7.1.2 全概率公 教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

《全概率公式》教学设计 一、教学目标 1，结合实例，经历并了解用概率的乘法公式和互斥事件加法公式推导出全概率公式的过程，培养学生的逻辑推理能力。 2，理解并归纳出全概率公式的形式，会利用全概率公式解决实际问题，培养学生分析问题解决问题的能力。 3,能通过实例了解贝叶斯公式，知道它是描述两个条件概率之间的关系。 二、教材分析 《全概率公式》选自2019人教A版高中数学选择性必修三第七章7.1.2的内容。学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对于互斥事件的概率加法公式和概率乘法公式能够灵活的运用，通过本节课的学习可以加深学生对于条件概率的理解，更加系统的认识概率以及概念运算的本质，也为后面计算较为复杂概率问题提供了有力工具，同时建立全概率的概念，能更好的发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。 三、学情分析 本节全概率公式较抽象，学生理解能力和归纳推理能力欠缺，所以我在教学中着重在具体的问题情境中，结合树状图和venn图，逐步引导学生，更好的理解全概率公式，与此同时，同学们具有一定的知识运用能力，把概念理解透彻后，能够很好地运用全概率公式解决一些复杂的问题。 四、教学重难点 重点：（1）从具体问题中抽象出全概率公式的表达式； （2）全概率公式及其应用。 难点：运用全概率公式求概率。 五、教学过程（不能是课堂实录） 教师活动 学生活动 设计意图 环节一 情境引入 播放女篮世界杯半决赛的视频片段，视频当中我们发现运动员投篮命中的分值有1分（罚球），2分和3分（正常比赛），找同学介绍得分规则。在很多大型比赛当中，都涉及到关键球的处理，把球传给谁，我们的赢面更大，这时候我们就需要研究运动员的综合投篮命中率。 环节二、探究新知，层层深入 已知某场比赛中某运动员投1分球（罚球）投2分球和投3分球的比率分别为0.1，0.7，0.2，三种方式投篮命中率分别为0.9，0.8，0.5，问该运动员在本场比赛中投篮命中的概率？ 学生思考，尝试说出思路。 为什么这样列式子呢？这其中用到的就是全概率公式。 问题1：“投球命中”由几种情况构成？ 问题2：这个事件分成几步完成？ （便于描述，我们求概率时往往需要先设事件，请问本题应如何设事件能更好的体现分步过程呢？） 事件B包含多种情况，并且涉及到分步，我们能不能通过某种方式，更直观的体现这个过程呢？ 问题3：“命中”事件可以分成哪几个事件的并事件？这几个事件有什么关系？ 问题4：如何计算命中率P（B）？引导学生用学过的互斥事件的概率加法公式和概率的乘法公式，尝试解决问题。（小组合作） 学生分享后，教师展示完整解答过程，规范步骤 事件B的发生受A1 A2 A3多种因素影响，我们能不能从集合的角度来分析这几个事件的关系？类比集合中的Venn图，让学生试着通过画图更直观感受A1 A2 A3和B事件的关系。（小组讨论） 问：按照某种标准,将一个复杂事件B表示为n个(A1,A2,....An)互斥事件的并, 根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂事件B的概率？ 教师先从文氏图的角度分析，引导学生类比刚才的方法，尝试推导P(B) 鼓励学生尝试生成概念，教师引导学生得到全概率公式的意义，总结全概率公式主要解决哪一类的问题，以及用全概率公式前，需要做好哪些铺垫？ 环节三、学以致用，例题感悟 例4:某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响,可根据第1天可能去的餐厅,将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并,利用全概率公式求解。（教师在黑板上板演解题过程） 结合本题的解答过程，同学们能不能尝试归纳出用全概率公式解决问题的一般步骤？ 环节四、巩固练习 有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数25%,30%,45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1, 2, 3)台车床加工的概率。 第二问中，引导同学们思考，强调实际上求的是在B发生的条件下，Ai发生的概率，借助条件概率的公式和概率乘法公式，同学们应该能解决问题。 引导学生思考：P(Ai), P(Ai|B)得实际意义是什么？ P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率. 当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率.是已知结果求原因的过程。引导将（2）问的问题一般化，就可以归纳出贝叶斯公式。 环节五：归纳小结，内化新知 通过本节课的学习，你有什么收获？ 你知道什么是全概率公式了吗？我们是如何得到全概率公式的？全概率公式使用的条件有哪些？使用全概率公式解决问题的具体步骤是什么？全概率公式主要解决的是哪一类问题?贝叶斯公式主要解决的是哪类问题?本节课的探究过程中，用到的数学方法有什么？ 由学生介绍篮球投篮得分规则 学生在老师的引导下，积极思考，回答问题，如何设事件，鼓励同学们大胆说出自己的想法。 学生在黑板上画出树状图，更直观的感受事件之间的关系。 学生讨论，小组合作尝试解决这个问题，并上台分享成果。 小组讨论，学生代表展示小组成果，其他小组完善并说明原因，最后总结需要注意的问题：①A1,A2,A3 两两互斥②③ 类比上述案例分析P（B）的方法吗，鼓励同学们大胆尝试，推出一般化的P（B）的公式，学生上台展示推理过程，然后尝试自己生成全概率公式的概念和使用条件。 学生借助树状图，分析问题，解决问题，尝试总结用全概率公式解决问题的步骤。 学生独自解决第一问，上台展示成果，并加以解释。 观察（2）问求P(Ai|B)的形式，尝试归纳出贝叶斯公式。 学生回顾本节课学习内容和用到的数学方法，谈收获。 通过观看世界杯视频的方式引起学生的兴趣，进而产生探究欲望，更能激发学生的求知欲。 通过具体的问题情境，结合树状图，用“问题串”的方式逐步引导学生，引发学生思考，积极参与互动，说出自己见解，初步认识全概率公式，培养学生逻辑推理能力。 通过画Venn图，帮助学生加深对全概率公式的理解，又通过把这个问题一般化，复杂事件B表示为n个(A1,A2,....An)互斥事件的并，又该怎么画图说明问题呢？让学生亲身经历了从特殊到一般，获得全概率概念的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 通过概念辨析，让学生深化对全概率公式的理解。 通过典例剖析，让学生体会全概率公式的应用，感受数学模型在数学应用中的价值。 巩固所学的知识，学以致用 借助实例，让学生经历贝叶斯公式的一般化过程，在此过程中提升学生的数学抽象的能力，使学生认识到事物之间都存在广泛的联系。 学生先自己思考本节课的收获，老师通过问题组梳理全概率公式的相关知识，的帮助同学们建立知识体系，有助于学生把握数学思想方法，提升他们的数学素养。 六、作业设计（适应“双减”要求的分层作业） 必做题：52页练习1题2题，习题7.1 5题 7题 8题 选做题：练习册课时作业62 1-5题 开放式作业：阅读课本53页，了解贝叶斯公式与人工智能，各小组查阅资料，并和其他同学一起研讨。 【设计意图】让学生进一步巩固本节所学内容，提高学以致用、解决问题的能力，同时学有余力的同学也可以选做第二项，能力有进一步的提高。开放式作业能拓展学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣。 七、教学反思 本节课需要学生探究、思考的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让学生积极参与课堂活动，并体验知识获得的过程，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标，课堂上还要进一步发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养。 学科网（北京）股份有限公司 $$