5.3.2函数的极值与最大(小)值(第二课时）同步检测-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册）

5.3.2　函数的极值与最大(小)值(第二课时）（同步检测） 一、选择题 1.关于函数f(x)＝说法正确的是(　　) A.没有最小值，有最大值 B.有最小值，没有最大值 C.有最小值，也有最大值 D.没有最小值，也没有最大值 2.函数f(x)＝ln x＋＋3的最小值是(　　) A.　　 B.4　　　 C.　　　 D.3 3.函数f(x)＝x3－3x2＋m在区间[－1，1]上的最大值是2，则常数m＝(　　) A.－2 B.0 C.2 D.4 4.函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(　　) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值 5.函数f(x)＝－x3＋x2在区间[0，4]上的最大值是(　　) A.0　 B.－ C.　 D.－ 6.函数f(x)＝xex的最小值是(　　) A.－1　　　 B.－e　　 C.－　　 D.不存在 7.(多选)若函数f(x)＝2x3－ax2(a＜0)在上有最大值，则a的取值可能为(　　) A.－6 B.－5 C.－4 D.－3 8.(多选)已知函数f(x)＝则下列说法正确的有(　　) A.若f(x)的最小值为－1，则a＝2 B.当a≥0时，f(x)≥0恒成立 C.当a≤0时，存在x0∈R且x0≠0，使得f(x0)＝f(－x0) D.存在a∈R，使得对任意x∈R，f(x)＞1－a恒成立 二、填空题 9.设f(x)，g(x)是定义在[a，b]上的可导函数且f′(x)＞g′(x)，令F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的最小值为________ 10.已知函数f(x)＝ex＋a－ax(a＞0)的定义域为(1，＋∞)，若f(x)＞0在(1，＋∞)上恒成立，则a的取值范围为__________ 11.如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是______ 12.已知函数f(x)＝2x2－ln x，若f ′(x0)＝3，则x0＝________，若在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________ 三、解答题 13.求下列函数的最值． (1)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数； (2)求函数f(x)＝x＋sin x在区间[0，2π]上的最大值与最小值． 14.已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围． 15.设函数f(x)＝x2ex (1)求f(x)的单调区间； (2)若当x∈[－2，2]时，不等式f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案及解析： 一、选择题 1.A 解析：函数的定义域为R，由f(x)＝，得f′(x)＝＝，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当x＝1时，f(x)取得最大值，f(x)没有最小值．故选A． 2.C 解析：由题意可得f′(x)＝－＝，令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得0＜x＜1，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值是f(1)＝．故选C． 3.C 解析：f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＞0，解得x＞2或x＜0；令f′(x)＜0，解得0＜x＜2．∴f(x)在[－1，0)上单调递增，在(0，1]上单调递减，∴f(x)max＝f(0)＝m＝2． 4.D 解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1，1)上单调递减，无最大值和最小值．故选D． 5.C 解析：因为f(x)＝－x3＋x2，所以f′(x)＝－x2＋2x，令f′(x)＝0⇒x＝0或x＝2．又因为x∈[0，4]，所以当x∈[0，2)时，f′(x)＞0，所以f(x)在x∈[0，2)上单调递增；当x∈(2，4]时，f′(x)＜0，所以f(x)在x∈(2，4]上单调递减．所以函数有极大值也是最大值f(2)＝－×23＋22＝． 6.C　解析：f ′(x)＝ex(1＋x)，f ′(x)＞0时x＞－1，f ′(x)＜0时x＜－1，∴x＝－1时函数f(x)取得极小值，也是最小值，f(x)min＝f(－1)＝－e－1＝－．故选C． 7.ABC　解析：令f ′(x)＝2x(3x－a)＝0，得x1＝0，x2＝(a＜0)，当＜x＜0时，f ′(x)＜0；当x＜或x＞0时，f ′(x)＞0，则f(x)的增区间为，(0，＋∞)，减区间为，从而f(x)在x＝处取得极大值f ＝－，由f(x)＝－，得＝0，解得x＝或x＝－，又f(x)在上有最大值，所以＜≤－，即a≤－4，故选ABC． 8.AC 解析：当x≥0时，y＝ln (x＋1)≥0，因为f(x) 的最小值为－1，所以函数y＝x2＋ax在(－∞，0)上取最小值－1，则解得a＝2，故A正确；当a≥0时，令x2＋ax＜0，解得－a＜x＜0，故当x∈(－a，0)时，f(x)＜0，故B错误；令x0＞0，要满足f(x0)＝f(－x0)，即只需函数f(－x)的图象与函数f(x)的图象有交点即可，即将问题转化为将左侧y＝x2＋ax的图象关于y轴对称，与y＝ln (x＋1)是否有交点，如图，显然当开口特别大时，与y＝ln (x＋1)的图象存在交点，故C正确；当a≤0时，1－a≥1，显然f(x)＞1－a不恒成立，当a＞0时，f(x)min＝－，因为－＋a－1＝－≤0，所以－≤1－a，即f(x)min≤1－a恒成立，则f(x)＞1－a不恒成立，故D错误．故选AC． 二、填空题 9.答案：f(a)－g(a) 解析：F′(x)＝f′(x)－g′(x)＞0，所以函数F(x)在定义域内单调递增，所以F(x)min＝F(a)＝f(a)－g(a)． 10.答案：(0，e2) 解析：令ex＋a－ax＞0，则a＜(x＞1)恒成立，设g(x)＝(x＞1)，则g′(x)＝＝，令g′(x)＞0，解得x＞2；令g′(x)＜0，解得1＜x＜2．故函数g(x)在x＝2处取得最小值，最小值为g(2)＝e2，故0＜a＜e2． 11.答案：－ 解析：f′(x)＝3x2－3x＝3x(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1. 当－1<x<0时，f′(x)>0，则f(x)为增函数；当0<x<1时，f′(x)<0，则f(x)为减函数． ∴当x＝0时，f(x)取得最大值为a，∴a＝2，∴f(－1)＝－1－＋2＝－，f(1)＝1－＋2＝. ∴在x∈[－1,1]上，f(x)的最小值为－. 12.答案：1，　 解析：∵函数f(x)＝2x2－ln x，x∈(0，＋∞)， ∴f ′(x)＝4x－＝，由f ′(x0)＝3，x0＞0，解得x0＝1．令f ′(x)＝0得x＝， 当0＜x＜时，f ′(x)＜0，当x＞时，f ′(x)＞0，所以当x＝时，f(x)取得极小值， 由题意可知：解得1≤k＜，∴实数k的取值范围是1≤k＜，即k∈． 三、解答题 13.解：(1)f′(x)＝′－(ex)′＝－－ex＝－． 当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在[0，a]上单调递减． 故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea； 当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0． (2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝． 因为f(0)＝0，f＝＋，f＝－，f(2π)＝π， 所以函数f(x)在[0，2π]上的最大值是π，最小值是0． 14.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a． 若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0； 当x∈时，f′(x)＜0． 所以f(x)在内单调递增，在上单调递减． (2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值； 当a＞0时，f(x)在x＝时取得最大值，最大值为f＝ln ＋a＝－ln a＋a－1． 因此f＞2a－2，即ln a＋a－1＜0． 令g(a)＝ln a＋a－1，g′(a)＝＋1＞0，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0． 于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0． 因此，a的取值范围是(0，1)． 15.解：(1)f′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)． 由x(x＋2)＞0，得x＞0或x＜－2， ∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f(x)的单调递增区间． 由x(x＋2)＜0，得－2＜x＜0， ∴(－2，0)为f(x)的单调递减区间， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－2，0)． (2)令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2． ∵f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，∴f(x)∈[0，2e2]． 又∵f(x)＞m恒成立，∴f(x)min＞m，∴m＜0． 故实数m的取值范围为(－∞，0)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$