精品解析：安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

2025届高三上学期12月份月考 数学 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合,则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是偶函数，且在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A B. C. D. 4. 已知，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若命题“”为真命题，则实数的最小值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有100℃的物体，放在10℃的空气中冷却．后物体的温度是70℃，那么该物体的温度降至20℃还需要冷却的时间约为（参考数据：）（ ） A. 4.3min B. 3.9min C. 3.3min D. 2.9min 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，若，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B 当时， C. 函数的单调递减区间为和 D. 不等式的解集为 11. 已知，且，则下列选项正确是（ ） A. 的取值范围为 B. 的最大值为 C. 的最小值为16 D. 的最小值为2 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则实数的值为_______． 13. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______． 14. 已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数且． （1）若，求实数的值及函数的定义域； （2）若，求函数的最大值． 16. 设集合，． （1）当时，求与； （2）当时，求实数的取值范围． 17. 某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 18. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数对任意实数、恒有，当时，，且． （1）求证：为奇函数，并求的值； （2）判断在上的单调性，并说明理由； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三上学期12月份月考 数学 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合,则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合A，再利用集合交集的定义求解即可. 【详解】化简 因为，所以， 故选：D. 2. 下列函数是偶函数，且在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，是奇函数，不符合题意. B选项，是偶函数，且在区间上为减函数，符合题意. C选项，是奇函数，不符合题意. D选项，是偶函数，在区间上为增函数，不符合题意. 故选：B 3. 函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由零点存在定理即可判断. 【详解】，， 由可知，函数在内单调递增， 根据零点存在定理，函数的零点所在的大致区是. 故选：C 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，及充分必要条件的定义求解即得. 【详解】由可得，故，故充分性成立， 若，则，当为负数时，此时不能得到，故必要性不成立， 故“”是“”充分不必要条件， 故选：A 5. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的定义域可得，即可根据分式以及根式的性质求解. 【详解】由于的定义域为，故， 因此的定义域满足，解得且， 故定义域为， 故选：C 6. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数的性质，借助中间量进行比较即可. 【详解】由题意可知，，，， 则. 故选：B 7. 若命题“”为真命题，则实数的最小值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将恒成立问题转化为最值问题结合二次函数的性质求解即可； 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立，即， ，单调递减；单调递增； 当时，， 故，则实数最小值是3. 故选：D. 8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有100℃的物体，放在10℃的空气中冷却．后物体的温度是70℃，那么该物体的温度降至20℃还需要冷却的时间约为（参考数据：）（ ） A. 4.3min B. 3.9min C. 3.3min D. 2.9min 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数模型，列式并借助对数运算求解即得. 【详解】依题意，由的物体，放在的空气中冷却，后物体的温度是， 得，解得， 该物体的温度降至需要冷却的时间为，则， 于是，两边取对数得， 所以该物体的温度降至还需要冷却的时间约为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，若，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】分，代值求解即可. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍去）或 综上所述，或. 故选：CD. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 函数的单调递减区间为和 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于是定义在上的奇函数，所以，经验证此时满足题意，所以A选项正确. 则当时，， 当时，，， 所以B选项错误. 由上述分析可知，由此画出的图象如下图所示， 由图可知，的单调递减区间为和，C选项正确. 不等式的解集为，D选项正确. 故选：ACD 11. 已知，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的最大值为 C. 的最小值为16 D. 的最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断A，根据基本不等式即可求解BCD. 【详解】由可得，故，A正确， 对于B，，可得，故，当且仅当时等号成立，故B正确， 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确， 对于D，，当且仅当时等号成立，故D错误， 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则实数的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数运算法则计算即可. 【详解】因为， 故实数的值为. 故答案为： 13. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根的关系，结合韦达定理可得，即可利用一元二次的解的特征求解. 【详解】由于一元二次不等式的解集为，故是方程的两个实数根，故，解得， 故为，故，解得， 故解集为， 故答案为： 14. 已知定义在上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得图象关于对称，且在上单调递减，据此可得答案. 【详解】令，则，因， 则，则图象关于对称； 又对任意，都有， 则在上单调递减，又图象关于对称， 则在上单调递增，在上单调递减. . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 设函数且． （1）若，求实数的值及函数的定义域； （2）若，求函数的最大值． 【答案】（1），定义域为 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据函数值求参数，再根据对数函数的真数大于零求定义域； （2）利用复合函数的单调性求值域. 【小问1详解】 由，解得． 所以， 由得，所以函数的定义域为． 【小问2详解】 若， 由（1）知，函数的定义域为， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在定义域内为增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以． 16. 设集合，． （1）当时，求与； （2）当时，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用交集和并集的定义可得出集合、； （2）分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时， 又因为， 所以，，. 【小问2详解】 解：因为，分以下两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，由可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 17. 某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】（1） （2）当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，写出相应的解析式，得到答案； （2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求最值，比较后得到结论. 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 故； 【小问2详解】 当时， ，故当百台时，取得最大值，最大值为万元， 当时， （万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 18. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求参数的值. （2）把问题转化成函数在上的值域是函数在上值域的子集，根据集合的包含关系求实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，的定义域为，且为奇函数， 所以 所以恒成立，所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 因为，所以， 所以当时，的值域． 又， 设，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域． 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以， 解得，即实数的取值范围是． 19. 已知函数对任意实数、恒有，当时，，且． （1）求证：为奇函数，并求的值； （2）判断在上的单调性，并说明理由； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析， （2）减函数，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，可求出的值，再令，结合函数奇偶性的定义可证得结论成立，计算出的值，再由奇函数的定义可求得的值； （2）利用函数单调性的定义可得出结论； （3）将所求不等式变形为，结合函数的单调性得出对任意的恒成立，利用二次不等式恒成立可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 取，则，解得． 取，则， 所以对任意恒成立，所以为奇函数． 因为，所以． 【小问2详解】 是R上的减函数． 理由：任取，则，则， 所以，故是R上的减函数． 【小问3详解】 因为为奇函数，所以等价于， 即． 因为是R上的减函数，所以，即恒成立． ①时，则，解得，不符合题意； ②当时，则，解得． 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$