5.2.1 三角函数的概念 教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019） 必修第一册

《三角函数的概念》教学设计 5.2.1三角函数的概念 一、教学内容 高一年级人教A版第一册第五章第二节 二、教材分析 本节课选自人教A版必修第一册第5章第2节《三角函数的概念》。三角函数是一类最典型的周期函数,是解决实际问题的重要工具,是学习数学、物理和天文学等其他学科的重要基础。任意角三角函数的现实背景是周期变化现象,是“周而复始”变化规律的数学刻画,在数学和其他领域中具有重要的作用。任意角三角函数知识体系的建立,应与其他基本初等函数类似,强调以周期变化现象为背景,构建从抽象研究对象(即定义三角函数的概念)到研究它的性质,与锐角三角函数的联系可以在给出任意角三角函数定义后在进行考察。任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念,对三角内容的整体学习至关重要.本节课内容在教材体系中起到承上启下的作用,它是高中范围内继学习了幂函数、指数函数、对数函数之后学习的又一基本初等函数模型 ,是学习数学中其他知识内容的基础,如:后续三节同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角函数的图像和性质都传承了本节在单位圆中数形结合展开研究的方法,为后面其他章节如:平面向量、解三角形、解析几何等内容的学习做必要的准备。它的研究继承指数函数、对数函数和幂函数的研究过程和方法但又有不同,幂函数、指数函数、对数函数的定义是通过对具体实例的共性归纳而抽象出来的,而三角函数的概念是直接由单位圆上点的运动规律的描述得到的。建构三角函数的概念,是一个数学化的过程,使学生在数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算、数据分析等素养上得到提升。 三、学情分析 学生在初中阶段已经学习了锐角三角函数的定义,学生初步具备求锐角三角函数的认知基础,即将锐角三角函数值转化为直角三角形中边长的比值,知道部分特殊角的三角函数值,掌握了锐角三角函数的一些常见知识和求法。上一节将角推广到了任意角,学习了弧度制,这些都是学生实现从“旧知”向“新知”迁移的前提。主要的困难在于:从锐角到任意角,学生难以在原有直角三角形的模型上找到对应边长的比值来定义任意角的三角函数,所以单位圆定义法便应运而生。学生理解三角函数定义,其认知基础是函数的一般概念以及幂函数、指数函数、对数函数的研究经验,及单位圆的有关知识,然而前面学习的基本初等函数解析式都有明确的运算含义,而三角函数是“角与直接对应”,是“几何元素之间的对应”,与学生已有经验差距较大,所以学生建构概念过程中有两个难点:1:理解三角函数的对应关系;2:对符号的认识。 为了破除学生在对应关系认识上的定势,帮助他们搞清三角函数的“三要素”,应该根据一般函数概念引导下的下位学习的特点,先让学生明确“给定一个角,如何得到对应的函数值”的操作过程,然后再下定义.这样不仅使三角函数定义的引入更自然,而且由三角函数对应的独特性,可以使学生再一次认识函数的本质。第二个难点可以通过类比引进符号表示中的,说明引进这些符号的意义。 四、教学目标 1.理解三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具,体会匀速圆周运动在周而复始变化现象中的代表性,体会三角函数与现实世界的密切联系. 2.经历三角函数概念的抽象过程,借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,体会数形结合、特殊到一般的数学思想,发展数学抽象、直观想象、数学建模素养. 3.能利用三角函数定义分析和求解已知角求三角函数值、已知角终边上点坐标求三角函数值两类题型,发展数学运算素养. 五、教学重难点 【教学重点】1.任意角三角函数定义; 2.应用三角函数的定义求已知角的三角函数值. 【教学难点】利用单位圆进行三角函数概念的建构过程的理解. 六、教学过程 教学环节 设计意图 教学预设 (一)、情境引入,激发兴趣 引导语:如左图五彩风车,随着风车的转动,其上面的点P位置在发生着变化;如右图是一个时钟. 它的时针、分针、秒针位置在发生着变化,下面的单摆在做往复运动。风车转动过程中其上面点的运动、时钟的时针、分针、秒针端点的运动都可以抽象为圆周运动,这种运动具有周而复始的变化规律. 现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律,这种变化规律称为周期性.例如:地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化。其中匀速圆周运动是生活中周期现象的代表。 以学生熟悉的风车上的点、时钟时针、分针、秒针端点做的圆周运动为背景,提出问题,让学生体会三角函数与现实世界的密切联系,为引入三角函数描述周期变化做好铺垫,同时以此激发学生学习新函数的兴趣。 学生初中接触过圆的知识,在结合物理中所学,能将实际情境中的问题抽象为圆周运动 (二)创设情境,明确背景 引导语:以时钟的秒针为例,其端点P在做匀速圆周运动 【几何画板展示点P在圆上周而复始的运动】 5.1节学习弧度制时,把圆弧放在单位圆中,为了研究问题的方便,可借鉴这种研究方法,把问题进行简化,将点P的运动归结到单位圆上点的运动规律. 明确研究任务:单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转,建立一个函数模型,刻画点P的位置变化情况. 问题1:根据已有的研究函数的经验,你认为可以按怎样的路径研究上述问题? 类比在单位圆中定义“1弧度的角”,将问题简单化. 明确研究的内容、过程和基本方法,为具体研究指明方向 学生在独立思考的基础上进行交流,通过讨论得出研究的路径是:明确研究背景-对应关系的特点分析-下定义-研究性质 (三)新知探究 引导语:5.1节学习任意角时,把角放在平面直角坐标系中 下面我们利用直角坐标系来研究上述问题 以单位圆的圆心为原点,以射线为x轴的非负半轴,建立直角坐标系,点的坐标为,点在单位圆上做匀速圆周运动,坐标为.射线从x轴的非负半轴开始,绕点按逆时针方向旋转角,终止位置为. 追问(1):点P(x,y)在单位圆上运动的过程中有几个变量? 共四个变量:(AP弧长)、x、y 追问(2):这几个变量是否具有对应关系? 其中弧长与、横坐标x与、纵坐标y与具有对应关系. 追问(3):对于具有对应关系的变量,它们之间是函数关系吗?若是,你能求出函数解析式吗? 角的概念推广后放在坐标系中研究,已为在坐标系中定义三角函数做好铺垫,将学生熟知的锐角的正弦、余弦、正切放在坐标系中研究,逐步渗透,为在坐标系中借助单位圆定义任意角的三角函数进一步奠定基础. 三角函数中的对应关系与学生已有经验差距较大,通过三个追问层层递进,引导学生思维,破解学生理解三角函数对应关系的难点. 学生对点P运动过程中变量分析有困难,能说出角变化与点P位置变化,但P点位置变化由横坐标x和纵坐标y的变化来体现需要老师引导 (四)分析特殊情况,归纳共性特征 问题2:在这个运动过程中, 影响点位置变化的因素是旋转角,点位置的变化由横坐标和纵坐标的变化来体现,如何根据旋转角的大小来求点的坐标呢? 特殊分析:当时,点的坐标是什么? 当 点P的坐标又是什么? 追问(1):求点P的坐标用到什么知识?(直角三角形的性质) 追问(2):求点P的坐标的步骤是什么? 追问(3):给定,点P的坐标它们是唯一确定的吗? 得出结论:由以上五个特殊角的取值可知:只要角大小确定,点P的位置就确定,从而它的横坐标x、纵坐标y的值以及的值就唯一确定. 追问(4):当为任意角时,它的终边与单位圆的交点的坐标能唯一确定吗? 利用单位圆的对称性,多取一些角的值我们深入探究,请同学们完成下表: 【几何画板动态展示点P在单位圆上连续运动】 问题3:由前面表格及点P的运动规律猜测y与、 x与存在唯一的对应关系你能说出这种对应关系吗? 得出结论:对于R中的任意一个角,它的终边与单位圆的交点,无论是横坐标x,还是纵坐标y,都是唯一确定的。这里有三个对应关系: :任意角(弧度)对应于点的纵坐标y; g:任意角(弧度)对应于点的横坐标x; h:任意角(弧度)对应于点的纵坐标与横坐标的比. 启发学生思维,建立变量间的对应关系,把实际问题建模为数学问题——把问题归结为单位圆上点的坐标与旋转角之间对应关系的探索. 引导学生从特殊到一般,对单位圆上点的坐标与相应的角之间的对应关系展开研究,让学生理解特殊情况下三角函数的对应关系,经历定义的生成和发展过程 几何画板动态展示点P在单位圆上连续运动的一般情况,在角的变化过程中进行观察,形象直观,让学生的认知得到升华,培养学生的直观想象和抽象概括能力,得出一般情况下的结论,为理解三角函数的对应关系做好铺垫 以函数的对应关系为指向,从特殊到一般,使学生确认相应的对应关系满足函数的定义,角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角(弧度)的函数,为给出三角函数的定义作好准备 对于 学生容易求出点的坐标并归纳求解步骤:画终边、做垂线、求长度、写坐标 三角函数的对应关系是本节的难点,与以往研究的基本初等函数不同,虽然在此之前做了充足的准备工作,但学生明确说出这里的对应关系还需教师的引导. (五)深入探究,建构概念 追问(1):将x,y对应的点在平面直角坐标系中描出来,并用平滑的曲线连接,会得到怎样的曲线? 追问(2):从图像上看, y与、x与存在函数关系吗? 由图像可知,任意一个角的值都有唯一确定的y值与之相对应;任意一个角的值都有唯一确定的x值与之相对应,所以:y与、x与存在函数关系. 点P运动是连续的,它的横、纵坐标的变化也是连续的,而且是周而复始的,所以可以用这两个函数描述点P的运动规律. 学生通过最原始的描点连线再次体会y与、 x与存在唯一的对应关系,从“形”的角度体会y与、 x与具有函数关系,而且具有周而复始的特点 学生通过描点连线能作出y随、 x随变化的曲线,其中 (六)任意角三角函数的定义与辨析 问题4:怎样命名此类关于角的函数呢? 请同学们先阅读教科书第177—178页,再回答如下问题: (1) 符号分别表示什么? (2) 为什么说当,的值是唯一确定的? (3) 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么? 特别提醒:是一个整体,分别是正弦函数、余弦函数、正切函数的记号,就如表示以为底的对数一样.离开自变量 ,是没有意义的. 思维升华:正弦函数、余弦函数、正切函数都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将它们统称为三角函数.习惯上用表示自变量,用表示函数值,所以将三角函数表示为: 追问:研究函数,首先要研究函数的定义域.那么任意角三角函数的定义域分别是什么呢?值域又是什么呢? 复盘y与、x与的唯一对应关系,为给出三角函数定义做足充分准备 在问题的引导下,通过阅读教科书、辨析关键词等,使学生明确三角函数的“三要素”,引导学生类比已有知识(引入符号表示中的)理解三角函数符号的意义 研究函数问题,一定先研究定义域,为5.4节研究三角函数的图像和性质埋下伏笔 通过上述一系列问题的探究,学生独立阅读教科书后,能回答问题(1),对于问题(2)(3)需要教师启发 学生学习了一个新的函数,对三角函数定义域、值域的理解还需要根据定义细辨析,尤其对正切函数值域的理解有困难 (七)三角函数概念的内联外延 问题5:在初中我们学了锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.设,把按锐角三角函数定义求得的锐角x 的正弦记为,并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为.与相等吗?对于余弦、正切也有相同的结论吗? 追问:任意角三角函数的定义与初中在直角三角形中锐角的正弦、余弦和正切的定义有什么区别和联系? 区别:锐角的正弦、余弦、正切是放在直角三角形中利用边长比定义的,都是正数; 任意角三角函数是借助单位圆利用坐标定义的,可正、可负、可为零. 联系:锐角的正弦、余弦、正切是任意角三角函数在角取时的特殊情况. 建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系,使学生体会两个定义的和谐性. 通过对比分析建立新旧知识的联系,使学生更深刻地理解新定义的本质. 学生能在直角三角形中表示角x的正弦,也会在平面直角坐标系中借助单位圆表示角x的正弦,但借助三角形相似建立二者间的相等关系有困难,需要教师引导 (八)任意角三角函数概念的初步应用 例1、求的正弦、余弦和正切值. 题后小结:如何求一个角的三角函数值? 画终边,找交点,作垂线,算长度,写坐标,得结果. 课堂练习: (1)利用三角函数的定义,求的三个三角函数值. (2)说出几个使的的值. 例2、如图:设是一个任意角,它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标为,点与原点的距离为.求证:. 思路点拨: ①你能根据三角函数的定义作图表示出吗? ②在所做的图形中, 各表示什么,你能找到它们与角的三个三角函数的关系吗? 追问(1):只要知道角终边上任意一点的坐标,就可以求得角的各个三角函数值,这些函数值会随点在终边上位置的改变而改变吗? 追问(2):例2实际上给出了任意角三角函数的另外一种定义,你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗? 定义推广:一般地,设是一个任意角,是终边上任意一点,点与原点的距离,那么叫做的正弦,即;叫做的余弦,即;()叫做的正切,即(); 问题6:三角函数的单位圆定义与坐标比定义有什么联系和区别? 联系:单位圆定义是坐标比定义中当时的特殊情况. 区别:单位圆定义是用角的终边与单位圆交点的坐标来表示三角函数;坐标比定义是用角终边上任意一点的坐标与点到原点的距离比或坐标比来表示三角函数. 单位圆定义从形式上更简洁,符合数学学科的简洁美特点,也为后面借助单位圆数形结合讨论同角三角函数基本关系、诱导公式、三角函数的图象和性质提供了研究方法,奠定了基础.坐标比定义应用更广泛. 通过概念的简单应用,明确用定义求三角函数值的基本步骤 已知三角函数值求角,这种逆向思维让学生深刻理解定义并通过取值的不唯一体会三角函数的周而复始变化规律 通过问题引导,使学生找到,并利用它们的相似关系,根据三角函数的定义得到证明。 通过三角形相似将三角函数的单位圆定义推广到一般,由此收获了三角函数的又一定义,称为三角函数的坐标比定义 通过学生对定义的归纳让学生更深刻的认识三角函数定义的本质,培养学生语言表达能力.此定义比单位圆定义更具一般性,应用更加广泛.虽然课本上以例题形式出现,但要求学生理解、记忆、并能应用. 通过对比加深学生对定义的深刻理解以及对两个定义一致性的体会 学生能顺利完成此题的求解及题后总结 学生能顺利完成(1),(2)大部分学生能写出 此题学生做起来无从下手,需要教师设置问题引导学生探究 学生能叙述三角函数的推广定义,但不够严谨,比如丢掉对r的说明,正切定义丢,可在交流的基础上得出准确的定义 (九)目标检测设计 1. 利用三角函数的定义,求的三个三角函数值. 2.已知角的终边过点P(-12,5),求角的三个三角函数值. 变式训练:若点P(-12a,5a),其中a不等于0,结果如何呢? 考查学生对三角函数定义的理解情况. 大部分学生能顺利完成1,而2需要教师提示一下应用推广的定义 (十)课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么? 一、三角函数的两个定义: 定义1(单位圆定义): 定义2(坐标比定义): 二、两种题型 (1)已知角求三角函数值: (2)已知角终边上点坐标求三角函数值: 三、三种思想: 数形结合、分类讨论、由特殊到一般 选择一个小组派一个成员小结,这样可以帮助学生自行构建知识体系,理清知识脉络,养成良好的学习习惯 学生能总结知识点和题型,但对思想方法的体会需要老师引导 七、作业设计 布置作业: 必做题: 1、课本179—180练习1、2、3、4; 2、课本182页练习1; 3、课本184页复习巩固2. 4、三角函数的概念学科作业. 思考与探究题: (1)、在平面直角坐标系中,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数定义探究三个三角函数值在各象限的符号. (2)探究终边相同的角各三角函数值有什么关系? 设计意图:作业由易到难,分必做题和思考与探究题,体现分层教学的思想,为下一节三角函数在各象限的符号及诱导公式一的学习做好准备,提高学生学习的积极性,使各层次的学生都找到各自的学习区,进一步促进教学目标的实现. 八、教学反思 《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》提出了核心素养体系,作为数学学科,核心素养体系主要包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。而培养学生数学素养,主要阵地就是课堂教学,主要依据是数学教材。充分挖掘教材概念、例题、习题的背景,发现所蕴含的数学思想方法,培养学生的探究能力,不仅是教师专业能力和专业素养的重要体现,也是培养学生数学核心素养的重要渠道。 本节课是有一定难度的概念课,在教学的过程中“问题”贯穿整个教学始终,本着数学的学习过程是学生自己的“再创造”的原则,通过教师启发引导,让学生从“用已有的知识解决熟知的生活问题遇障碍”出发、复习旧知有局限而发现问题,通过观察、思考、类比、推理、交流、合作、反思等过程进行探究,构建新定义,真正做到将传授知识和培养能力融为一体,较好地体现“数学教学主要是教学活动的教学”这一教育思想。首先从学生熟知的生活中“风车、时钟”上点位置的变化规律让学生的认知得到冲突,用现有的函数知识解决不了新问题,以此激发学生的学习兴趣。整个教学过程以6个问题的形式把问题归结为点P的坐标与旋转角之间对应关系的探索,给学生搭建台阶,让抽象的数学概念在学生一个问题一个问题的解决中水到渠成的自然获得,学生经历定义形成的必要性、发生发展的全过程。例题的设置在课本上两道例题的基础上进行拓展补充,让学生通过单位圆定义掌握这些轴上特殊角的三角函数值,关于例2,课本上虽然以例题形式出现,但属于三角函数的第二定义,应用更为广泛,所以设置了相应例题巩固。整个过程充分体现教师为主导,学生为主体,问题为主轴,思维为主攻,训练为主线。 本节课立足数学教材,以问题为主线,培养学生探究发现新问题的能力,观察能力、直观想象能力,抽象概括能力、转化化归能力;渗透数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、类比思想、由特殊到一般思想,提升学生数学核心素养。 学科网(北京)股份有限公司 $$