三角函数与解三角形专项训练-2025届高三数学二轮复习

三角函数与解三角形 第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 象限角与终边相同的角 【例1】　（1）把－π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是（　　） A.－　 B.－ C.　 D. （2）（必修第一册第176页7（2）题改编）已知α为第三象限角，则是第　 　象限角，2α是　　 　的角. 扇形的弧长及面积公式 【例2】　已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. （1）若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长； （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 三角函数的定义及应用 考向1　三角函数的定义 【例3】　（1）已知角α的终边过点P（－8m，－6sin 30°），且cos α＝－，则m＝　　； （2）已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝　 . 考向2　三角函数值符号的判定 【例4】　若sin α·tan α＜0，且＜0，则角α是（　　） A.第一象限角　 B.第二象限角 C.第三象限角　 D.第四象限角 第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 同角三角函数基本关系式的应用 考向1　“知一求二”问题 【例1】　（2023·全国乙卷14题）若θ∈（0，），tan θ＝，则sin θ－cos θ＝　 　. 考向2　sin α，cos α的齐次式问题 【例2】　若＝，则sin2α－sin αcos α－3cos2α＝（　　） A.　 B. C.　 D. 考向3　“sin α±cos α，sin αcos α”之间关系的应用 【例3】　（多选）已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝－，则下列结论正确的是（　　） A.θ∈（，π）　 B.cos θ＝－ C.tan θ＝－　 D.sin θ－cos θ＝－ 诱导公式的应用 【例4】　（1）已知α为锐角，且cos（α＋）＝－，则cos（α＋）＝（　　） A.－　 B. C.－　 D. （2）＝（　　） A.－2　 B.－1 C.1　 D.2 同角关系式与诱导公式的综合应用 【例5】　（2024·宿迁一模）已知f（α）＝ . （1）化简f（α）； （2）若α＝－，求f（α）的值； （3）若cos（－α－）＝，α∈［π，］，求f（α）的值. 第三节　三角恒等变换 公式的直接应用 【例1】　（1）（2021·全国乙卷6题）cos2－cos2＝（　　） A.　 B. C.　 D. （2）（2024·九省联考）已知θ∈（，π），tan 2θ＝－4tan（θ＋），则＝（　　） A.　 B. C.1　 D. 公式的逆用及变形用 【例2】　（1）（2022·新高考Ⅱ卷6题）若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2cossin β，则（　　） A.tan（α－β）＝1　 B.tan（α＋β）＝1 C.tan（α－β）＝－1　 D.tan（α＋β）＝－1 （2）（2024·济宁一模）若α＋β＝，则tan αtan β－tan α－tan β＝　 . 考向1　角的变换 【例3】　已知α，β∈，sin（α＋β）＝－，sin＝，则cos（α＋）＝　 . 考向2　名的变换 【例4】　（2024·舟山模拟）若cos（θ＋）＝，则sin（2θ－）＝（　　） A.－　 B. C.　 D.－ 三角函数式的化简与证明 【例5】　（1）（2024·济南一模）若＜θ＜π，化简； （2）证明：＝cos 2x. 三角函数式求值 考向1　给角求值 【例6】　sin 20°（＋tan 50°）＝（　　） A.　 B.2 C.　 D.1 考向2　给值求值 【例7 】　（2023·新高考Ⅰ卷8题）已知sin（α－β）＝，cos αsin β＝，则cos（2α＋2β）＝（　　） A.　 B. C.－　 D.－ 考向3　给值求角 【例8】　已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝　　，2α－β＝　. 三角恒等变换的综合应用 【例9】　已知3sin α＝2sin2－1. （1）求sin 2α＋cos 2α的值； （2）已知α∈（0，π），β∈（，π），2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值. 第四节　三角函数的图象与性质 三角函数的定义域 【例1】　函数y＝lg（sin x）＋的定义域为 . 三角函数的值域（最值） 【例2】　（1）（必修第一册第214页16题改编）函数f（x）＝3sin在区间上的值域为（　　） A.　　　　　 B. C.　 D. （2）（2024·成都模拟）已知函数f（x）＝cos 2x＋8cos x，则f（x）的最小值为 　. 三角函数的单调性 考向1　求三角函数的单调区间 【例3】　（1）函数y＝｜tan x｜在（－，）上的单调递减区间为　 　； （2）函数y＝sin（－2x＋）的单调递减区间为　 　. 考向2　根据三角函数的单调性求参数 【例4】　已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［－，］上单调递增，则ω的取值范围是　 　. 三角函数的周期性 【例5】　（1）函数f（x）＝cos x＋2cosx的一个周期为（　 　） A.π　 B.2π C.3π　 D.4π （2）函数f（x）＝sin 2x＋｜sin 2x｜的最小正周期为　 　. 三角函数的奇偶性 【例6】　（1）下列函数是奇函数的是（　　） A.f（x）＝sin（2x＋） B.f（x）＝tan（x－3π） C.f（x）＝ D.f（x）＝ （2）函数y＝sin（2x＋＋φ）是奇函数，则φ＝ 　. 三角函数的对称性 【例7】　（2023·全国乙卷10题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（，）上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－）＝（　　） A.－　 B.－ C.　 D. 三角函数性质的综合应用 【例8】　（多选）已知函数f（x）＝sin（2x＋），则（　　） A.函数f（x－）是偶函数 B.x＝－是函数f（x）的一个零点 C.函数f（x）在区间［－，］上单调递增 D.函数f（x）的图象关于直线x＝对称 第五节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换 【例1】　已知函数f（x）＝2sin. （1）作出f（x）在[0，π]上的图象； （2）函数y＝f（x）的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 【例2】　（1）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（　　） A.f（x）＝sin（2x＋） B.f（x）＝sin（2x－） C.f（x）＝sin（x＋） D.f（x）＝sin（x＋） （2）（2023·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则f（π）＝　　. 三角函数图象与性质的综合应用 考向1　图象与性质的综合问题 【例3】　（多选）已知函数f（x）＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ（0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则下列说法正确的是（　　） A.直线x＝是函数f（x）的图象的一条对称轴 B.函数f（x）在［0，］上单调递减 C.函数f（x）的图象向右平移个单位长度可得到y＝cos 2x的图象 D.函数f（x）在［0，］上的最小值为－1 考向2　三角函数的零点（方程根） 【例4】　已知函数f（x）＝2sin（2x－），且关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间［0，］上有唯一解，则t的取值范围是　 　. 考向3　三角函数模型的应用 【例5】　（多选）如图，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数）.若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t（单位：s）之间的关系为d＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，－＜φ＜），则下列结论正确的是（　　） A.A＝3　 B.ω＝ C.sin φ＝－　 D.b＝－0.8 三角函数中有关ω的求解 一、利用三角函数的对称性求解 【例1】　已知函数f（x）＝cos（ωx＋）（ω＞0）的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点（，0），则ω有（　　） A.最小值2　 B.最大值2 C.最小值1　 D.最大值1 二、利用三角函数的单调性求解 【例2】　若函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［，］上单调递减，则ω的取值范围是（　　） A.［0，］　 B.［0，］ C.［，3］　 D.［，3］ 三、利用三角函数的零点求解 【例3】　（2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝cos ωx－1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　. 四、利用三角函数的最值求解 【例4】　已知函数f（x）＝2sin ωx在区间［－，］上的最小值为－2，则实数ω的取值范围是　 　. 第六节　余弦定理和正弦定理 利用正、余弦定理解三角形 【例1】　（2023·天津高考16题节选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°. （1）求sin B的值； （2）求c的值. 判断三角形的形状 【例2】　（1）在△ABC中，＝sin2 （a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 （2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为（　　） A.钝角三角形　 B.直角三角形 C.锐角三角形　 D.等边三角形 与三角形面积有关的问题 【例3】　（2023·全国乙卷18题）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. （1）求sin∠ABC； （2）若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积. 乘法公式价值高，模型构造威力显 观察角A的余弦公式，发现分子为b2＋c2－a2，变形可得（b＋c）2－a2－2bc.由此可利用乘法公式设计构造出平方差公式，再变形构造出余弦公式. 【例1】　在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（b－c）·（sin B＋sin C）＝（a－c）·sin A，则角B的大小为（　　） A.30°　　 B.45°　　C.60°　　 D.120° 平方关系真给力，夹角范围确定易 观察角A的余弦公式，发现分子为b2＋c2－a2，比较分子与0的大小，可得： 当b2＋c2＞a2时，cos A＞0，此时角A为锐角； 当b2＋c2＝a2时，cos A＝0，此时角A为直角； 当b2＋c2＜a2时，cos A＜0，此时角A为钝角. 【例2】　在非等边△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a为最大边，如果sin2（B＋C）＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为　　. 周长面积“影子”现，相互依存和谐见 余弦公式通过变形可得：cos A＝＝，从公式中我们可以找到b＋c和bc，联想到三角形的周长a＋b＋c和面积公式bcsin A，因此命题者可通过给出周长的条件求面积，也可通过给出面积的条件求周长. 【例3】　已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝，a＋c＝6，三角形的面积为2，则b＝　　. 和、积合作有情意，两根关系来设计 余弦公式通过变形可得：cos A＝＝，从中我们可以找到b＋c和bc，联想到根与系数的关系中的两根之和与两根之积. 【例4】　△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知三角形的两边a，b为一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个根且夹角C为60°，则三角形的周长为 　. 加法、乘法巧联系，最值获取最省力 由于cos A＝＝，公式中含有bc与b＋c，bc与b2＋c2，联想到不等式bc≤（）2和bc≤. 【例5】　△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，c＝，求当ab取得最大值时，三角形的面积. 与三角形有关的证明问题 【例1】　（2022·全国乙卷17题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）. （1）证明：2a2＝b2＋c2； （2）若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长. 平面图形中的计算问题 【例2】　如图，在四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2. （1）若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积； （2）若CD＝BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值. 三角形中的中线、角平分线、高线问题 【例3】　在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A为钝角，△ABC的面积为2. （1）若D是BC的中点，求AD的长度； （2）若E是边BC上一点，AE为△ABC的角平分线，求AE的长度. 测量距离问题 【例1】 如图，某直径为5海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距5海里，cos∠BAD＝－.则小岛B与小岛D之间的距离为　 　 海里. 测量高度问题 【例2】　（2021·全国甲卷8题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'－CC'约为（≈1.732）（　　） A.346　 B.373 C.446　 D.473 测量角度问题 【例3】　甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船向正北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝　　. 重难专攻：三角函数与解三角形中的最值（范围）问题 三角函数式中的最值（范围）问题 【例1】　（1）（2022·全国乙卷11题）函数f（x）＝cos x＋（x＋1）sin x＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（　　） A.－，　 B.－， C.－，＋2　 D.－，＋2 （2）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中A＞0，ω＞0，｜φ｜≤）的图象离原点最近的对称轴为x＝x0，若满足｜x0｜≤，则称f（x）为“近轴函数”.若函数y＝2sin（2x－φ）是“近轴函数”，则φ的取值范围是（　　） A.［，］　 B.［－，－］ C.［－，－］∪［，］　 D.［－，］ 三角形中的最值（范围）问题 考向1　利用三角函数的性质求最值（范围） 【例2】　（2024·广东模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin Asin B. （1）求角C的大小； （2）求sin A＋sin B＋sin C的取值范围. 考向2　构造转化为新元函数求最值（范围） 【例3】　△ABC的三个内角为A，B，C，求当A为何值时，cos A＋2cos取得最大值，并求出这个最大值. 考向3　利用基本不等式求最值（范围） 【例4】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 （a2＋c2－b2）＝－2absin C. （1）求角B； （2）若D为AC的中点，且BD＝2，求△ABC面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角函数与解三角形 第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 象限角与终边相同的角 【例1】　（1）把－π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是（　A　） A.－　 B.－ C.　 D. （2）（必修第一册第176页7（2）题改编）已知α为第三象限角，则是第　二、四　象限角，2α是　　第一、第二象限或y轴的非负半轴上　的角. 解析：（1）∵－＝－2π－，∴－与－是终边相同的角，且此时＝是最小的. （2）因为α是第三象限角，即2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π，k∈Z.当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角，而2α的终边落在第一、第二象限或y轴的非负半轴上. 扇形的弧长及面积公式 【例2】　已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. （1）若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长； （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解：（1）因为α＝，R＝10 cm，扇形的弧长l＝｜α｜R＝×10＝（cm）. （2）由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR＝（20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5）2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值，此时l＝10，α＝2. 三角函数的定义及应用 考向1　三角函数的定义 【例3】　（1）已知角α的终边过点P（－8m，－6sin 30°），且cos α＝－，则m＝　　　； （2）已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝　± 　. 解析：（1）由题意得点P（－8m，－3），r＝，所以cos α＝＝－，又m＞0，解得m＝. （2）由题意可知，α的终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α的终边上任取一点（1，2），∴sin α＝＝，若在第三象限，可在α的终边上任取一点（－1，－2），∴sin α＝＝－. 考向2　三角函数值符号的判定 【例4】　若sin α·tan α＜0，且＜0，则角α是（　　） A.第一象限角　 B.第二象限角 C.第三象限角　 D.第四象限角 解析：C　由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角.由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角.综上可知，α为第三象限角，故选C. 第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 同角三角函数基本关系式的应用 考向1　“知一求二”问题 【例1】　（2023·全国乙卷14题）若θ∈（0，），tan θ＝，则sin θ－cos θ＝　－　. 解析：由tan2θ＝＝＝，得cos2θ＝.因为θ∈（0，），所以cos θ＝，则sin θ＝＝，所以sin θ－cos θ＝－. 考向2　sin α，cos α的齐次式问题 【例2】　若＝，则sin2α－sin αcos α－3cos2α＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：C　由＝，可知cos α≠0，所以＝＝，所以tan α＝－3.又sin2α－sin αcos α－3cos2α＝＝＝＝.故选C. 考向3　“sin α±cos α，sin αcos α”之间关系的应用 【例3】　（多选）已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝－，则下列结论正确的是（　　） A.θ∈（，π）　 B.cos θ＝－ C.tan θ＝－　 D.sin θ－cos θ＝－ 解析：AC　由题可知sin θ＞0，cos θ＜0，所以可得θ∈（，π），故A正确；（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝，可得sin θcos θ＝－，则可得（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝，所以sin θ－cos θ＝，故D错误；由sin θ＋cos θ＝－，sin θ－cos θ＝，联立解得，sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－，故B错误，C正确. 诱导公式的应用 【例4】　（1）已知α为锐角，且cos（α＋）＝－，则cos（α＋）＝（　　） A.－　 B. C.－　 D. （2）＝（　　） A.－2　 B.－1 C.1　 D.2 答案：（1）C　（2）B 解析：（1）由α为锐角得＜α＋＜，所以sin（α＋）＝＝，cos（α＋）＝cos（α＋＋）＝－sin（α＋）＝－.故选C. （2）原式＝＝＝－＝－1. 同角关系式与诱导公式的综合应用 【例5】　（2024·宿迁一模）已知f（α）＝ . （1）化简f（α）； （2）若α＝－，求f（α）的值； （3）若cos（－α－）＝，α∈［π，］，求f（α）的值. 解：（1）f（α）＝＝－cos α. （2）若α＝－，则f（α）＝－cos（－）＝－cos ＝－. （3）由cos（－α－）＝，可得sin α＝－，因为α∈［π，］，所以cos α＝－，所以f（α）＝－cos α＝. 第三节　三角恒等变换 公式的直接应用 【例1】　（1）（2021·全国乙卷6题）cos2－cos2＝（　　） A.　 B. C.　 D. （2）（2024·九省联考）已知θ∈（，π），tan 2θ＝－4tan（θ＋），则＝（　　） A.　 B. C.1　 D. 答案：（1）D　（2）A 解析：（1）因为cos ＝sin ＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos＝.故选D. （2）∵tan 2θ＝－4tan（θ＋），∴＝－4，∴2tan2θ＋5tan θ＋2＝0，∴tan θ＝－或－2，∵θ∈（，π），∴tan θ∈（－1，0），∴tan θ＝－，＝，＝＝，故选A. 公式的逆用及变形用 【例2】　（1）（2022·新高考Ⅱ卷6题）若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2cossin β，则（　C　） A.tan（α－β）＝1　 B.tan（α＋β）＝1 C.tan（α－β）＝－1　 D.tan（α＋β）＝－1 （2）（2024·济宁一模）若α＋β＝，则tan αtan β－tan α－tan β＝　　. 解析：（1）由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×（cos α－sin α）·sin β，整理，得sin α·cos β－sin βcos α＋cos α·cos β＋sin αsin β＝0，即sin（α－β）＋cos（α－β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故选C. （2）∵α＋β＝，∴tan（α＋β）＝＝tan（π－）＝－，∴tan α＋tan β＝－（1－tan αtan β），∴tan αtan β－tan α－tan β＝. 考向1　角的变换 【例3】　已知α，β∈，sin（α＋β）＝－，sin＝，则cos（α＋）＝　－　. 解析：由题意知，α＋β∈，sin（α＋β）＝－＜0，所以cos（α＋β）＝，因为β－∈，所以cos＝－，cos＝cos［（α＋β）－］＝cos（α＋β）cos＋sin（α＋β）sin＝－. 考向2　名的变换 【例4】　（2024·舟山模拟）若cos（θ＋）＝，则sin（2θ－）＝（　　） A.－　 B. C.　 D.－ 解析：A　法一　sin（2θ－）＝－cos［＋（2θ－）］＝－cos（2θ＋）＝－cos［2（θ＋）］＝－［2cos2（θ＋）－1］＝－［2×（）2－1］＝－，故选A. 法二　cos2（θ＋）＝＝，解得cos（2θ＋）＝，所以sin（2θ－）＝－cos［＋（2θ－）］＝－cos（2θ＋）＝－，故选A. 三角函数式的化简与证明 【例5】　（1）（2024·济南一模）若＜θ＜π，化简； （2）证明：＝cos 2x. 解：（1）因为＜θ＜π，所以cos θ＜0，sin θ＞0， 所以 ＝ ＝ ＝＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ. （2）证明：左端＝＝＝＝＝cos 2x＝右端. 三角函数式求值 考向1　给角求值 【例6】　sin 20°（＋tan 50°）＝（　　） A.　 B.2 C.　 D.1 解析：D　原式＝＝＝＝＝＝1，故选D. 考向2　给值求值 【例7 】　（2023·新高考Ⅰ卷8题）已知sin（α－β）＝，cos αsin β＝，则cos（2α＋2β）＝（　　） A.　 B. C.－　 D.－ 解析：B　因为sin（α－β）＝，所以sin αcos β－cos αsin β＝.因为cos αsin β＝，所以sin αcos β＝＋＝，所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos（2α＋2β）＝cos[2（α＋β）]＝1－2sin2（α＋β）＝1－2×＝.故选B. 考向3　给值求角 【例8】　已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝　　，2α－β＝　　. 解析：因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.又因为α，β均为锐角，sin β＝，所以sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin（2α－β）＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，又sin（2α－β）＝，所以2α－β＝. 三角恒等变换的综合应用 【例9】　已知3sin α＝2sin2－1. （1）求sin 2α＋cos 2α的值； （2）已知α∈（0，π），β∈（，π），2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值. 解：（1）因为3sin α＝2sin2－1， 所以3sin α＝－cos α，所以tan α＝－， 所以sin 2α＋cos 2α＝＝＝＝. （2）因为β∈（，π），所以tan β＜0， 因为2tan2β－tan β－1＝（2tan β＋1）（tan β－1）＝0， 所以tan β＝－， 又因为α∈（0，π），tan α＝－，所以＜α＜π. 所以tan（α＋β）＝＝＝－1， 由得π＜α＋β＜2π，所以α＋β＝. 第四节　三角函数的图象与性质 三角函数的定义域 【例1】　函数y＝lg（sin x）＋的定义域为　　. 解析：要使函数有意义，则有解得（k∈Z），所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数y的定义域为. 三角函数的值域（最值） 【例2】　（1）（必修第一册第214页16题改编）函数f（x）＝3sin在区间上的值域为（　B　） A.　　　　　 B. C.　 D. （2）（2024·成都模拟）已知函数f（x）＝cos 2x＋8cos x，则f（x）的最小值为　－7　. 解析：（1）当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，∴函数f（x）的值域为. （2）f（x）＝2cos2x＋8cos x－1＝2（cos x＋2）2－9，因为－1≤cos x≤1，则1≤cos x＋2≤3，故当cos x＝－1时，函数f（x）取得最小值，即f（x）min＝2×（－1＋2）2－9＝－7. 三角函数的单调性 考向1　求三角函数的单调区间 【例3】　（1）函数y＝｜tan x｜在（－，）上的单调递减区间为　（－，0］和（，π］　； （2）函数y＝sin（－2x＋）的单调递减区间为　［kπ－，kπ＋］，k∈Z　. 解析：（1）如图，观察图象可知，y＝｜tan x｜在（－，）上的单调递减区间为（－，0］和（，π］. （2）y＝－sin（2x－）的单调递减区间即为y＝sin（2x－）的单调递增区间.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故其单调递减区间为［kπ－，kπ＋］，k∈Z. 考向2　根据三角函数的单调性求参数 【例4】　已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［－，］上单调递增，则ω的取值范围是　（0，］　. 解析：因为x∈［－，］，所以ωx∈［－，］，因为0∈［－，］且y＝sin x在［－，］上单调递增，所以［－，］⊆［－，］，即有解得0＜ω≤. 三角函数的周期性 【例5】　（1）函数f（x）＝cos x＋2cosx的一个周期为（　D　） A.π　 B.2π C.3π　 D.4π （2）函数f（x）＝sin 2x＋｜sin 2x｜的最小正周期为　π　. 解析：（1）易知y＝cos x，y＝2cos x的最小正周期分别为2π，4π，则2π，4π的公倍数4π是f（x）的一个周期，故选D. （2）作出函数f（x）的大致图象，如图所示.根据图象可知f（x）为周期函数，最小正周期为π. 三角函数的奇偶性 【例6】　（1）下列函数是奇函数的是（　B　） A.f（x）＝sin（2x＋） B.f（x）＝tan（x－3π） C.f（x）＝ D.f（x）＝ （2）函数y＝sin（2x＋＋φ）是奇函数，则φ＝　－＋kπ（k∈Z）　. 解析：（1）A项中，f（x）＝cos 2x，f（－x）＝cos（－2x）＝cos 2x＝f（x），所以f（x）是偶函数.B项中，f（x）＝tan x，所以f（x）是奇函数.C项中，由cos 2x≠0得2x≠kπ＋（k∈Z），解得x≠＋（k∈Z），定义域关于原点对称，且f（－x）＝＝＝f（x），所以f（x）是偶函数.D项中，因为2sin 2x－1≥0，所以sin 2x≥，所以＋2kπ≤2x≤＋2kπ（k∈Z），即x∈［＋kπ，＋kπ］（k∈Z），定义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数.故选B. （2）因为函数y＝sin（2x＋＋φ）是奇函数，所以＋φ＝kπ（k∈Z），故φ＝－＋kπ（k∈Z）. 三角函数的对称性 【例7】　（2023·全国乙卷10题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（，）上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－）＝（　　） A.－　 B.－ C.　 D. 解析：D　由函数f（x）在区间（，）上单调递增，且直线x＝和x＝是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得＝2（－），解得ω＝2，则f（）＝sin（＋φ）＝－1，所以φ＝－＋2kπ－＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－＋2kπ），k∈Z，则f（－）＝sin（－＋2kπ）＝sin（－）＝.故选D. 三角函数性质的综合应用 【例8】　（多选）已知函数f（x）＝sin（2x＋），则（　　） A.函数f（x－）是偶函数 B.x＝－是函数f（x）的一个零点 C.函数f（x）在区间［－，］上单调递增 D.函数f（x）的图象关于直线x＝对称 解析：BCD　对于A选项，令g（x）＝f（x－）＝sin（2x－＋）＝sin（2x－），故函数f（x－）不是偶函数，A错；对于B选项，因为f（－）＝sin 0＝0，故x＝－是函数f（x）的一个零点，B对；对于C选项，当－≤x≤时，－≤2x＋≤，所以函数f（x）在区间［－，］上单调递增，C对；对于D选项，因为对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，D对.故选B、C、D. 第五节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换 【例1】　已知函数f（x）＝2sin. （1）作出f（x）在[0，π]上的图象； （2）函数y＝f（x）的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 解：（1）因为x∈[0，π]，所以2x＋∈. 列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f（x） 1 2 0 －2 0 1 描点、连线得图象： （2）将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到f（x）＝2sin的图象. 求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 【例2】　（1）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（　A　） A.f（x）＝sin（2x＋） B.f（x）＝sin（2x－） C.f（x）＝sin（x＋） D.f（x）＝sin（x＋） （2）（2023·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则f（π）＝　　－ . 解析：（1）由图象知，＝＝－＝，解得ω＝2，将最大值点（，1）代入f（x）＝sin（2x＋φ）得，sin（＋φ）＝1，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又｜φ｜＜，则φ＝，即f（x）＝sin（2x＋）.故选A. （2）由题图设点A（x1，），B（x2，），则｜AB｜＝x2－x1＝.由题图可知其中k∈Z，则ω（x2－x1）＝，解得ω＝4.因为函数f（x）的图象过点（，0），所以4×＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，所以f（x）＝sin（4x＋2kπ－）＝sin（4x－＋2kπ）＝sin（4x－），k∈Z.故f（π）＝sin（4π－）＝sin＝－. 三角函数图象与性质的综合应用 考向1　图象与性质的综合问题 【例3】　（多选）已知函数f（x）＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ（0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则下列说法正确的是（　　） A.直线x＝是函数f（x）的图象的一条对称轴 B.函数f（x）在［0，］上单调递减 C.函数f（x）的图象向右平移个单位长度可得到y＝cos 2x的图象 D.函数f（x）在［0，］上的最小值为－1 解析：ABD　∵f（x）＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ＝cos（2x＋φ）的图象的一个对称中心为（，0），∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z.∵0＜φ＜，∴φ＝.则f（x）＝cos（2x＋）.∵f（）＝cos（2×＋）＝cos π＝－1，∴直线x＝是函数f（x）的图象的一条对称轴，故A正确；当x∈［0，］时，2x＋∈［，］，∴函数f（x）在［0，］上单调递减，故B正确；函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到y＝cos［2（x－）＋］＝cos（2x－）的图象，故C错误；当x∈［0，］时，2x＋∈［，］，∴函数f（x）在［0，］上的最小值为cos π＝－1.故D正确. 考向2　三角函数的零点（方程根） 【例4】　已知函数f（x）＝2sin（2x－），且关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间［0，］上有唯一解，则t的取值范围是　[－1，1）∪{2}　. 解析：因为x∈［0，］，所以2x－∈［－，］，所以2sin（2x－）∈[－1，2]，且当x＝时，f（）＝1，所以其函数图象如图所示.因为关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间［0，］上有唯一解，所以y＝f（x）与y＝t只有一个交点，结合函数图象可知－1≤t＜1或t＝2. 考向3　三角函数模型的应用 【例5】　（多选）如图，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数）.若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t（单位：s）之间的关系为d＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，－＜φ＜），则下列结论正确的是（　　） A.A＝3　 B.ω＝ C.sin φ＝－　 D.b＝－0.8 解析：AC　对于A、D，由题意，dmax＝3＋2.2＝5.2（m），dmin＝2.2－3＝－0.8（m），所以解得故A正确，D不正确；对于B，因为逆时针方向每分钟转1.5圈，所以ω＝＝，故B不正确；对于C，由题意知，当t＝0时，d＝0，所以0＝3sin φ＋2.2，所以sin φ＝－＝－，故C正确.综上所述，选A、C. 三角函数中有关ω的求解 一、利用三角函数的对称性求解 【例1】　已知函数f（x）＝cos（ωx＋）（ω＞0）的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点（，0），则ω有（　　） A.最小值2　 B.最大值2 C.最小值1　 D.最大值1 解析：A　因为三角函数的对称中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以对称中心（，0）到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－≥.又因为T＝，所以≤，所以ω≥2，所以ω有最小值2.故选A. 二、利用三角函数的单调性求解 【例2】　若函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［，］上单调递减，则ω的取值范围是（　　） A.［0，］　 B.［0，］ C.［，3］　 D.［，3］ 解析：D　由题意，令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ（k∈Z），得＋≤x≤＋（k∈Z），即函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）的单调递减区间为［＋，＋］（k∈Z），因为函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［，］上单调递减，所以解得所以k＝0，≤ω≤3.故选D. 三、利用三角函数的零点求解 【例3】　（2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝cos ωx－1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　[2，3）　. 解析：法一　由f（x）＝cos ωx－1＝0，得cos ωx＝1.设g（x）＝cos ωx，x∈[0，2π].令t＝ωx，x∈[0，2π]，设g（t）＝cos t，t∈[0，2πω].因为方程g（x）＝1在[0，2π]上有且仅有3个根，所以4π≤2πω＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）. 法二　函数f（x）＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cos x在[0，2π]上的图象可知，cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cos ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即又ω＞0，所以2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）. 四、利用三角函数的最值求解 【例4】　已知函数f（x）＝2sin ωx在区间［－，］上的最小值为－2，则实数ω的取值范围是　（－∞，－2]∪［，＋∞）　. 解析：显然ω≠0，若ω＞0，当x∈［－，］时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f（x）在区间［－，］上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥. 若ω＜0，当x∈［－，］时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f（x）在区间［－，］上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是（－∞，－2]∪［，＋∞）. 第六节　余弦定理和正弦定理 利用正、余弦定理解三角形 【例1】　（2023·天津高考16题节选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°. （1）求sin B的值； （2）求c的值. 解：（1）在△ABC中，由正弦定理，得＝，则sin B＝＝＝. （2）在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，即（）2＝22＋c2－2×2×c×cos 120°， 解得c＝－7或c＝5. 又∵c＞0，∴c＝5. 判断三角形的形状 【例2】　（1）在△ABC中，＝sin2 （a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 （2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为（　　） A.钝角三角形　 B.直角三角形 C.锐角三角形　 D.等边三角形 答案：（1）A　（2）A 解析：（1）由sin2 ＝，得＝，即cos B＝. 法一　由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等. 法二　由正弦定理得cos B＝，又sin A＝sin（B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C，所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，即sin Bcos C＝0，又sin B≠0，所以cos C＝0，又C为三角形的内角，所以C＝，所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等. （2）由＜cos A，得＜cos A.又B∈（0，π），所以sin B＞0，所以sin C＜sin Bcos A，即sin（A＋B）＜sin Bcos A，所以sin Acos B＜0.因为sin A＞0，所以cos B＜0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形. 与三角形面积有关的问题 【例3】　（2023·全国乙卷18题）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. （1）求sin∠ABC； （2）若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积. 解：（1）由余弦定理， 得BC＝＝ ＝. 由正弦定理，得sin∠ABC＝＝. （2）法一　由（1）知sin∠ABC＝，且∠ABC为锐角，所以tan∠ABC＝. 在Rt△BAD中，AD＝ABtan∠ABC＝. 因为∠BAC＝120°，∠BAD＝90°， 所以∠CAD＝30°， 所以S△ADC＝×AC×ADsin∠CAD＝×1××＝. 法二　同法一求出AD＝. 所以S△ADB＝AB×AD＝×2×＝. 又S△ABC＝×AB×ACsin∠BAC＝， 所以S△ADC＝S△ABC－S△ABD＝－＝. 乘法公式价值高，模型构造威力显 观察角A的余弦公式，发现分子为b2＋c2－a2，变形可得（b＋c）2－a2－2bc.由此可利用乘法公式设计构造出平方差公式，再变形构造出余弦公式. 【例1】　在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（b－c）·（sin B＋sin C）＝（a－c）·sin A，则角B的大小为（　　） A.30°　　 B.45°　　C.60°　　 D.120° 解析：A　由正弦定理得（b－c）·（sin B＋sin C）＝（a－c）·sin A可化为（b－c）（b＋c）＝（a－c）a，化简得到b2－c2＝a2－ac，即a2＋c2－b2＝ac，可以得到＝＝cos B，由特殊角的三角函数值得到B＝30°. 平方关系真给力，夹角范围确定易 观察角A的余弦公式，发现分子为b2＋c2－a2，比较分子与0的大小，可得： 当b2＋c2＞a2时，cos A＞0，此时角A为锐角； 当b2＋c2＝a2时，cos A＝0，此时角A为直角； 当b2＋c2＜a2时，cos A＜0，此时角A为钝角. 【例2】　在非等边△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a为最大边，如果sin2（B＋C）＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为　（，）　. 解析：由于sin（B＋C）＝sin（π－A）＝sin A，所以sin2（B＋C）＜sin2B＋sin2C可转化为sin2A＜sin2B＋sin2C，由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0，所以cos A＝＞0，即0＜A＜.又因为△ABC非等边，且a为最大边，所以A＞，则有＜A＜，即角A的范围为（，）. 周长面积“影子”现，相互依存和谐见 余弦公式通过变形可得：cos A＝＝，从公式中我们可以找到b＋c和bc，联想到三角形的周长a＋b＋c和面积公式bcsin A，因此命题者可通过给出周长的条件求面积，也可通过给出面积的条件求周长. 【例3】　已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝，a＋c＝6，三角形的面积为2，则b＝　2　. 解析：因为cos B＝得sin B＝，又因为三角形的面积为2，即S＝acsin B＝2，ac＝＝＝，又a＋c＝6，所以有cos B＝＝，解得b2＝4，即b＝2. 和、积合作有情意，两根关系来设计 余弦公式通过变形可得：cos A＝＝，从中我们可以找到b＋c和bc，联想到根与系数的关系中的两根之和与两根之积. 【例4】　△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知三角形的两边a，b为一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个根且夹角C为60°，则三角形的周长为　3＋　. 解析：由a，b为一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个根，可得a＋b＝3，ab＝1.又由cos C＝＝＝＝，得c2＝6，即c＝，所以三角形的周长为3＋. 加法、乘法巧联系，最值获取最省力 由于cos A＝＝，公式中含有bc与b＋c，bc与b2＋c2，联想到不等式bc≤（）2和bc≤. 【例5】　△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，c＝，求当ab取得最大值时，三角形的面积. 解：由（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab， 得（a＋b）2－c2＝ab， 则有a2＋b2－3＝－ab， 即3－ab＝a2＋b2， 由基本不等式可得，3－ab＝a2＋b2≥2ab， 得ab≤1（当且仅当a＝b时取等号）. 又由a2＋b2－c2＝－ab， 得cos C＝＝＝－， 所以sin C＝， 当ab取得最大值1时，S△ABC＝absin C＝×1×＝. 与三角形有关的证明问题 【例1】　（2022·全国乙卷17题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）. （1）证明：2a2＝b2＋c2； （2）若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长. 解：（1）证明：法一　由sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）可得，sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A， 结合正弦定理＝＝可得accos B－bccos A＝bccos A－abcos C， 即accos B＋abcos C＝2bccos A.（*） 由余弦定理可知accos B＝，abcos C＝，2bccos A＝b2＋c2－a2，代入（*）式整理得2a2＝b2＋c2. 法二　因为A＋B＋C＝π， 所以sin Csin（A－B）＝sin（A＋B）sin（A－B）＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A（1－sin2B）－（1－sin2A）sin2B＝sin2A－sin2B， 同理有sin Bsin（C－A）＝sin（C＋A）sin（C－A）＝sin2C－sin2A， 所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A， 由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. （2）由（1）及a2＝b2＋c2－2bccos A得，a2＝2bccos A，所以2bc＝31. 因为b2＋c2＝2a2＝50，所以（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9， 所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14. 平面图形中的计算问题 【例2】　如图，在四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2. （1）若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积； （2）若CD＝BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值. 解：（1）在△ABC中，cos B＝＝＝－， 因为0°＜B＜180°，所以B＝120°. S△ABC＝AB·BCsin 120°＝×3×1×＝. （2）由（1）知B＝120°，设∠ACB＝θ， 则∠ACD＝120°－θ，D＝30°＋θ， ∠BAC＝60°－θ. 在△ACD中，由＝， 得AC＝CD. 在△ABC中，由＝， 得AC＝BC. 联立上式，并由CD＝BC得sin（30°＋θ）sin（60°－θ）＝， 所以sin（60°＋2θ）＝， 由题可知0°＜θ＜60°， 所以60°＜60°＋2θ＜180°， 所以60°＋2θ＝150°， 解得θ＝45°， 即∠ACB＝45°. 三角形中的中线、角平分线、高线问题 【例3】　在△ABC中，AB＝2，AC＝4，角A为钝角，△ABC的面积为2. （1）若D是BC的中点，求AD的长度； （2）若E是边BC上一点，AE为△ABC的角平分线，求AE的长度. 解：（1）∵AB＝2，AC＝4，△ABC的面积为2， ∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×2×4×sin∠BAC＝2， ∴sin∠BAC＝，又∠BAC为钝角， ∴∠BAC＝， ∵D是BC的中点，∴＝（＋）， ∴＝（＋）2， 又AB＝2，AC＝4，∠BAC＝， ∴｜｜2＝＝3， ∴｜｜＝， 即AD＝. （2）∵AE为△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝， ∵S△ABC＝S△ABE＋S△ACE， ∴AB·AE·sin＋AC·AE·sin＝2， 即×2AE×＋×4AE×＝2， ∴AE＝. 测量距离问题 【例1】　如图，某直径为5海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距5海里，cos∠BAD＝－.则小岛B与小岛D之间的距离为　3　海里. 解析：由圆的内接四边形对角互补，得∠BAD＋∠BCD＝π，cos∠BCD＝cos（π－∠BAD）＝－cos∠BAD＝，所以sin∠BCD＝＝.在△BCD中，由正弦定理得＝＝2r＝5（r为圆形海域的半径），得BD＝3，所以小岛B与小岛D之间的距离为3海里. 测量高度问题 【例2】　（2021·全国甲卷8题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'－CC'约为（≈1.732）（　　） A.346　 B.373 C.446　 D.473 解析：B　如图所示，根据题意过C作CE∥C'B'，交BB'于E，过B作BD∥A'B'，交AA'于D，则BE＝100，C'B'＝CE＝.在△A'C'B'中，∠C'A'B'＝75°，则BD＝A'B'＝.又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA'－CC'＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100（＋1）＋100≈373. 测量角度问题 【例3】　甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船向正北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝　30°　. 解析：如图，设两船在C处相遇，则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，由正弦定理得＝＝，所以sin∠BAC＝.又因为0°＜∠BAC＜60°，所以∠BAC＝30°.即θ＝60°－30°＝30°，所以甲船应沿北偏东30°方向前进. 重难专攻：三角函数与解三角形中的最值（范围）问题 三角函数式中的最值（范围）问题 【例1】　（1）（2022·全国乙卷11题）函数f（x）＝cos x＋（x＋1）sin x＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（　　） A.－，　 B.－， C.－，＋2　 D.－，＋2 （2）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中A＞0，ω＞0，｜φ｜≤）的图象离原点最近的对称轴为x＝x0，若满足｜x0｜≤，则称f（x）为“近轴函数”.若函数y＝2sin（2x－φ）是“近轴函数”，则φ的取值范围是（　　） A.［，］　 B.［－，－］ C.［－，－］∪［，］　 D.［－，］ 答案：（1）D　（2）C 解析：（1）f（x）＝cos x＋（x＋1）sin x＋1，x∈[0，2π]，则f'（x）＝－sin x＋sin x＋（x＋1）cos x＝（x＋1）cos x.令f'（x）＝0，解得x＝－1（舍去），x＝或x＝.因为f＝cos ＋（＋1）sin ＋1＝2＋，f＝cos ＋（＋1）sin ＋1＝－，又f（0）＝cos 0＋（0＋1）sin 0＋1＝2，f（2π）＝cos 2π＋（2π＋1）sin 2π＋1＝2，所以f（x）max＝f＝2＋，f（x）min＝f＝－.故选D. （2）y＝2sin（2x－φ），令2x－φ＝＋kπ，k∈Z，∴图象的对称轴为x＝＋＋，k∈Z.∵｜x0｜≤，∴｜＋＋｜≤，k∈Z，∴－－kπ≤φ≤－－kπ（k∈Z），又｜φ｜≤，∴当k＝0时，－≤φ≤－；当k＝－1时，≤φ≤，∴φ的取值范围是［－，－］∪［，］.故选C. 三角形中的最值（范围）问题 考向1　利用三角函数的性质求最值（范围） 【例2】　（2024·广东模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin Asin B. （1）求角C的大小； （2）求sin A＋sin B＋sin C的取值范围. 解：（1）因为cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin Asin B， 所以1－2sin2A＋1－2sin2B－（1－2sin2C）＝1－2sin Asin B， 整理得sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B. 由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理得cos C＝＝， 因为C∈（0，π），所以C＝. （2）sin A＋sin B＋sin C＝sin A＋sin（－A）＋＝sin A＋sincos A－cos sin A＋＝sin A＋cos A＋＝sin（A＋）＋. 在△ABC中，因为C＝，所以0＜A＜， 所以＜A＋＜，所以＜sin（A＋）≤1， 所以＜sin（A＋）＋≤， 所以sin A＋sin B＋sin C的取值范围为（，］. 考向2　构造转化为新元函数求最值（范围） 【例3】　△ABC的三个内角为A，B，C，求当A为何值时，cos A＋2cos取得最大值，并求出这个最大值. 解：由A＋B＋C＝π，得＝－， 则cos＝sin. 所以cos A＋2cos＝cos A＋2sin＝1－2sin2＋2sin. 令t＝sin，由0＜A＜π，可得0＜＜，t∈（0，1），则原式可看作关于t的二次函数，即y＝－2（t－）2＋. 当t＝，即sin＝，A＝时，cos A＋2cos取得最大值，最大值为. 考向3　利用基本不等式求最值（范围） 【例4】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 （a2＋c2－b2）＝－2absin C. （1）求角B； （2）若D为AC的中点，且BD＝2，求△ABC面积的最大值. 解：（1）∵（a2＋c2－b2）＝－2absin C， ∴（a2＋c2－b2）＝－2acsin B， 即＝－sin B， 由余弦定理，得cos B＝－sin B， ∵cos B≠0，∴tan B＝－， ∵0＜B＜π，∴B＝. （2）∵＝（＋）， ∴＝＋·＋， ∴c2＋accos＋a2＝4，即a2＋c2－ac＝16， ∵a2＋c2≥2ac， ∴ac≤16， ∴S△ABC＝acsin≤×16sin＝4，当且仅当a＝4，c＝4时取等号， 故△ABC面积的最大值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$