 (1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？ (2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系． ①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示） ②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米． ③已知人行道台阶高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由． 题型精研·考向洞悉 ►题型05 隧道通车问题 2.（2023·广东深圳·模拟预测）按要求解答 (1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？ (2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系． （1）解：设原计划每天修x米 则根据题意可得： 解得：或 经检验，是分式方程的解． 答：原计划每天修20米． ①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示） 解：①根据题意可得： 设抛物线的函数表达式为 解得 ∴抛物线的函数表达式： 题型精研·考向洞悉 ►题型05 隧道通车问题 (2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系． ②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米． ②∵车的宽度为4米，车从正中通过， ∴令时，， ∴货车安全行驶装货的最大高度为（米）． ③已知人行道台阶高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由． ③如图：由高均为0.3米， 则点G的纵坐标为0.3， 令，代入得： ， 解得：（舍弃负值） ∴人行道台阶的宽度为： ∴人行道宽度设计达标． 题型精研·考向洞悉 ►题型06 喷水问题 【例1】 （2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据： 解题的关键： ٭抛物线的实际应用．熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质 方法指导 题型精研·考向洞悉 ►题型06 喷水问题 【例1】 （2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据： 解：如图，建立平面直角坐标系 由题意知：，， ∵抛物线的最高点B， ∴设抛物线的解析式：， 把代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式： ， 令，则 ， 解得：， ∴， ∴ (米)， 答：步行通道的宽的长约为3.2米． 51 题型精研·考向洞悉 ►题型06 喷水问题 1.（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． （2）由， 令，得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． （1）解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为 ， 将点代入，得 ， 解得， 抛物线的解析式为， 题型精研·考向洞悉 ►题型06 喷水问题 2.（2024·广西南宁·三模）美丽邕城四季常青，这与南宁市重视城市绿化密不可分，市区很多公园广场都安装有绿地喷淋系统．现准备在某草坪上安装一个自动喷水装置，其示意图如图1，喷水装置喷射出来的水流可以近似的看成抛物线，点A、M在抛物线上，A为出水口，M为水流与地面的交点．如图2，若水流距离地面的高度y（单位m）与水流距离出水口的水平距离x（单位m）之间具有函数关系：． (1)自动喷水装置喷水口距离地面的高度_____m； (2)如图1，该自动喷水装置能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，求它能喷灌的草坪面积（结果保留π）； (3)如图3，若喷水口正后方1米处有一条人行步道l，为行人安全，水流不能喷溅到步道上，请通过计算说明喷水装置安装位置是否合理？ (1)自动喷水装置喷水口距离地面的高度_____m； (2)如图1，该自动喷水装置能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，求它能喷灌的草坪面积（结果保留π）； (3)如图3，若喷水口正后方1米处有一条人行步道l，为行人安全，水流不能喷溅到步道上，请通过计算说明喷水装置安装位置是否合理？ 题型精研·考向洞悉 ►题型06 喷水问题 （1）解：当时，代入得： ， （2）当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 答：它能喷灌的草坪面积为； （3）连接，过O作于点D， 则， ， 在中，， ∴， ∴喷水装置安装位置不合理． 题型精研·考向洞悉 ►题型07 投球问题 【例1】 （2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 方法指导 解题的关键： ٭掌握二次函数的应用，利用数形结合与方程思想（1）利用待定系数法求解 ٭（2）配成顶点式，利用二次函数的性质 ٭（3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明△OBD∽△OAE，利用相似三角形的性质 （1）解：∵点是抛物线上的一点， 把点代入中， 得：， 解得， ∴抛物线的解析式； 题型精研·考向洞悉 ►题型07 投球问题 【例1】 （2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 方法指导 解题的关键： ٭掌握二次函数的应用，利用数形结合与方程思想（1）利用待定系数法求解 ٭（2）配成顶点式，利用二次函数的性质 ٭（3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明△OBD∽△OAE，利用相似三角形的性质 （2）解：由（1）得： ， ∴抛物线最高点对坐标为； ； 题型精研·考向洞悉 ►题型07 投球问题 ； 方法指导 解题的关键： ٭掌握二次函数的应用，利用数形结合与方程思想（1）利用待定系数法求解 ٭（2）配成顶点式，利用二次函数的性质 ٭（3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明△OBD∽△OAE，利用相似三角形的性质 (3)斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． （3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D， E D ∵∠BOD=∠AOE，∠BDO=∠AEO=90°， ∴△OBD∽△OAE， ∴ ， 又∵点B是OA的三等分点， ∴ ， ∵A(3, )， ∴AE= ，OE=3， ∴ ， ∴点C的横坐标为1， 将x=1代入中， ， ∴点C的坐标为(1, )， ∴CD=， ∴CB=CD-BD= - =2， 解得BD=， ∴ 解得OD=1， 答：这棵树的高为2． 57 题型精研·考向洞悉 ►题型07 投球问题 1.（2024·贵州贵阳·一模）小明和小亮参加了一次篮球比赛，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球在O点正上方的点 P处出手，篮球的高度与水平距离之间满足函数表达式． (1)求c的值； (2)求篮球在运动过程中离地面的最大高度； (3)小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，已知小亮跳起后，手离地面的最大高度为，则球在下落过程中，若小亮要想顺利接住球，求他至少距离小明多远的距离． （3）解：当时， ， 解得：， ∵，且在下落过程中接球， ∴， ∴在球下落过程中小亮离小明的距离至少米才能顺利接住球． （1）解：由题意得点P的坐标为， 将代入得． （2）解：由（1）知， ， ∵， ∴当时，y有最大值， ∴篮球在运动过程中离地面的最大高度为． 题型精研·考向洞悉 ►题型07 投球问题 2.（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 题型精研·考向洞悉 ►题型07 投球问题 2.（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． （1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为， 解得 ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时， 3 6 ②联立得： 解得 或 ∴点A的坐标是， 题型精研·考向洞悉 ►题型07 投球问题 2.（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． （2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米， ②， 则， 解得（负值舍去）． 8 题型精研·考向洞悉 ►题型08 利用图像构建函数模型解决问题 【例1】 （2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度 (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 解题的关键： ٭待定系数法确定函数解析式，求函数值、求自变量值 ٭理解函数与方程的联系 方法指导 【例1】 （2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 题型精研·考向洞悉 ►题型08 利用图像构建函数模型解决问题 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度 (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； （1）解：设y关于t的函数解析式： ， 将代入，得 解得 y关于t的函数解析式： ， 当时，则， 解得， y关于t的函数解析式： ； （2）解：根据题意得飞机滑行的最远距离： ， 答：飞机滑行的最远距离为； 【例1】 （2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 题型精研·考向洞悉 ►题型08 利用图像构建函数模型解决问题 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度 (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； （3）解：， ， ， 即， 解得：或（舍去）， 答：此时飞机的滑行速度是； ， 【例1】 （2024·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 题型精研·考向洞悉 ►题型08 利用图像构建函数模型解决问题 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度 (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ （4）解：设飞机滑行的距离为， 则飞机滑行的距离与时间t的关系式为： ， 通勤车与飞机之间的距离为： ， 令通勤车与飞机之间的距离0，则 ， 即， ， 方程无解， 在飞机滑行的时间内，飞机不会撞上通勤车， 飞机滑行过程中没有碰撞通勤车的危险． ， 题型精研·考向洞悉 ►题型08 利用图像构建函数模型解决问题 1.（2023·内蒙古赤峰·中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据： 水平距离x/ 竖直高度y/ (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； 66 (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________； ②求满足条件的抛物线解析式； 题型精研·考向洞悉 ►题型08 利用图像构建函数模型解决问题 水平距离x/ 竖直高度y/ （2）①观察表格数据，可知当和时，函数值相等， 则对称轴为直线，顶点坐标为， 又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是 ， 当时，， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ； ②设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 49 230 题型精研·考向洞悉 ►题型08 利用图像构建函数模型解决问题 (3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． （3）∵当时，抛物线的解析式： ， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为， 则平移距离为 ， ∴平移后的抛物线的解析式： ， 依题意，当时，， 即， 解得：． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时， 击球高度的值为． 题型精研·考向洞悉 ►题型09 图形最大面积问题 求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答,也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式. 利用二次函数解决面积最值的方法 方法技巧 在求解几何图形的最大面积时,应注意自变量的取值范围,一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围,一般有以下几种情况: 边长,周长,面积大于0,三角形中任意两边之和大于第三边. 【注意】 题型精研·考向洞悉 ►题型09 图形最大面积问题 【例1】 （2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 方法指导 解题的关键： ٭矩形的性质，二次函数的实际应用，计算x的取值范围（1）根据2x+y=80，求出y与x的函数解析式 ٭（2）先求出x的取值范围，再将S=750代入函数 ٭（3）将S与x的函数配成顶点式 题型精研·考向洞悉 ►题型09 图形最大面积问题 【例1】 （2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； 方法指导 解题的关键： ٭矩形的性质，二次函数的实际应用，计算x的取值范围（1）根据2x+y=80，求出y与x的函数解析式 ٭（2）先求出x的取值范围，再将S=750代入函数 ٭（3）将S与x的函数配成顶点式 （1）解：， ， ， ； 题型精研·考向洞悉 ►题型09 图形最大面积问题 【例1】 （2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． 方法指导 解题的关键： ٭矩形的性质，二次函数的实际应用，计算x的取值范围（1）根据2x+y=80，求出y与x的函数解析式 ٭（2）先求出x的取值范围，再将S=750代入函数 ٭（3）将S与x的函数配成顶点式 ， ， ， 当时， 矩形实验田的面积能达到； （2）， ， ， ， 当时， ， 题型精研·考向洞悉 ►题型09 图形最大面积问题 【例1】 （2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 方法指导 解题的关键： ٭矩形的性质，二次函数的实际应用，计算x的取值范围（1）根据2x+y=80，求出y与x的函数解析式 ٭（2）先求出x的取值范围，再将S=750代入函数 ٭（3）将S与x的函数配成顶点式 （3） ， 当时，有最大值． 题型精研·考向洞悉 ►题型09 图形最大面积问题 1.（2023·山东潍坊·中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？ 解：如图，连接，分别交于点，交于点 由二次函数的性质可知， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值， 最大值 = ， 答：当的长度为米时， 矩形铁皮的面积最大， 最大面积是平方米． ， ， 米， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形和四边形都是矩形， 米， ， 和都是等腰直角三角形， ， ， 设矩形的面积为平方米， 米，则米， 米， 米， 米， ， 又，与之间的距离为2米， 米， ， 题型精研·考向洞悉 ►题型10 图形问题 【例1】 （2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． 方法指导 解题的关键： ٭常见的中考数学压轴题型，综合性比较强，涉及到知识点较多（1）待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，菱形的性质 ٭（2）解题时要能够灵活运用所学的数学知识，要会分类讨论． 题型精研·考向洞悉 ►题型10 图形问题 题型精研·考向洞悉 ►题型10 图形问题 【例1】 （2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； （1）解：令，则，则； 令，则 ∴， 把，代入，得： 解得 ∴这条抛物线所对应的函数表达式为： 题型精研·考向洞悉 ►题型10 图形问题 【例1】 （2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （2）解：存在点，使得和相似． 设点， 则，， ∴EC=-2t+6，AC=3-t，BH=t， DH=-t²+t，DE=-t²+3t ∵△ BDE和△ACE相似，∠BED=∠AEC ∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE ①如图1，当时， ∴， 解得：或 ∴ ②如图2，当时， 过B作于H ∴ ∴ ∴， 解得：（舍去）或 ∴ 综上所述，点的坐标为或． ∵ ∴点纵坐标为6 题型精研·考向洞悉 ►题型10 图形问题 【例1】 （2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (3)是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． （3）如图3，∵四边形为菱形 ，， 设点， ， ， ∴ ， ∴ ， 即 ∵m-n≠0 ∴m+n-3=0，即m+n=3或n=3-m 过点作于 ∴KG∥AC ∴∠EGK=∠BAC ∴ ， 即 解得： （不合题意，舍去） 或 故 答：点的横坐标为 ∵A(3,0)，B(0,6) ∴AO=3，BO=6 ∴ ∴ 题型精研·考向洞悉 ►题型10 图形问题 1.（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足． (1)求证：； (2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式； (3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化． （1）证明：∵△ABC是边长为4的等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4， ∵AD=BE=CF， ∴AF=BD=CE， 在△ADF和△BED中， ∴ 题型精研·考向洞悉 ►题型10 图形问题 1.（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足． (2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式； （2）解：分别过点C、F作，， 垂足分别为点H、G，如图所示： 在等边△ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°， AB=BC=AC=4， ∴CH=AC⋅sin60°=2√3， ∴ 设AD的长为x，则AD=BE=CF=x，AF=4-x， ∴FG=AF⋅sin60°= ∴， H G 同理（1）可知△ADF≌△BED≌△CFE， ∴ ∵△DEF的面积为y， ∴ ； 题型精研·考向洞悉 ►题型10 图形问题 1.（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足． （3）解：由（2）可知：， ∴，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； 即当时，的面积随的增大而增大， 当时，的面积随的增大而减小． (3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化． 题型精研·考向洞悉 ►题型11 图形运动问题 对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应深入理解运动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动过程中的不变量、不变关系和特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析找出题中各图形的结合点，借助函数的性质予以解决. 当图形(或某一事物)在运动的过程中某一量取到最大值或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置,这是普遍规律. 利用二次函数解决运动型几何问题的方法 方法技巧 题型精研·考向洞悉 ►题型11 图形运动问题 【例1】 （2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E． (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 方法指导 解题的关键： ٭二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质综合：（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的函数表达式，再利用D的坐标代入反比例函数表达式求出k ٭（2）求出，然后利用二次函数的性质求解 题型精研·考向洞悉 ►题型11 图形运动问题 【例1】 （2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E． 方法指导 解题的关键： ٭二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质综合：（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的函数表达式，再利用D的坐标代入反比例函数表达式求出k ٭（2）求出，然后利用二次函数的性质求解 (1)求m，k的值； （1）解： ，， ． 又，． ，点． 设直线的函数表达式： ， 将，代入 ，得 解得 ∴直线的函数表达式： ． 将点代入， 得． ． 将代入， 得． 题型精研·考向洞悉 ►题型11 图形运动问题 (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 方法指导 解题的关键： ٭二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质综合：（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的函数表达式，再利用D的坐标代入反比例函数表达式求出k ٭（2）求出，然后利用二次函数的性质求解 ， （2）解：延长交y轴于点Q，交于点L． Q L ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标：，， 则，． ． ． 当时， 有最大值，此时． 题型精研·考向洞悉 ►题型11 图形运动问题 【例2】 （2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 方法指导 解题的关键： ٭矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质与二次函数的综合应用٭（2）正确添加恰当辅助线构造全等三角形 题型精研·考向洞悉 ►题型11 图形运动问题 【例2】 （2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． （1）解：∵矩形中，， ∴AB=CD=4，BC=AD=8， ∠A=∠ADC=90°，， ∵点E在AD的中点 ∴AB=AE=ED=DC=4， ∴BE=CE=4，∠AEB=45°， ∵点B、E、F在同一直线上， ∴∠AEB=∠FED=45°， ∵∠F=90° ∴ED=4= EF， ∴EF=2， ∴BF=BE+EF=6． 题型精研·考向洞悉 ►题型11 图形运动问题 【例2】 （2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． （2）证明：如图：过B作交于H， H ∵AD∥BC， ∴∠BCE=∠CED，∠AEB=∠CBE， ∵∠BCE=30°， ∴BH= BC=4=AB， ∠BCE=∠CED=30°， ∵BE=BE ∴Rt△ABERt△BEH(HL )， ∵CE=2EF， ∴EF= CE= BC=BH， ∵∠FEC=∠BHE=90°,∠EKF=∠HKB， ∴△BHK≌△FEK(AAS)， ∴BK=FK． ∴∠AEB=∠BEH， ∴∠AEB=∠BEH=∠CBE， ∴BC=CE， 题型精研·考向洞悉 ►题型11 图形运动问题 【例2】 （2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 解：存在，BF的最小值，最大值．． 如图：过点F作AB的垂线，交AB延长线于点M， 过点E作AB的平行线交BC于点N，交MF于点P． 则设AE=x,BF=y． ∵四边形ABCD和四边形EFGC都是矩形， ∴∠FPE=∠ENC=∠FEC=90°， ∴∠PEF+∠PFE=90°,∠PEF+∠NEC=90°， ∴∠PFE=∠NEC， ∵∠FPE=∠ENC=90°， ∴△PEF∽△NCE， ∴，即 ，                 当时，y有最小值为．                      ， ∴当时，y有最大值为， ∴在点E的运动过程中， 的长存在最小值，最大值． ∴PF=2, ， ∴在中， ， 题型精研·考向洞悉 ►题型11 图形运动问题 1.（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，在三角形边上沿A→B→C→A匀速运动，回到出发点A时停止运动，过点D作，垂足为E，设点D的运动时间为t（s），的面积为S．图2是点D从点A运动到点B时的S关于t的函数图象，点M的坐标为． (1)①等边三角形的边长为 ，点N的坐标为 ； ②求图2中函数图象所对应的解析式． (2)图3是动点D走完全程，S与t的函数图象，请你根据图象，回答下列问题： ①表示的实际意义是 ； ②连接，求S与t的函数图象和线段围成的图形的面积． 90 题型精研·考向洞悉 ►题型11 图形运动问题 1.（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，在三角形边上沿A→B→C→A匀速运动，回到出发点A时停止运动，过点D作，垂足为E，设点D的运动时间为t（s），的面积为S．图2是点D从点A运动到点B时的S关于t的函数图象，点M的坐标为． (1)①等边三角形的边长为 ,点N的坐标为 ； ②求图2中函数图象所对应的解析式． ②如图1，， ， 是等边三角形，， ，， ， ， ，（）； （1）解：①∵点M的坐标为， ， ， 当点D在点A时， ， ∴点 4 ； 91 题型精研·考向洞悉 ►题型11 图形运动问题 1.（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，在三角形边上沿A→B→C→A匀速运动，回到出发点A时停止运动，过点D作，垂足为E，设点D的运动时间为t（s），的面积为S．图2是点D从点A运动到点B时的S关于t的函数图象，点M的坐标为． (2)图3是动点D走完全程，S与t的函数图象，请你根据图象，回答下列问题： ①表示的实际意义是 ； ②连接，求S与t的函数图象和线段围成的图形的面积． 解：①由图象可得：表示的实际意义是点D在上运动，的面积为0， 点D在上运动，的面积为0 ②当点D在上时， ， 同理可求：， ， ， （）， ∴点P坐标为，点， ∴S与t的函数图象和线段围成的图形的面积： ． 92 谢谢 聆听 2025年中考 一轮复习讲练测 数学 $$