9.4矩形、菱形、正方形课时训练-2024-2025学年苏科版数学八年级下册

9.4矩形、菱形、正方形课时训练-2024-2025学年数学八年级下册苏科版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列命题中，真命题是（   ） A．有两边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且平分的四边形是正方形 2．如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，，则（） A． B． C． D． 4．如图所示，是矩形内一点，已知，，，则的值为（     ） A． B．8 C． D．9 5．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（   ） A． B． C． D． 6．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形的内角，正方形变为菱形．若，则菱形的面积与正方形 的面积之比是（   ） A．1 B． C． D． 7．如图，，分别是正方形的边，上的点，且，与相交于．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（    ）    A． B． C．2 D．3 二、填空题 9．在矩形中，，，对角线与相交于点，要使得矩形是正方形，则还需要增加的一个条件是 （填一个即可）． 10．如图，在菱形中，，则菱形的周长为 ． 11．如图，在边长为6的正方形中，若E，F分别是边上的动点，，与交于点P，连接．则的最小值为 ． 12．如图，在中，，，点D在上，且，点E是上的动点，连接，点F，G分别是和的中点，连接，，当时，线段的长为 ． 13．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点B的坐标为． （1）若直线恰好经过点B，则 ； （2）若直线将正方形分成面积相等的两部分，则 ． 三、解答题 15．如图，，且，E是的中点． (1)求证：． (2)连接，若要使四边形是菱形，则需给添加什么条件？请说明理由． 16．如图，已知正方形的边长为1，是对角线上任意一点，为上的点，且，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点在线段上移动，其他条件不变，设，，求关于的表达式，并写出自变量的取值范围． 17．如图，四边形是边长为4的正方形，点在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点，，，按顺时针排列）． (1)如图1，当点E在线段上时，若，连接． ①求点到的距离； ②请直接写出的长； (2)当正方形中的某一顶点落在直线上时（不与点重合），求正方形的面积． 18．如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（），过点作于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 19．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． (1)当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《9.4矩形、菱形、正方形课时训练-2024-2025学年数学八年级下册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D A C B A B 1．C 【分析】本题考查命题与定理，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：有两边相等的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，不符合题意； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B是假命题，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C是真命题，符合题意； 对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，故D是假命题，不符合题意； 故选：C． 2．C 【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质．由四边形的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等． 【详解】解：∵四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是菱形，需添加或， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，， 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，运用勾股定理进行等效代换是解题的关键． 作于E，于F，并延长交于M，利用矩形的性质与勾股定理得出：，从而可求解． 【详解】解：作于E，于F，并延长交于M，如图， ∵矩形 ∴，，，，， ∵，， ∴ ∴ ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴，，， 由勾股定理，得：，，，， ∴ ， ∴． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．B 【分析】该题主要考查了角直角三角形的性质，菱形和正方形的面积，解题的关键是得出菱形的高等于的一半． 根据角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形的高等于的一半，再根据正方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴菱形的面积为，正方形的面积为． ∴菱形的面积与正方形的面积之比是． 故选：B． 7．A 【分析】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．首先利用全等三角形的判定方法利用证明，即可得出，故可判断①；进而得出，即，故可判断②；利用三角形全等即面积相等，都减去公共面积剩余部分仍然相等，即可得出④；连接，然后依据直角三角形中斜边大于任何一条直角边以及等腰三角形的性质即可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴，故①正确． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故②正确． ∵， ∴． ∴，， ∴，故④正确； 如图所示：连接， ∵， ∴， 而， ∴，故③错误． 综上，只有③错误． 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定，先由矩形的性质得到，，再由折叠的性质得到，，设，则，再根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∵矩形沿折叠，点的对应点正好落在的中点处， ∴，， 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， 故选：B． 9．（答案不唯一） 【分析】本题考查了添一个条件使四边形是正方形，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法即可直接作答． 【详解】解：由正方形的判定方法可知： 要使得矩形是正方形，则还需要增加的一个条件是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 10．8 【分析】本题主要考查菱形的性质．根据菱形的性质“菱形的四条边相等”可直接进行求解． 【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为， 故答案为：8． 11．/ 【分析】根据“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， 取的中点，连接， 则， ， ， ∴当、、三点共线时，取最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键． 12． 【分析】分别过点G，F作的垂线，垂足为M，N，过点G作于点P，作于点P，得到四边形、是矩形，结合勾股定理和等腰三角形性质可分别表示出线段、，进而推出、和的长，再根据建立等式求解，即可解题． 【详解】解：如图，分别过点G，F作的垂线，垂足为M，N，过点G作于点P，作于点P， 四边形、是矩形， ，， ∵，， ，， 又∵点G和点F分别是线段和的中点， ，， ，且， ∴，， ， ， ， ，即， ， ∴， ∴，， 设， ∴，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得，即， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 13． 【分析】本题主要考查轴对称—最短路线问题，解题的关键是掌握菱形的性质和轴对称的性质．作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，与交于点，此时的最小值，其值为．根据、菱形的面积是与的乘积可得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ． 作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，与交于点，此时的最小值，其值为． ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 14． 2 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、正方形的性质等知识点，掌握将正方形分成面积相等的两部分的直线必过正方形中心成为解题的关键． （1）直接将点B的坐标为代入求得m的值即可； （2）由直线将正方形分成面积相等的两部分，则该直线过正方形中心，然后代入求得m的值即可． 【详解】解：（1）接将点B的坐标为代入得： ，解得：． 故答案为：． （2）∵直线恰好把正方形分成面积相等的两部分，     ∴直线必经过正方形的中心，     ∵点B的坐标为，     ∴正方形中心的坐标为，代入直线中，得： ，解得：． 故答案为：2． 15．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，以及直角三角形中斜边中线的性质等知识点． （1）可先判定四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得到结论． （2）添加，可判断出一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【详解】（1） 证明：是的中点， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形，； （2） 解：添加， 理由：，， 四边形是平行四边形， ， 在中，是斜边的中点， ，四边形是菱形． 16．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质可得出，由角平分线的性质可得出，再由垂直的定义即可得出 ，进而可得出四边形是正方形． （2）作于点，根据勾股定理求出，得出是等腰直角三角形．进而可得出，．再证明四边形为矩形， 进而可得出．，再证明，由全等三角形的性质可得出，再由正方形的性质得出 ，代入即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，为其对角线， ，平分． 又，， ，． 四边形是正方形． （2）解：作于点， 则， 四边形是边长为1的正方形， ，，． ， ∴是等腰直角三角形． ∵， ，． ∵， ∴， 又∵， ， ∴四边形为矩形， ．， ∴， ． 在和中， ． ， 由（1）四边形是正方形． ∴， ∴， 即， 整理得， 其中自变量的取值范围为． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键． 17．(1)①；② (2)或 【分析】（1）①过点作直线于，则，利用勾股定理可得，再证得，可得：，即点到的距离； ②利用勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况：当点在直线上时，过点作，交的延长线于，可得是等腰直角三角形，得出，再证得，利用勾股定理可得：，即正方形的面积为；当点在直线上时，过点作，交的延长线于，同理可求得答案． 【详解】（1）解：①如图1，过点作直线于，则， ∵四边形是边长为的正方形，， ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点到的距离； ②在中，，，， ∴； （2）当点在直线上时，过点作，交的延长线于，则，如图2， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的面积为； 当点在直线上时，过点作，交的延长线于，如图3， 同理可得：， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的面积为； 综上所述，正方形的面积为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正方形面积等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 18．(1)证明见解析 (2)能， (3)或，理由见解析 【分析】（）根据时间和速度表示出和的长，利用所对的直角边等于斜边的一半求出的长，可得，再证明即可求证； （）由（）知四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，即，据此列方程求解即可； （）当为直角三角形时，有三种情况：①当时，②当时，③当时，分别找出等量关系列方程即可求出的值即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形能够成为菱形，理由如下： 由（）得，四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，四边形能够成为菱形； （3）解：分三种情况： ①当时，如图， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ； ②当时，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③当不成立； 综上所述：当为或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，，含角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，掌握以上知识点是解题的关键． 19．(1)秒 (2)秒时，；秒时， (3) 【分析】（1）先求出，进而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论； （2）分两种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； （3）先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点M的位置，再用勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动，点的运动时间为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：秒； （2）解：①如图，当点在的右边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，当点在的左边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，秒时，；秒时，； （3）如图，由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的周长为： ∴最小时，四边形的周长最小， ∴作点关于的对称点，连接交于， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴的最小值为：， ∴四边形的周长最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$