4.2.1 等差数列的概念 教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

《等差数列的概念》教学设计 一、教学目标 1. 知识目标： ①理解等差数列的概念； ②掌握等差数列的通项公式及应用； ③体会等差数列与一元一次函数的关系. 2.能力目标：能灵活使用通项公式解决相关问题. 3.素养目标：在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等 差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养. 二、教材分析 1. 教材来源:本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》 2. 地位与作用:数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深入和拓广。 三、学情分析 1.认知基础：学生已经对数列的通项公式与递推公式有了一 定的了解. 2. 认知障碍：通过具体实例发现等差数列的规律，学生比较困难的地方在于准确地抽象出等差数列的概念. 四、教学重难点 1. 重点： 等差数列概念的理解、通项公式的应用 2. 难点： 等差数列通项公式的推导及等差数列的判定 五、教学过程 教师活动 学生活动 设计意图 复习回顾 1. 数列的定义： 2. 数列的通项公式： 3. 数列的递推公式： 新课引入 通过学习，我们还知道，数列是一种特殊的函数.在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的模型. 类似地，在了解了数列的一般概念后，我们应该研究数列的哪些内容呢？ 我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立他们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用. 下面我们从一类取值规律比较简单的数列入手。 同老师一起回顾并描述数列相关概念. 温故而知新！ 通过对前面知识的复习与回顾，逐步提出今天的新课题，引导学生发现知识间的内在联系规律，发展学生数学抽象、数学建模的核心素养。 新知探究 请看下面几个问题中的数列： 1.北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81. ① 2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是 38,40,42,44,46,48 ② 3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位）依次为 25,24,23,22,21 ③ 在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 一．等差数列的概念 文字语言 如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 符号语言 或 －＝d n∈) 练习 1.判断以下数列是等差数列吗？若是，你能指出它们的公差吗？ (1)4，7，10，13，16; (2)6，4，2； (3)1,1,1,1,1； (4)2,3,5,7,9,11，....... (5)-3，-2，-1，1，2，3 . 2、在如下的两个数之间，插入一个什么数后，这三个数就会成为一个等差数列? （1） 2 ，（ ），4 （2）-12，（ ） ，0 （3）647, ( ) , 895 二．等差中项 如果，A，b成等差数列．那么A叫做与b的等差中项． 试探究A与和b之间有着怎样的运算关系？ （ ＋b＝2A A= ） 完成下题： （1）写出等差中项：647 , ( )， 895； （2）若m，4，9成等差数列，求 m 的值. 探究：如果已知一个等差数列的首项是 ，公差是 d ， 那么你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 方法1：（归纳法）根据等差数列的定义，可得 ,, … 于是 + , + =(+ ) + + 2, + =(+ ) + + 3, … 归纳可得 +() (n) 当n时，上式为+() ，这就是说,上式当n时也成立。 所以通项公式为: 方法2：（累加法） … 将上面n-1个等式左右相加可得 即 (n) 经检验， 上式当n=1时也成立. 所以通项公式为: 三．等差数列的通项公式 (1)通项公式： 首项为，公差为d的等差数列{}的通项公式是 . (2)等差数列与一次函数的关系： ①公差d≠0的等差数列{}的图象是点(n，)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(－d)上. ②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b,…构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为(k＋b)，公差为k. 观察数列的取值规律 （提示：三个数列具备“从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数”的特点） 学生思考回答，老师适当提示. 根据推导出的结论公式，学生练习加以应用. 学生结合等差数列的概念,仔细观察，认真思考总结. 通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出等差数列的概念.发展学生数学抽象和数学建模的核心素养. 通过练习,强化概念，帮助学生掌握概念的关键词,发展学生数学抽象素养. 通过练习,强化概念和公式，加强对等差中项的概念的理解和应用,发展学生推理及运算能力 的素养. 通过等差数列通项公式的推导，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养. 明确等差数列与一次函数的关系.引导学生发现知识间的内在联系规律，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养. 例题解析 例1. （1）已知等差数列的通项公式为 求的公差和首项； （2） 求等差数列8,5,2…的第20项. 分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由，即可求出公差； （2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项. 解：（1）当 ， 可得 . 于是=()-()= -2. 把代入通项公式，可得 （2）由已知条件，得 把 代入+() ,得 ()=11 把代入上式，得 11 所以，这个数列的第20项是 例2.-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看-401是否能使这个方程有正整数解 解：由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为=-5-4（n-1）=-4n-1 令-4n-1=-401， 解这个关于n的方程，得n=100. 所以，-401是这个数列的项，是第100项。 师生共同分析讨论解题思路，然后规范解题步骤. 通过典型例题，加深学生对等差数列及其通项公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素 课堂练习 1.已知等差数列{}的首项＝2，公差d＝3，则数列{}的通项公式为(　　)A A.＝3n－1　 B.＝2n C.＝2n＋3 D.＝3n＋2 2.地面到10km高空气温随高度的变化成等差数列： 高度/km 1 2 3 4 … 9 气温/ 21.5 15 8.5 2 … ？ 3.-20是不是等差数列 0，，-7, … …中的项? 如果是，是第几项？ 解： 得 所以，-20不是数列中的项。 通过本节所学，学生进行自我检测，教师统计正确率 通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养能力。 课堂小结： 等差数列 两个定义 两个公式 两种方法：归纳法、累加法 六、作业设计 课本第15页《练习》第1、2、3题 思考：第4、5题 七、教学反思 用定义判定或证明等差数列时,应注意对定义中关键词--“从第2项起”和“同一个常数”的理解.常采用的两个式子是和，但它们的意义不同，后者必须加上，否则1时，无意义;“同一个常数”，是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，如果差是常数，但这些常数不相等，则这个数列也不能判定为等差数列.另外，等差数列的通项公式由首项和公差确定，所以要求等差数列的通项公式只需求出首项与公差即可.此外，在等差数列{}的通项公式中共含有四个参数,即：，如果知道了其中任意三个量，那么就可以由通项公式求第四个量，这一求未知量的过程，我们通常称为“知三求一”. 学科网（北京）股份有限公司 $$