重点专练05 图表信息题-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

重点专练05 图表信息题 【类型1 图表信息】 1 ►类型1 图表信息 1．（2024·北京·三模）依据《国家纺织产品基本安全技术规范》规定，服装标签上标示着A、B、C三个类别． A类：婴幼儿用品，是指年龄在36个月以内的婴幼儿使用的纺织产品，同时也包括指身高以下的儿童．包括了婴幼使用的相关服装产品等，其代表着服装最高的安全级别．其甲醛含量必须低于． B类：直接接触皮肤的产品，是正常人的衣服标准，也就是适中的安全级别，同时也是指将会与身体直接接触的服装，包括大部面积与人体接触的衣服等．其甲醛含量高于，但必须低于． C类：非直接接触皮肤的产品，是安全级别最低的纺织产品，是指将不会与人体的皮肤有直接的接触，或者是仅仅只有很小面积的接触，这类衣服的安全级别是最低的，包括了外套、窗帘、裙子等．其甲醛含量高于，但必须低于． 为了去除衣物上的甲醛（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：h）的关系．该小组选取甲、乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量．所得数据如下： 浸泡时长（h） 甲类衣物中P的含量（） 乙类衣物中P的含量（） 0 79 80 2 32 37 4 25 31 6 21 29 8 18 28 10 17 27 12 16 27 (1)设浸泡时间为x，甲，乙两类衣物中P的含量分别为，，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，，并画出，的图象；    (2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲，乙两类衣物中P的含量的差约为_________（精确到1）： (3)若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A类标准的衣物为_________（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A类标准至少需要浸泡_________h（精确到1）． 2．（2024·北京西城·二模）已知角，探究与角的关系． 两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案， 方案一：如图，点在以点为圆心，1为半径的上，，设的度数为．作于点，则线段① 的长度即为的值． 方案二：用函数的值近似代替的值．计算函数的值，并在平面直角坐标系中描出坐标为的点． 两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（确到）． 若记为，否则记为． 0 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90 0 ② 1 0 或    根据以上信息，解决下列问题： (1)①为 ，②为 ； (2)补全表中的或； (3)画出关于的函数图象，并写出的近似值（精确到）， 3．（2024·北京平谷·二模）商品的价格会影响消费者的购买的欲望，设商品价格减少，商品的销售量上升，商品的销售量上升，以下是某商场销售部统计的两种商品随着价格的变化销售量变化的百分比数据： (1)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作的函数，在平面直角坐标系中，已经描出表中各组数值所对应的点，补全其余各点，并用平滑曲线连接这些点；     (2)据悉对于百姓生活的必需品往往随着价格的涨幅变化不大，但奢侈品会因价格的涨幅呈现明显的变化，若中恰好有一件商品是奢侈品另一件商品为必需品，观察图中的两条曲线的变化情况推测两件商品中是必需品的是_______；（填或） (3)结合函数图象，若商场在母亲节那天对商品八折促销，若要使商品的销售增加百分数与商品接近相同，则商品打几折？（打几折就是按照商品价格的百分之几十销售） 4．（2024·北京丰台·二模）某实验室在10℃~12℃温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在10℃~12℃范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，获得了10℃和12℃温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如下表所示： x 0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 1.0 y1 1.00 1.38 1.69 2.06 2.12 2.04 1.88 1.31 y2 1.00 1.77 2.07 2.04 1.60 1.31 0.97 0.23 设营养素用量为x毫克（），10℃温度下幼苗生长速度为毫米/天，12℃温度下幼苗生长速度为毫米/天． (1)在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为_______毫米/天； (2)根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（，），并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，回答下列问题： ①在12℃温度下，使用约______毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；（结果保留小数点后两位）； ②当该种幼苗的生长速度在10℃和12℃温度下均不低于1.6毫米/天时，营养素用量x的取值范围为______（结果保留小数点后两位）． 5．（2024·北京大兴·二模）综合实践活动课上，老师给每位同学准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求在4个角上剪去相同的小正方形（如图1），这样可制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒．设剪去的小正方形的边长为（），则纸盒的底面边长为． a．甲同学研究无盖纸盒的底面积，得到： 无盖纸盒的底面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； b．乙同学研究无盖纸盒的侧面积（四个侧面面积之和），得到： 无盖纸盒的侧面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； c．丙同学研究无盖纸盒的体积，得到： 无盖纸盒的体积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为． 与x的几组对应值如下表： x（cm） 1 2.5 5 7.5 10 12.5 14 y3（cm3） 754 1562.5 2000 1687.5 1000 312.5 56 如图3，在平面直角坐标系xOy中，描出了表中各组数值所对应的点（x，y3），并用平滑曲线连接这些点，得到了函数y3＝x（30−2x）2（1≤x≤14）的图象．    根据以上信息，解决下列问题： (1)当剪去小正方形的边长x为时，则无盖纸盒的底面积为______； (2)当无盖纸盒的侧面积取最大值时，求剪去小正方形的边长x的值； (3)下列推断合理的是______（填序号）； ①当时，无盖纸盒的体积随着剪去小正方形的边长x的增大而减小； ②当剪去的小正方形的边长x为时，无盖纸盒的体积小于； ③当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x只能为10cm． (4)当无盖纸盒的体积为时，无盖纸盒的侧面积为______． 6．（2024·北京石景山·二模）中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）； (3)探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）． 7．（2024·北京·二模）下表是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至12时气温y(单位：)随着时间t(单位：时)的变化情况． 时间时 0 2 4 6 8 10 12 温度 6 1 4 6 4 气象台对数据进行分析后发现，次日0时至5时，y与t近似满足一次函数关系，5时至12时，y与t近似满足函数关系． 根据以上信息，补充完成以下内容： (1)在平面直角坐标系中，补全次日0时至12时气温y与时间t的函数图象； (2)求出次日5时至12时y与t满足的函数关系式，并直接写出次日0时至12时的最高气温与最低气温； (3)某种植物在气温以下持续时间超过小时，即遭到霜冻灾害，需采取防霜措施，则该植物次日 采取防霜措施(填“需要”或“不需要”)． 8．（2024·北京房山·二模）小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)下表是与的几组对应值． 其中的值为______； (3)①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②过点作平行于轴的直线，结合图像解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是______． 9．（2024·北京海淀·二模）生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如下图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为__________； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率__________超过（填“能”或“不能”）． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）直接写出的值； （2）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率__________（填“大于”“小于”或“等于”）． 10．（2024·北京顺义·二模）“夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日． 某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：），x与y的部分数据如下表： x 0 5 15      25 35 45 55 65 y                0                          (1)通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系，在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (2)北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，高的物体的影长约为______（精确到）； (3)小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了高的物体的影长均为，那么他们生活的地区纬度差约是______度． 11．（2024·北京门头沟·二模）医学院某药物研究所研发了甲，乙两种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后的时间x（小时），服用甲种药物后每毫升血液中的含药量（微克），服用乙种药物后每毫升血液中的含药量（微克），记录部分实验数据如下： x 0 0.20 0.40 1.00 1.53 2.26 2.52 3.38 4.53 5.44 … 0 0.68 1.36 3.40 3.21 2.77 2.65 2.31 1.92 1.65 … 0 0.18 0.36 9.00 5.03 2.26 1.70 0.66 0.19 0.07 … 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象；    (2)如果两位病人在同一时刻分别服用这两种药物，服药1小时后两位病人每毫升血液中含药量相差______微克；两位病人大约服药后______小时每毫升血液中含药量相等；（结果保留小数点后一位） (3)据测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中______种药的药效持续时间较长，药效大约相差______小时（结果保留小数点后一位）． 12．（2024·北京门头沟·一模）如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8    请解决以下问题： (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；    (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； (3)求h 关 于d 的函数表达式； (4)运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 13．（2024·北京丰台·一模）一般来说，市面上某种水果出售量较多时，水果的价格就会降低．这时，将水果进行保鲜存储，等到价格上升之后再出售，可获得更高的出售收入．但是保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大，因此出售水果获得的收益要从出售价格中扣除保鲜存储成本．某水果公司的调研小组收集到去年一段时间内某种水果当日每千克的出售价格和保鲜存储成本的部分数据如下：设水果保鲜存储的时间为t天（），当日每千克水果出售价格为元，每千克水果保鲜存储成本为元． t 1 2 5 8 10 12 14 16 18 20 (1)根据表格中的数据，第8天每千克水果的收益为______元； (2)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作t的函数，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，将水果保鲜存储第______天至第______天（结果取整数）时，出售每千克水果所获得的收益超过4元． 14．（2024·北京平谷·一模）光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在至气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 光合作用产氧速率（） 呼吸作用耗氧速率（） (1)通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象； (2)结合函数图象，解决问题：（结果取整） ①最适合草莓生长的温度约为______℃； ②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢． 15．（2024·北京石景山·一模）某农科所的科研小组在同一果园研究了甲、乙两种果树的生长规律．记果树的生长时间为 （单位：年），甲种果树的平均高度为（单位：米），乙种果树的平均高度为（单位：米）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 1.00 2.50 5.00 7.50 9.00 9.64 9.87 9.95 9.98 10.00 10.00 1.50 4.24 5.67 5.95 5.99 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)当甲种果树的平均高度达到8.00米时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）；当乙种果树的平均高度为5.00米时，两年后平均高度约为 米（结果保留小数点后两位）； (3)当甲、乙两种果树的平均高度相等时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）． 16．（2024·北京通州·一模）某部门研究本公司生产某种产品的利润变化y（万元）与生产总量x（吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x（吨）时，所获得的利润记为p（万元），公司生产x吨产品所获得的利润与生产吨产品获得的利润之差记为y（万元）． 例如：当时，，当时，．所以，当时，；当时，，当时，．所以，当时，． 记录的部分数据如下： x 0           1           2      3      4      5      6 p                                                                  y           m                     n           根据以上数据，解决下列问题： (1)________，_______． (2)结合表中的数据，当时可以用函数刻画利润的变化量y（万元）和生产总量x（吨）之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象． (3)结合数据，利用所画的函数图象可以推断： ①当生产总量约为________吨（精确到），利润变化值y最大． ②当生产总量约为________吨（精确到），利润开始降低．    17．（2024·北京朝阳·一模）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：L），水温（单位： ）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从开始加热至水量与时间对照表 表2 1L水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数． (1)写出表中的值； (2)根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当时， ； (3)假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为 的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于的水． 18．（2024·北京顺义·一模）为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：）的关系，该小组选取甲，乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量，所得数据如下： 衣物类别P含量 浸泡时长 甲类 乙类 0 80 79 2 37 32 4 31 25 6 29 21 8 28 18 10 27 17 12 27 16 (1)设浸泡时长为x，甲，乙类衣物中P的含量分别为，，在平面角坐标系中，描出表中各组数值所对应的．点，，并画出函数，的图象； (2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为______（精确到）； (3)根据衣物中P的含量（单位：）将衣物分为A级（含量）、B级（含量）和C类（含量）．若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为____（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A级标准至少需要浸泡_____（精确到）． 19．（2024·北京海淀·一模）某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． (1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· (2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； (3)现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 20．（23-24九年级上·北京·期末）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，(单位：克)． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x(分钟) 0 5 10 15 20 … (克) 25 23.5 20 14.5 7 … (克) 25 20 15 10 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； (2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式； (3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，则 (填“＞”，“=”或“＜”)． 21．（2023·北京海淀·三模）天桥中幡是第一批被正式列入非遗名录的杂技艺术，2023年的春晚舞台上，中幡杂技表演《龙跃神州》成为一大亮点，其中有一个环节，若干个杂技演员等距排成一列，由第一位杂技演员将中幡向后高高抛出，最后一位杂技演员用头部接住中幡，中幡底部在空中运动的路线可以看作是抛物线的一部分．以第一位杂技演员的立足点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，中幡从抛出到被接住的过程中，中幡底部的竖直高度y（单位：m）和水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．    某次训练，中幡底部的水平距离x和竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 0.8 2 2.8 4 4.8 p 竖直高度y/m 2 2.96 3.8 3.96 3.6 2.96 2 根据上述数据，回答下列问题： (1)表格中的______． (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)若这次训练相邻两位演员的间距都为，最后一位演员身高为，当中幡底部位于距头部水平距离小于等于0.6米，距头部竖直距离小于等于0.3米，可以成功接到中幡，若此次训练成功，则舞台上至少______位演员． 22．（2023·北京海淀·模拟预测）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式近似为（）．      (1)在某次安装调试过程中，测得与的部分对应值如下表： 水平距离 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 竖直高度 2.25 2.8125 3 2.8125 2.25 1.3125 0 根据表格中的数据，解答下列问题： ①水管的长度是______m； ②求出与满足的函数解析式（）； (2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试： ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为； ②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足，水柱落地时与池中心的距离为．则比较与的大小关系是：______（填“”或“”或“”） 23．（2023·北京平谷·二模）某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞与两组副桥洞分别位于轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞上，与近似满足函数关系．经测量在主桥洞上得到与的几组数据：    (米) (米) 根据以上数据回答下列问题： (1)求主桥洞的函数表达式； (2)若的表达式：，的表达式：，求五个桥洞的总跨度的长． 24．（2023·北京·二模）某蔬菜批发基地为指导2023年的番茄销售，对历年的市场行情和供求情况进行了调查统计，得到番茄的售价x(单位：元/千克)与相应需求量(单位：吨)以及供给量(单位：吨)的几组数据： 售价x/元/千克 … 2 3 4 5 6 … 需求量/吨 … 9.5 8.875 8 6.875 5.5 … 供给量/吨 … 1 2 3 4 5 … (1)根据表中数据，供给量与售价x之间满足 函数关系(填“一次”、“二次”或“反比例”)，它的函数表达式为 ；需求量与售价x之间近似满足函数关系，它的函数表达式为 ． (2)在同一平面直角坐标系中，画出(1)中所确定的函数的图象； (3)结合函数图象，解决问题：为使番茄的供需平衡(即供给量与需求量相等)，售价应定为 元/千克． 25．（2023·北京丰台·二模）学校新建的体育器材室的一面外墙如图1所示，它的轮廓由抛物线和矩形构成．数学兴趣小组要为器材室设计一个矩形标牌，要求矩形的顶点E，H在抛物线上，顶点F，G在矩形的边上．为了设计面积最大的矩形，兴趣小组对矩形的面积与它的一边的长之间的关系进行研究．    具体研究过程如下，请补充完整． (1)建立模型： 以的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，通过研究发现，抛物线满足函数关系．设矩形的面积为，的长为，则另一边的长为_______m（用含a的代数式表示），得到S与a的关系式为：_________； (2)探究函数： 列出S与a的几组对应值： … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 … … 0.49 0.94 1.29 1.50 1.52 1.31 0.82 … 在下面的平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象；    (3)解决问题： 结合函数图象得到，的长约为__________m时，矩形面积最大． 26．（2023·北京昌平·二模）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高的墙体处，另一端固定在离地面高的墙体处，记大棚的截面顶端某处离的水平距离为，离地面的高度为，测量得到如下数值： 0 1 2 4 5 1    小梅根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小梅的探究过程，请补充完整： (1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；    解决问题： (2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________；此时距离的水平距离为___________； (3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好，若在距离处水平距离的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少？（灯的大小忽略不计） 27．（2023·北京朝阳·一模）一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种． 测得一些数据如下： 滑行时间t/s 0 1 2 3 4 滑行距离s/m 0 2 6 12 20 (1)s是t的 函数（填“一次”、“二次”或“反比例”）； (2)求s关于t的函数表达式； (3)已知第二位滑雪者也从坡顶滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足函数关系．记第一位滑雪者滑完全程所用时间为，第二位滑雪者滑完全程所用时间为，则___（填“<”，“=”或“>”）． 28．（2023·北京海淀·模拟预测）数学活动课上，老师提出一个探究问题： 制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3dm，且不考虑接缝）． 某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小． 下面是他们的探究过程，请补充完整： (1)设长方体包装盒的底面边长为，表面积为． 可以用含的代数式表示长方体的高为． 根据长方体的表面积公式：长方体表面积． 得到与的关系式：___________________（）； (2)列出与的几组对应值： … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 80.5 42.0 31.2 28.5 31.3 （说明：表格中相关数值精确到十分位） 表中_____________． (3)在下面的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象： (4)结合画出的函数图象，解决问题： 长方体包装盒的底面边长约为_________dm时，需要的材料最省；当长方体包装盒表面积为时，底面边长约为____________dm． 29．（22-23九年级上·北京昌平·期末）小张在学校进行定点处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方出手，篮球架上篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为米时，球心距离地面的高度为米，现测量第一次投篮数据如下： 0 2 4 6 … 1.8 3 3.4 3 … 请你解决以下问题： (1)根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； (2)若小吴在小张正前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成功阻止），他跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小吴能否阻止此次投篮？并说明理由； (3)第二次在定点处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？ 30．（2022·北京朝阳·二模）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米， 请解决以下问题： d（米） 0 1.0 3.0 5.0 7.0 h（米） 3.2 4.2 5.0 4.2 1.8 (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度； (3)求所画图象对应的函数表达式； (4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）． 31．（2022·北京平谷·二模）一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，已知铅球行进过程中的水平距离与离地面的高度的部分数据及图象如下． x（米） 0 1 2 3 4 5 … y（米） 1.67 2.25 2.67 2.92 3.00 2.92 … 请解决以下问题： (1)在平面直角坐标系中，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接，补全图形； (2)根据图象估出铅球落地时的水平距离（单位：m，精确到0.1）； (3)在铅球行进过程中，当它离地面的高度为2.5m时，根据图象估出铅球的水平距离（单位：m，精确到0.1）． 32．（2022·北京石景山·二模）某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为，距地面的竖直高度为，获得数据如下： 0.0 1.0 2.0 3.0 4.5 1.6 3.7 4.4 3.7 0.0 小景根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小景的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (2)水流的最高点距喷水枪的水平距离为________m； (3)结合函数图象，解决问题：公园准备在距喷水枪水平距离为处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_____m． 33．（2022·北京丰台·二模）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据： x/m 0 10 20 30 40 50 60 y/m 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 33.0 16.8 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们： (2)观察发现，（1）中的曲线可以看作是_________的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为_______m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点； (3)乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点_________（填写“高”或“低”）约_________m（结果保留小数点后一位）． 34．（2022·北京密云·二模）某景观公园计划在圆形水池内修建一个小型喷泉，水柱从池中心且垂直于水面的水枪喷出，水柱喷出后落于水面的形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离水面的高度为h米． d（米） 0 0.5 1.0 1.5 2.5 h（米） m 3.2 3.6 3.2 0 请解决以下问题： (1)请结合表中所给数据，直接写出水柱最高点距离水面的高度为______米． (2)在网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中已知各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． (3)求表格中m的值． (4)以节水为原则，为体现公园喷泉景观的美观性，在不改变水柱形状的基础上，修建工人打算将水枪的高度上升0.4米．若圆形喷水池的半径为3米，提升水枪高度后水柱是否会喷到水池外面？请说明理由．（其中） 35．（2022·北京大兴·二模）一个滑雪者从山坡滑下，如果不计其他因素，经测量得到滑行距离y（单位：米）与滑行时间x（单位：秒）的数据（如下表）： 滑行时间x（秒） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … 58 滑行距离y（米） 0 1.2 2.6 4.4 6.4 8.8 11.4 14.4 17.6 … 2134.4 请解决以下问题： (1)如下图，在平面直角坐标系xOy中，根据表中数值描点，请你用平滑曲线连接描出的这些点； (2)当滑雪者滑行3秒时，滑行距离是________米； (3)下面三个推断： ①曲线上每一个点都代表x的值与y的值的一种对应 ②自变量x的取值范围是 ③滑行最远距离是2134.4米 所有推断正确的序号是___________ 36．（2022·北京顺义·二模）如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米． 通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y（米） 0 1.75 3 3.75 4 3.75 3 1.75 0 (1)拱桥顶面离水面AB的最大高度为______米； (2)请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； (3)测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）． 37．（2022·北京门头沟·二模）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米． d（米） … 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 … h（米） … 3.40 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15 … 请你解决以下问题： (1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； (2)结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度； (3)求起跳点A距离地面的高度； (4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？ 38．（2022·北京昌平·二模）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为． 与的几组对应值如下表： （单位：） 0 1 2 3 4 … （单位：） 1 2 … (1)该喷枪的出水口到地面的距离为________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出与的函数图像； (3)结合（2）中的图像，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为________（精确到）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________（精确到） 39．（2022·北京海淀·二模）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150 km/h）进行测试，测得数据如下表： 车速v（km/h） 0 30 60 90 120 150 刹车距离s（m） 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75 (1)以车速v为横坐标，刹车距离s为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)由图表中的信息可知： ①该型汽车车速越大，刹车距离越　　　　（填“大”或“小”）； ②若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为　　　　km/h； (3)若该路段实际行车的最高限速为120 km/h，要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距应超过　　　　m． 40．（2022·北京东城·一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； (3)结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 41．（2022·北京大兴·一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的喷水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条曲线．现有一个垂直于湖面的喷水枪，在距喷水枪水平距离为x米处，水柱距离湖面高度为y米．经测量得到如下数据： （米） 0 1 2 3 4 5 6 … （米） 2.50 2.88 3.00 2.87 2.50 1.88 1.011 … 请解决以下问题： (1)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中y与x各对对应值为坐标的点．请根据描出的点，画出这条曲线； (2)结合所画曲线回答： ①水柱的最高点距离湖面约______米； ②水柱在湖面上的落点距喷水枪的水平距离约为______米； (3)若一条游船宽3米，顶棚到湖面的高度2米，为了保证游客有良好的观光体验，游船需从喷泉水柱下通过，如果不计其他因素，根据图象判断______（填“能”或“不能”）避免游船被喷泉喷到． 42．（2022·北京房山·一模）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米． 请解决以下问题： (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)请结合所画图象，写出抛物线的对称轴； (3)今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道． 43．（2022·北京西城·一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值： x/m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.37 y/m 2.44 3.15 3.49 3.45 3.04 2.25 1.09 0 小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； (2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）； (3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）． 44．（2022·北京通州·一模）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 y（米） 3.00 3.44 3.76 3.94 3.99 3.92 3.78 3.42 3.00 (1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米； (2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象． (3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）． 45．（2022·北京海淀·一模）数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则 ，    ① ，    ② 由①式得，代入②式得 ．    ③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）． 46．（2022·北京·一模）某地想要建造儿童直线斜坡轨道滑车设施（如图），为防止滑车下滑速度过快，轨道与地面夹角要适度，根据儿童能够在斜坡轨道上的滑行时间来确定直线斜坡轨道的长度．为解决此问题，小明用小车沿斜面滑下的实验来模拟此过程．借助打点计时器（一种测量短暂时间的工具，每隔0.02s打一次点），让小车带动纸带通过打点计时器，再按顺序测得相邻各点之间的距离数据如下表： 时间（秒） 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 相邻各点的距离（厘米） 0 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0 (1)当时间为0.04秒时，滑行距离是______厘米； (2)请在下图网格中建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，以滑行距离为纵坐标，根据表格中的数据计算并描点，用平滑的曲线连起来； (3)通过计算确定滑车能够在斜坡轨道上滑行10秒时直线斜坡轨道的长度． 试卷第4页，共92页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点专练05 图表信息题 【类型1 图表信息】 1 ►类型1 图表信息 1．（2024·北京·三模）依据《国家纺织产品基本安全技术规范》规定，服装标签上标示着A、B、C三个类别． A类：婴幼儿用品，是指年龄在36个月以内的婴幼儿使用的纺织产品，同时也包括指身高以下的儿童．包括了婴幼使用的相关服装产品等，其代表着服装最高的安全级别．其甲醛含量必须低于． B类：直接接触皮肤的产品，是正常人的衣服标准，也就是适中的安全级别，同时也是指将会与身体直接接触的服装，包括大部面积与人体接触的衣服等．其甲醛含量高于，但必须低于． C类：非直接接触皮肤的产品，是安全级别最低的纺织产品，是指将不会与人体的皮肤有直接的接触，或者是仅仅只有很小面积的接触，这类衣服的安全级别是最低的，包括了外套、窗帘、裙子等．其甲醛含量高于，但必须低于． 为了去除衣物上的甲醛（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：h）的关系．该小组选取甲、乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量．所得数据如下： 浸泡时长（h） 甲类衣物中P的含量（） 乙类衣物中P的含量（） 0 79 80 2 32 37 4 25 31 6 21 29 8 18 28 10 17 27 12 16 27 (1)设浸泡时间为x，甲，乙两类衣物中P的含量分别为，，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，，并画出，的图象；    (2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲，乙两类衣物中P的含量的差约为_________（精确到1）： (3)若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A类标准的衣物为_________（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A类标准至少需要浸泡_________h（精确到1）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)甲； 【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息： （1）先描点，再连线画出对应的函数图象即可； （2）根据函数图象求解即可； （3）根据表格中的数据可知当浸泡时长不超过，只有乙的P含量可能低于20，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙，再结合函数图象求出浸泡时间即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求    （2）解：由函数图象可知：当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为， 故答案为：； （3）解：由表格中的数据结合函数图象可知，当浸泡时长不超过时，乙含P的最低量大于20，甲的最低含量可以小于20， ∴经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为甲， 观察函数图象可知，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡， 故答案为：甲；． 2．（2024·北京西城·二模）已知角，探究与角的关系． 两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案， 方案一：如图，点在以点为圆心，1为半径的上，，设的度数为．作于点，则线段① 的长度即为的值． 方案二：用函数的值近似代替的值．计算函数的值，并在平面直角坐标系中描出坐标为的点． 两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（确到）． 若记为，否则记为． 0 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90 0 ② 1 0 或    根据以上信息，解决下列问题： (1)①为 ，②为 ； (2)补全表中的或； (3)画出关于的函数图象，并写出的近似值（精确到）， 【答案】(1)； (2)； (3)图像见解析； 【分析】本题考查了正弦的定义，特殊的直角三角函数值，描点法画出函数图象，求函数值，实数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意计算即可； （2）由判断即可； （3）根据图示的点作图，把代入计算即可． 【详解】（1）在中， ①处应填； ②处应填 故答案为：；． （2）根据题意若记为，否则记为， ， 表格中空白的两处依次填和； （3）    把代入，得 3．（2024·北京平谷·二模）商品的价格会影响消费者的购买的欲望，设商品价格减少，商品的销售量上升，商品的销售量上升，以下是某商场销售部统计的两种商品随着价格的变化销售量变化的百分比数据： (1)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作的函数，在平面直角坐标系中，已经描出表中各组数值所对应的点，补全其余各点，并用平滑曲线连接这些点；     (2)据悉对于百姓生活的必需品往往随着价格的涨幅变化不大，但奢侈品会因价格的涨幅呈现明显的变化，若中恰好有一件商品是奢侈品另一件商品为必需品，观察图中的两条曲线的变化情况推测两件商品中是必需品的是_______；（填或） (3)结合函数图象，若商场在母亲节那天对商品八折促销，若要使商品的销售增加百分数与商品接近相同，则商品打几折？（打几折就是按照商品价格的百分之几十销售） 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)六五折 【分析】（）根据表格，描出其余各点，再用平滑曲线连接起来即可； （）根据（）中的图形即可判断求解； （）根据表格数据得出A商品八折时的销售涨幅，再根据这个数据对照表格即可求解； 本题考查了函数的图象及应用，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：由图可知，随的增大涨幅变化很大，随的增大涨幅比较平缓， ∴商品是必需品， 故答案为：； （3）解：由图象可知商品八折时，即时的值约为，而当的值约为时，值约为，所以商品打六五折． 4．（2024·北京丰台·二模）某实验室在10℃~12℃温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在10℃~12℃范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，获得了10℃和12℃温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如下表所示： x 0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 1.0 y1 1.00 1.38 1.69 2.06 2.12 2.04 1.88 1.31 y2 1.00 1.77 2.07 2.04 1.60 1.31 0.97 0.23 设营养素用量为x毫克（），10℃温度下幼苗生长速度为毫米/天，12℃温度下幼苗生长速度为毫米/天． (1)在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为_______毫米/天； (2)根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（，），并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，回答下列问题： ①在12℃温度下，使用约______毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；（结果保留小数点后两位）； ②当该种幼苗的生长速度在10℃和12℃温度下均不低于1.6毫米/天时，营养素用量x的取值范围为______（结果保留小数点后两位）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键． （1）根据表格信息解答即可； （2）根据表格信息描点作图即可； （3）根据图象信息解答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为毫米/天； （2）解：如图所示： （3）解：由图象可得：在12℃温度下，使用约毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快； 由图象可得：当该种幼苗的生长速度在10℃和12℃温度下均不低于1.6毫米/天时，营养素用量x的取值范围为； 5．（2024·北京大兴·二模）综合实践活动课上，老师给每位同学准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求在4个角上剪去相同的小正方形（如图1），这样可制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒．设剪去的小正方形的边长为（），则纸盒的底面边长为． a．甲同学研究无盖纸盒的底面积，得到： 无盖纸盒的底面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； b．乙同学研究无盖纸盒的侧面积（四个侧面面积之和），得到： 无盖纸盒的侧面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； c．丙同学研究无盖纸盒的体积，得到： 无盖纸盒的体积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为． 与x的几组对应值如下表： x（cm） 1 2.5 5 7.5 10 12.5 14 y3（cm3） 754 1562.5 2000 1687.5 1000 312.5 56 如图3，在平面直角坐标系xOy中，描出了表中各组数值所对应的点（x，y3），并用平滑曲线连接这些点，得到了函数y3＝x（30−2x）2（1≤x≤14）的图象．    根据以上信息，解决下列问题： (1)当剪去小正方形的边长x为时，则无盖纸盒的底面积为______； (2)当无盖纸盒的侧面积取最大值时，求剪去小正方形的边长x的值； (3)下列推断合理的是______（填序号）； ①当时，无盖纸盒的体积随着剪去小正方形的边长x的增大而减小； ②当剪去的小正方形的边长x为时，无盖纸盒的体积小于； ③当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x只能为10cm． (4)当无盖纸盒的体积为时，无盖纸盒的侧面积为______． 【答案】(1)100 (2)cm (3)② (4)400 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把x的值代入函数解析式计算即可； （2）把函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据函数图象和性质分别进行分析即可得到答案； （4）由图象可知，当无盖纸盒的体积为时，即，再代入的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）当剪去小正方形的边长x为10cm时， 故答案为：100； （2）解：∵，， 当时，取最大值，最大值为， 即当无盖纸盒的侧面积取最大值时，剪去小正方形的边长x的值为； （3）①∵，， ∴当时，随着剪去小正方形的边长x的增大而减小； 故①不合理， ②由的图象可知，当剪去的小正方形的边长x为时，无盖纸盒的体积小于，故②合理； ③由的图象可知，当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x除了10cm，还有一个值在1和2之间． 故③不合理； 故选：②； （4）由图象可知，当无盖纸盒的体积为时，即， 此时， 故答案为：400． 6．（2024·北京石景山·二模）中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）； (3)探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）． 【答案】(1)见详解 (2)5.5；66.0 (3)> 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、用描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把列表的数值分别在图象中描点出来，再依次连接，即可作答． （2）结合图象以及题干“某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象”，进行作答即可． （3）相比较：某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近，以及结合图象，进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意，得与x的函数图象，如图所示： （2）解：∵某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象 ∴绿茶茶水降至饮用，大概时间轻为5.5，其饮用口感最佳， 此时普洱茶茶水的温度约为（结果保留小数点后一位）； 故答案为：5.5；66.0． （3）解：∵某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近， ∴当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则 故答案为：>． 7．（2024·北京·二模）下表是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至12时气温y(单位：)随着时间t(单位：时)的变化情况． 时间时 0 2 4 6 8 10 12 温度 6 1 4 6 4 气象台对数据进行分析后发现，次日0时至5时，y与t近似满足一次函数关系，5时至12时，y与t近似满足函数关系． 根据以上信息，补充完成以下内容： (1)在平面直角坐标系中，补全次日0时至12时气温y与时间t的函数图象； (2)求出次日5时至12时y与t满足的函数关系式，并直接写出次日0时至12时的最高气温与最低气温； (3)某种植物在气温以下持续时间超过小时，即遭到霜冻灾害，需采取防霜措施，则该植物次日 采取防霜措施(填“需要”或“不需要”)． 【答案】(1)见解析 (2)最高气温为 ，最低气温为 (3)需要 【分析】本题考查描点法画函数图象，待定系数法，根据图象获取信息，一次函数与二次函数的应用等知识，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）根据题意，描点连线即可； （2）运用待定系数法求函数解析式，根据图象即可得出最值； （3）求出气温以下持续时间即可得解． 【详解】（1）解：依题意描点连线，绘图如下： （2）当时， 依题意可知点是此时抛物线的顶点， 设此时解析式为： ∵5时至12时，y与t近似满足函数关系． ∴， ∴此时解析式为：， 令，得：， 由图可知：最高气温为 ，最低气温为 ， （3）当时，y与t近似满足一次函数关系， 设此时解析式为：， 将点，代入得：， 解得：， 此时解析式为：， 令，解得：， 当时， 令，解得：， ∴当时，，即气温在以下， ∴气温以下持续时间为：， ∵， ∴， ∴该植物次日需要采取防霜措施． 故答案为：需要． 8．（2024·北京房山·二模）小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)下表是与的几组对应值． 其中的值为______； (3)①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②过点作平行于轴的直线，结合图像解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)4 (3)①见解析；② 【分析】本题主要考查函数图象与性质： （1）由分母不能为零，即可得出自变量的取值范围； （2）把代入则可求出的值； （3）①根据描点，连线画出函数图象；②观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点，故可得结论 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：当时，， 故答案为：4； （3）（3）①描点，连线得， ②观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点， 故答案为：． 9．（2024·北京海淀·二模）生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如下图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为__________； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率__________超过（填“能”或“不能”）． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）直接写出的值； （2）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率__________（填“大于”“小于”或“等于”）． 【答案】，作图见详解，不能，（1），（2）等于 【分析】本题主要考查表格信息与函数图象的关系，理解表格信息，掌握函数图象的绘制方法，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1），根据水解率的表格即可求解；，根据表格信息描点即可，结合图象分析即可； （2）根据表格信息可得，时间为时，水解率为，由此即可求解； （3）根据菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到可得时间，结合表格信息即可求解． 【详解】解：：根据水解率的大小可得，菌剂添加量为时最佳， 故答案为：； ：根据表格信息，描点，作函数图像得， 时间的变化情况为：每次增加量为小时；水解率的变化情况：，，，，，，，，， ∴随着时间的增加，水解率的增加量逐渐减小， ∴当水解时间为时，生活垃圾水解率不能超过， 故答案为：不能； （1）根据表格信息可知，时间为时，水解率为， ∴，即； （2）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时， ∴， ∴当菌剂添加量为时，水解小时的水解率为，即等于， 故答案为：等于． 10．（2024·北京顺义·二模）“夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日． 某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：），x与y的部分数据如下表： x 0 5 15      25 35 45 55 65 y                0                          (1)通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系，在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (2)北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，高的物体的影长约为______（精确到）； (3)小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了高的物体的影长均为，那么他们生活的地区纬度差约是______度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)44 【分析】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键； （1）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象； （2）结合函数图象找到时，的值即可； （3）结合函数图象找到时，的值，再作差即可； 【详解】（1）解：函数的图象如下： （2）解：根据（1）中图象可得：当时，， 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：根据（1）中图象可得：当时，或， ， 故答案为：（答案不唯一）； 11．（2024·北京门头沟·二模）医学院某药物研究所研发了甲，乙两种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后的时间x（小时），服用甲种药物后每毫升血液中的含药量（微克），服用乙种药物后每毫升血液中的含药量（微克），记录部分实验数据如下： x 0 0.20 0.40 1.00 1.53 2.26 2.52 3.38 4.53 5.44 … 0 0.68 1.36 3.40 3.21 2.77 2.65 2.31 1.92 1.65 … 0 0.18 0.36 9.00 5.03 2.26 1.70 0.66 0.19 0.07 … 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象；    (2)如果两位病人在同一时刻分别服用这两种药物，服药1小时后两位病人每毫升血液中含药量相差______微克；两位病人大约服药后______小时每毫升血液中含药量相等；（结果保留小数点后一位） (3)据测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中______种药的药效持续时间较长，药效大约相差______小时（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)见解析 (2)5.6；0.5或2.1 (3)甲，1.5 【分析】本题考查了函数的应用，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． （1）先根据对应x和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可； （2）观察图象，分别求出当时， 、的值，然后求出、的差即可； 当每毫升血液中含药量相等时，即，、交点所对应的x即为两位病人大约服药时间； （3）求出当时，两个函数图像与交点的横坐标，即可求出每毫升血液中含药量不少于2微克的时间，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：如图，根据对应x和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可．    （2）解∶当时，在图象时找到，， ∴， 当每毫升血液中含药量相等时，即，在图象上找到、交点所对应的x即为两位病人大约服药时间，即x的值约为或， 故答案为：5.6；0.5或2.1； （3）解：当时，所对应的x的值约为0.7，4， ∴甲种药物持续的时间为 同理乙种药物持续的时间为， ∵， ∴每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中甲种药的药效持续时间较长，药效大约相差1.5小时， 故答案为：甲，1.5． 12．（2024·北京门头沟·一模）如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8    请解决以下问题： (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；    (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； (3)求h 关 于d 的函数表达式； (4)运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 【答案】(1)见详解 (2) (3) (4)能 【分析】（1）用描点法还画出抛物线图象即可； （2）根据表中数据或者图象找出抛物线的对称轴即可得到最大值； （3）用待定系数法求解二次函数解析式即可； （4）令，求解，，然后作差看是否符合定义即可． 本题主要考查了二次函数的图象，掌握函数图象的画法、二次函数的性质是本题解题的关键． 【详解】（1）解：①建立如图所示的平面直角坐标系， ②根据表中数据描点， 水平距离米 0 2 4 6 8 垂直高度米 4 8 8 ③用平滑的曲线连接， 所画图象如图所示：    （2）解：观察图象可得：运动员滑行过程中距离地面的最大高度为米， 故答案为：； （3）解：由图象可得，顶点， 设二次函数的关系式为， 把代入得：， 解得：， ； （4）解：能，理由见详解 令，即， 解得：， 令，即， 解得：， ， ， ， 该运动员能完成空中动作． 故答案为：能． 13．（2024·北京丰台·一模）一般来说，市面上某种水果出售量较多时，水果的价格就会降低．这时，将水果进行保鲜存储，等到价格上升之后再出售，可获得更高的出售收入．但是保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大，因此出售水果获得的收益要从出售价格中扣除保鲜存储成本．某水果公司的调研小组收集到去年一段时间内某种水果当日每千克的出售价格和保鲜存储成本的部分数据如下：设水果保鲜存储的时间为t天（），当日每千克水果出售价格为元，每千克水果保鲜存储成本为元． t 1 2 5 8 10 12 14 16 18 20 (1)根据表格中的数据，第8天每千克水果的收益为______元； (2)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作t的函数，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，将水果保鲜存储第______天至第______天（结果取整数）时，出售每千克水果所获得的收益超过4元． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)3，14 【分析】本题考查从函数图像获取信息； （1）由表格可得，第8天每千克水果的收益为 （2）在平面直角坐标系中描点，再用平滑曲线连接这些点即可； （3）根据每千克水果的收益为，由函数图象可得答案． 【详解】（1）解：由表格可得：第8天每千克水果出售价格为元，每千克水果保鲜存储成本为元 ∴第8天每千克水果的收益为 （2）解：如图， （3）解：每千克水果的收益为，由函数图象可得，将水果保鲜存储第3天至第14天时，出售每千克水果所获得的收益超过4元 14．（2024·北京平谷·一模）光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在至气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 光合作用产氧速率（） 呼吸作用耗氧速率（） (1)通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象； (2)结合函数图象，解决问题：（结果取整） ①最适合草莓生长的温度约为______℃； ②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查了函数的应用，描点并作出函数图象是解题的关键． （1）描点并用光滑的曲线连接起来即可； （2）①根据图象，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大时对应的温度最适合草莓生长；②根据图象作答即可． 【详解】（1）解：描点及图象如图所示： （2）①由图象可知，当时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大， 故答案为：； ②由图象可知，当或时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率． 15．（2024·北京石景山·一模）某农科所的科研小组在同一果园研究了甲、乙两种果树的生长规律．记果树的生长时间为 （单位：年），甲种果树的平均高度为（单位：米），乙种果树的平均高度为（单位：米）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 1.00 2.50 5.00 7.50 9.00 9.64 9.87 9.95 9.98 10.00 10.00 1.50 4.24 5.67 5.95 5.99 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)当甲种果树的平均高度达到8.00米时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）；当乙种果树的平均高度为5.00米时，两年后平均高度约为 米（结果保留小数点后两位）； (3)当甲、乙两种果树的平均高度相等时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)见详解； (2)答案不唯一，如， (3)答案不唯一，如 【分析】本题考查了一次函数的应用，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． （1）先根据对应和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可． （2）分别根据所求果树高度在图上水平划线，与、交点的横坐标即为生长时间． （3）当甲、乙两种果树的平均高度相等时，即=，在图上找到、交点所对应的即为生长时间． 【详解】（1）解：如图，根据对应和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可． （2）解：当时，在图上找到约为， 当时，在图上找到约为，两年后即时，约为5.98． 故答案为，（答案不唯一）． （3）解：当甲、乙两种果树的平均高度相等时，即=，在图上找到、交点所对应的即为生长时间，即约为． 故答案为（答案不唯一）． 16．（2024·北京通州·一模）某部门研究本公司生产某种产品的利润变化y（万元）与生产总量x（吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x（吨）时，所获得的利润记为p（万元），公司生产x吨产品所获得的利润与生产吨产品获得的利润之差记为y（万元）． 例如：当时，，当时，．所以，当时，；当时，，当时，．所以，当时，． 记录的部分数据如下： x 0           1           2      3      4      5      6 p                                                                  y           m                     n           根据以上数据，解决下列问题： (1)________，_______． (2)结合表中的数据，当时可以用函数刻画利润的变化量y（万元）和生产总量x（吨）之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象． (3)结合数据，利用所画的函数图象可以推断： ①当生产总量约为________吨（精确到），利润变化值y最大． ②当生产总量约为________吨（精确到），利润开始降低．    【答案】(1) (2)见详解 (3)①（答案不唯一，介于）；②（答案不唯一，介于） 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意并掌握描点作图的方法是解题的关键． （1）根据题意和举例的计算方法求出和的值即可； （2）将表格中数据对描点并连线即可； （3）①根据图象作答即可； ②时对应的值即为答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴当时，； 当时，， 当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）描点并作图如图所示：    （3）①由图象可知，当生产总量约为吨时，利润变化值最大； ②由图象可知，当生产总量约为吨时，利润变化值，之后利润开始降低． 故答案为：，． 17．（2024·北京朝阳·一模）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：L），水温（单位： ）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从开始加热至水量与时间对照表 表2 1L水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数． (1)写出表中的值； (2)根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当时， ； (3)假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为 的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于的水． 【答案】(1) (2)①图见解析；② (3)不能 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键． （1）在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升，从而计算出每增加分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可； （2）①描点并连线即可； ②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到．在这个过程中每分钟，水温升高，从而求出每增加分钟水上升的温度，据此列方程求出，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少； （3）由表1可知，的水从加热到需要分，此时离出门还剩（分）；根据表2，计算水温从降到需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论． 【详解】（1）解：在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升， （）， ∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升， ∴， ∴． （2）解：①补全水温与时间的函数图象如图所示： ②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到． 在这个过程中每分钟，水温升高，则每1分钟水温升高（）， 由此得， 解得， （分）， 根据表2的数据可知，经过分后水温降到了， ∴当时，． 故答案为：； （3）解：由表1可知，的水从加热到需要分，（分）， 由表2可知，水温从降到需要（分）， ∵，且电源已关闭， ∴出门前，他不能喝到低于的水． 故答案为：不能． 18．（2024·北京顺义·一模）为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：）的关系，该小组选取甲，乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量，所得数据如下： 衣物类别P含量 浸泡时长 甲类 乙类 0 80 79 2 37 32 4 31 25 6 29 21 8 28 18 10 27 17 12 27 16 (1)设浸泡时长为x，甲，乙类衣物中P的含量分别为，，在平面角坐标系中，描出表中各组数值所对应的．点，，并画出函数，的图象； (2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为______（精确到）； (3)根据衣物中P的含量（单位：）将衣物分为A级（含量）、B级（含量）和C类（含量）．若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为____（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A级标准至少需要浸泡_____（精确到）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)乙； 【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息： （1）先描点，再连线画出对应的函数图象即可； （2）根据函数图象求解即可； （3）根据表格中的数据可知当浸泡时长不超过，只有乙的P含量可能低于20，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙，再结合函数图象求出浸泡时间即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：由函数图象可知当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为， 故答案为：； （3）解：由表格中的数据结合函数图象可知，当浸泡时长不超过时，甲含P的最低量大于20，乙的最低含量可以小于20， ∴经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙， 观察函数图象可知，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡， 故答案为：乙；． 19．（2024·北京海淀·一模）某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． (1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· (2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； (3)现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)，7 (3) 【分析】（1）根据表二中两种方式每天累计领取听书时长的数字规律，即得答案； （2）根据表二中的数据变化情况及图中两线的交点情况，即得答案； （3）由已知可得选择方式一只需打卡1天，选择方式二需打卡3天，由此即得答案． 【详解】（1）表二中，对于方式一，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 对于方式二，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 故答案为：，． （2）由表二的数据可知，表示方式二变化趋势的虚线是a，第7天开始，曲线a上点的纵坐标大于射线b上对应点的纵坐标， 即选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； 故答案为：，7． （3）该有声读物的听书时长不超过， 选择方式一只需打卡1天， 选择方式二需打卡3天， t的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字规律的探求，函数的表示方法,从函数图象获取信息及求函数值的取值范围等知识，正确理解题意是解题的关键． 20．（23-24九年级上·北京·期末）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，(单位：克)． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x(分钟) 0 5 10 15 20 … (克) 25 23.5 20 14.5 7 … (克) 25 20 15 10 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； (2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式； (3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，则 (填“＞”，“=”或“＜”)． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)＞ 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解； （2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可； （3）依据题意，分别求出当时x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，作图如下． ； （2）解：由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系. 又点在函数图象上， ∴． 解得：． ∴场景A函数关系式为． 对于场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系 又在函数图象上， ∴． 解得：． ∴场景B函数关系式为． （3）解：由题意，当时， 场景A中， 场景B中，， 解得：， ∴． 21．（2023·北京海淀·三模）天桥中幡是第一批被正式列入非遗名录的杂技艺术，2023年的春晚舞台上，中幡杂技表演《龙跃神州》成为一大亮点，其中有一个环节，若干个杂技演员等距排成一列，由第一位杂技演员将中幡向后高高抛出，最后一位杂技演员用头部接住中幡，中幡底部在空中运动的路线可以看作是抛物线的一部分．以第一位杂技演员的立足点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，中幡从抛出到被接住的过程中，中幡底部的竖直高度y（单位：m）和水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．    某次训练，中幡底部的水平距离x和竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 0.8 2 2.8 4 4.8 p 竖直高度y/m 2 2.96 3.8 3.96 3.6 2.96 2 根据上述数据，回答下列问题： (1)表格中的______． (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)若这次训练相邻两位演员的间距都为，最后一位演员身高为，当中幡底部位于距头部水平距离小于等于0.6米，距头部竖直距离小于等于0.3米，可以成功接到中幡，若此次训练成功，则舞台上至少______位演员． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，再根据对称性即可得； （2）根据（1）可知抛物线的顶点坐标为，从而可得，，再将点代入计算即可得； （3）设舞台上有位演员，最后一位演员成功接到中幡时，中幡底部的水平距离为米，则从第一位杂技演员到最后一位演员的水平距离为米，中幡底部的竖直高度米，根据题意建立不等式组，利用二次函数的图象解不等式组，由此即可得． 【详解】（1）解：由表格可知，抛物线的对称轴为直线， 则由对称性得：， 故答案为：． （2）解：由（1）可知，抛物线的顶点坐标为， 则，， 将点代入得：， 解得， 则满足条件的抛物线的解析式为． （3）解：设舞台上有位演员，最后一位演员成功接到中幡时，中幡底部的水平距离为米，则从第一位杂技演员到最后一位演员的水平距离为米，中幡底部的竖直高度米， 由题意得：，即， 解方程得：或， 画出二次函数的图象如下：      由函数图象可知，不等式②的解集为或， 若此次训练成功，即不等式组有解，则， 解得， ，即， ， 又为正整数， 的最小值为6， 即舞台上至少6位演员， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 22．（2023·北京海淀·模拟预测）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式近似为（）．      (1)在某次安装调试过程中，测得与的部分对应值如下表： 水平距离 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 竖直高度 2.25 2.8125 3 2.8125 2.25 1.3125 0 根据表格中的数据，解答下列问题： ①水管的长度是______m； ②求出与满足的函数解析式（）； (2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试： ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为； ②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足，水柱落地时与池中心的距离为．则比较与的大小关系是：______（填“”或“”或“”） 【答案】(1)①2.25；② (2) 【分析】（1）①根据当时，即可求解； ②根据待定系数法求解即可； （2）先求出调试①的抛物线解析式，然后令可求出求出，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴水管的长度是2.25m； ②把，；，；，，分别代入， 得， 解得， ∴ （2）解∶∵不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m， ∴向上平移1个单位， ∴平移后的解析式为，即， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 对于， 当时， ， 解得，（不符合题意，舍去） ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 23．（2023·北京平谷·二模）某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞与两组副桥洞分别位于轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞上，与近似满足函数关系．经测量在主桥洞上得到与的几组数据：    (米) (米) 根据以上数据回答下列问题： (1)求主桥洞的函数表达式； (2)若的表达式：，的表达式：，求五个桥洞的总跨度的长． 【答案】(1) (2)五个桥洞的总跨度的长为米 【分析】（1）由表可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）根据二次函数的平移，分别令，，，求得每个桥洞的跨度即可求解． 【详解】（1）由表可知，抛物线的顶点坐标为 ∴抛物线的解析式为 ∵抛物线过点．解得 （2）令， 解得：， ； ∵的表达式：，的表达式： 由题意抛物线与抛物线上之间的部分重合， 即将向下移动 当时， 解得：， ； 由题意抛物线与抛物线上之间的部分重合， 即将向下移动， 当时， 解得：， ∴ ∴五个桥洞的总跨度的长为米．    【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图像，理解题意，灵活的运用抛物线的对称性解题是关键． 24．（2023·北京·二模）某蔬菜批发基地为指导2023年的番茄销售，对历年的市场行情和供求情况进行了调查统计，得到番茄的售价x(单位：元/千克)与相应需求量(单位：吨)以及供给量(单位：吨)的几组数据： 售价x/元/千克 … 2 3 4 5 6 … 需求量/吨 … 9.5 8.875 8 6.875 5.5 … 供给量/吨 … 1 2 3 4 5 … (1)根据表中数据，供给量与售价x之间满足 函数关系(填“一次”、“二次”或“反比例”)，它的函数表达式为 ；需求量与售价x之间近似满足函数关系，它的函数表达式为 ． (2)在同一平面直角坐标系中，画出(1)中所确定的函数的图象； (3)结合函数图象，解决问题：为使番茄的供需平衡(即供给量与需求量相等)，售价应定为 元/千克． 【答案】(1)一次，， (2)见解析 (3)6.2 【分析】（1）根据表格中数据的特点可解答空1和空2，用待定系数法可解答空3； （2）根据表中数据描点、连线即可； （3）根据图象解答即可． 【详解】（1）由表中数据可知，供给量比售价少1，所以供给量与售价x之间满足一次函数关系，它的函数表达式为； 把和代入，得 ， 解得 ， ∴． 故答案为：一次，，； （2）描点，连线，得 （3）由函数图象可知，为使番茄的供需平衡(即供给量与需求量相等)，售价应定为6.2元/千克． 故答案为：6.2． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，以及二次函数的应用，掌握待定系数法、数形结合是解答本题的关键． 25．（2023·北京丰台·二模）学校新建的体育器材室的一面外墙如图1所示，它的轮廓由抛物线和矩形构成．数学兴趣小组要为器材室设计一个矩形标牌，要求矩形的顶点E，H在抛物线上，顶点F，G在矩形的边上．为了设计面积最大的矩形，兴趣小组对矩形的面积与它的一边的长之间的关系进行研究．    具体研究过程如下，请补充完整． (1)建立模型： 以的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，通过研究发现，抛物线满足函数关系．设矩形的面积为，的长为，则另一边的长为_______m（用含a的代数式表示），得到S与a的关系式为：_________； (2)探究函数： 列出S与a的几组对应值： … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 … … 0.49 0.94 1.29 1.50 1.52 1.31 0.82 … 在下面的平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象；    (3)解决问题： 结合函数图象得到，的长约为__________m时，矩形面积最大． 【答案】(1)； (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）把代入即可求出，然后利用矩形面积公式即可求出S与a的关系式； （2）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象即可； （3）根据图象的顶点坐标即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴． 当时，， ∴． ∴． 故答案是；． （2）正确画出该函数的图象，如下图：    （3）结合函数图象可得到，时，取得最大值， ∴的长约为时，矩形面积最大． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 26．（2023·北京昌平·二模）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高的墙体处，另一端固定在离地面高的墙体处，记大棚的截面顶端某处离的水平距离为，离地面的高度为，测量得到如下数值： 0 1 2 4 5 1    小梅根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小梅的探究过程，请补充完整： (1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；    解决问题： (2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________；此时距离的水平距离为___________； (3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好，若在距离处水平距离的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少？（灯的大小忽略不计） 【答案】(1)见解析 (2)4；3 (3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是． 【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象； （2）结合图表回答，即可解答； （3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令，求得函数值，即可解答． 【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，   ； （2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为；此时距离的水平距离为； 故答案为：4；3； （3）解：设抛物线的解析式为， 把，，，代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ， 答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象是解题关键． 27．（2023·北京朝阳·一模）一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种． 测得一些数据如下： 滑行时间t/s 0 1 2 3 4 滑行距离s/m 0 2 6 12 20 (1)s是t的 函数（填“一次”、“二次”或“反比例”）； (2)求s关于t的函数表达式； (3)已知第二位滑雪者也从坡顶滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足函数关系．记第一位滑雪者滑完全程所用时间为，第二位滑雪者滑完全程所用时间为，则___（填“<”，“=”或“>”）． 【答案】(1)二次 (2) (3)> 【分析】（1）根据自变量增加1时，函数值依次增加2，4，6，8，可得出结论； （2）待定系数法求出函数解析式； （3）时，分别求出，，再比较大小． 【详解】（1）解：根据自变量增加1时，函数值依次增加2，4，6，8，可判断为二次函数， 故答案为：二次． （2）解：设s关于t的函数表达式为， 根据题意，得 解得 ∴s关于t的函数表达式为． （3）解：根据题意， 当时，， ∴ 故答案为＞． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式是解题的关键． 28．（2023·北京海淀·模拟预测）数学活动课上，老师提出一个探究问题： 制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3dm，且不考虑接缝）． 某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小． 下面是他们的探究过程，请补充完整： (1)设长方体包装盒的底面边长为，表面积为． 可以用含的代数式表示长方体的高为． 根据长方体的表面积公式：长方体表面积． 得到与的关系式：___________________（）； (2)列出与的几组对应值： … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 80.5 42.0 31.2 28.5 31.3 （说明：表格中相关数值精确到十分位） 表中_____________． (3)在下面的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象： (4)结合画出的函数图象，解决问题： 长方体包装盒的底面边长约为_________dm时，需要的材料最省；当长方体包装盒表面积为时，底面边长约为____________dm． 【答案】(1) (2)28 (3)见解析 (4)2.2，1.7 【分析】（1）根据长方体的表面积公式求解即可； （2）求出时，y的值即可； （3）利用描点法画出函数图像即可； （4）利用图象法判断即可． 【详解】（1）由题意，； 故答案为：； （2）当时，； 故答案为：28； （3）函数图像如图所示： （4）观察图象可知，当x约为时，需要的材料最省．当长方体包装盒表面积为时，底面边长约为 故答案为：2.2，1.7． 【点睛】本题考查了长方体的知识，函数图像等，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 29．（22-23九年级上·北京昌平·期末）小张在学校进行定点处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方出手，篮球架上篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为米时，球心距离地面的高度为米，现测量第一次投篮数据如下： 0 2 4 6 … 1.8 3 3.4 3 … 请你解决以下问题： (1)根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； (2)若小吴在小张正前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成功阻止），他跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小吴能否阻止此次投篮？并说明理由； (3)第二次在定点处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？ 【答案】(1)见解析 (2)小昊不能阻止此次投篮 (3)0.275米 【分析】（1）先描出点，，，，再用平滑曲线连接即可； （2）先求出抛物线解析式，再求出当的y值与2.4比较即可； （3）求出当时的y值，再用即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：小昊不能阻止此次投篮． 理由：设抛物线解析式为，把，，代入，得 ，解得：， ∴， 当时，则， ∵， ∴小昊不能阻止此次投篮． （3）解：对于抛物线， 当时，， (米)， ∵第二次在定点处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方， ∴小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高0.275米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数的图象性质是解题的关键． 30．（2022·北京朝阳·二模）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米， 请解决以下问题： d（米） 0 1.0 3.0 5.0 7.0 h（米） 3.2 4.2 5.0 4.2 1.8 (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度； (3)求所画图象对应的函数表达式； (4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) (4)72米 【分析】（1）在表格中建立坐标系，然后描点、连线即可； （2）观察图象即可； （3）由表中点（1.0，4.2），（5.0，4.2），可确定抛物线的对称轴及顶点坐标，则设抛物线解析式为顶点式即可，再找点（1.0，4.2）代入即可求得解析式； （4）在求得的解析式中令h=0，则可求得d的值，即可确定所需护栏的长度． 【详解】（1）坐标系及图象如图所示． （2）由图象知，水柱最高点距离湖面的高度为5米． （3）∵抛物线经过点（1.0，4.2），（5.0，4.2）， ∴抛物线的对称轴为． ∴抛物线的顶点坐标为（3.0，5.0）． 设抛物线的函数表达式为． 把（1．0，4.2）代入，解得． ∴所画图象对应的函数表达式为． （4）令，解得（舍），． ∴每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为8米． ∵这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米， ∴正方形护栏的边长至少为18米． 则公园至少需要准备18×4=72（米）的护栏． 【点睛】本题是二次函数的实际问题，考查了画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，二次函数的相关知识是解题的关键． 31．（2022·北京平谷·二模）一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，已知铅球行进过程中的水平距离与离地面的高度的部分数据及图象如下． x（米） 0 1 2 3 4 5 … y（米） 1.67 2.25 2.67 2.92 3.00 2.92 … 请解决以下问题： (1)在平面直角坐标系中，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接，补全图形； (2)根据图象估出铅球落地时的水平距离（单位：m，精确到0.1）； (3)在铅球行进过程中，当它离地面的高度为2.5m时，根据图象估出铅球的水平距离（单位：m，精确到0.1）． 【答案】(1)补全图形见解析 (2)约为10.0m (3)约为1.5m或6.5m 【分析】（1）根据二次函数的对称性用平滑曲线连接即可． （2）根据二次函数图象与x轴交点的横坐标求解即可． （3）根据二次函数与一元二次方程关系求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如下． （2）解：观察（1）中图象可知其与x轴交点的横坐标约为10.0． 所以铅球落地时的水平距离约为10.0m． （3）解：如下图所示，在平面直角坐标系中作直线y=2.5，与二次函数图象交于点A和点B． 观察点A与点B的位置，点A的横坐标约为1.5，点B的横坐标约为6.5． ∴当铅球离地面的高度为2.5m时，铅球的水平距离约为1.5m或6.5米． 【点睛】本题考查画二次函数图象，二次函数的对称性，二次函数与x轴交点问题，二次函数与一元二次方程关系，正确应用数形结合思想是解题关键． 32．（2022·北京石景山·二模）某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为，距地面的竖直高度为，获得数据如下： 0.0 1.0 2.0 3.0 4.5 1.6 3.7 4.4 3.7 0.0 小景根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小景的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (2)水流的最高点距喷水枪的水平距离为________m； (3)结合函数图象，解决问题：公园准备在距喷水枪水平距离为处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_____m． 【答案】(1)见解析 (2)2.0 (3)2.8 【分析】（1）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，用光滑的曲线顺次连接即可； （2）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出解析式，把抛物线的解析式化成顶点式，即可得到答案； （3）把x＝3.5代入（2）中求出的抛物线的解析式即可求得答案． 【详解】（1）解：函数图象如图所示： （2）解：∵ 喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分， ∴设抛物线的解析式为， 把（0，1.6），（1，3.7），（2，4.4），分别代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵＝， ∴当x＝2时，y取最大值4.4， 故水流的最高点距喷水枪的水平距离为2.0m． 故答案为：2.0． （3）解：∵抛物线的解析式为＝， ∴当x＝3.5时，y＝＝2.825≈2.8， ∴石柱的高度约为2.8m， 故答案为：2.8． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用问题，也考查了描点法画函数图象、待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式． 33．（2022·北京丰台·二模）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据： x/m 0 10 20 30 40 50 60 y/m 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 33.0 16.8 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们： (2)观察发现，（1）中的曲线可以看作是_________的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为_______m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点； (3)乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点_________（填写“高”或“低”）约_________m（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)见详解 (2)抛物线；14.4m (3)高；3.2m 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据图表求解即可； （3）根据图表求解即可； 【详解】（1）解：如图， （2）根据所学函数，（1）中的曲线可以看作是抛物线的一部分； 结合图象，图象的最高点在10m到20m之间，可推断出水平距离约为14.4m时，甲运动员起跳后达到最高点； （3）61-57.8=3.2m 乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点高约3.2m． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握相关知识是解题的关键． 34．（2022·北京密云·二模）某景观公园计划在圆形水池内修建一个小型喷泉，水柱从池中心且垂直于水面的水枪喷出，水柱喷出后落于水面的形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离水面的高度为h米． d（米） 0 0.5 1.0 1.5 2.5 h（米） m 3.2 3.6 3.2 0 请解决以下问题： (1)请结合表中所给数据，直接写出水柱最高点距离水面的高度为______米． (2)在网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中已知各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． (3)求表格中m的值． (4)以节水为原则，为体现公园喷泉景观的美观性，在不改变水柱形状的基础上，修建工人打算将水枪的高度上升0.4米．若圆形喷水池的半径为3米，提升水枪高度后水柱是否会喷到水池外面？请说明理由．（其中） 【答案】(1)3.6 (2)见解析 (3)2 (4)提升水枪高度后水柱不会喷到水池外面．理由见解析 【分析】（1）根据表中所给数据，找到对称轴和顶点的坐标，即可写出水柱最高点距离水面的高度； （2）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可； （3）设二次函数的顶点式，求出解析式后，求解即可； （4）由题意，设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由表格中所给数据知， 当 d＝0.5米时，h＝3.2米； 当 d＝1.5米时，h＝3.2米； ∴ 抛物线的对称轴为直线d＝， ∵ 当d＝1时，h＝3.6米， ∴ 抛物线的顶点坐标为（1，3.6）， ∴水柱最高点距离水面的高度为3.6米． 故答案为：3.6； （2）解：该函数的图象如图所示， （3）解：根据图象设二次函数的解析式为h＝a（d﹣1）2+3.6， 将（2．5，0）代入h＝a（d﹣1）2+3.6得 0＝a（2.5﹣1）2+3.6， 解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为h＝﹣（d﹣1）2+3.6， 即h＝﹣d2+d＋2， 把（0，m）代入解析式得 m＝2， ∴表格中m的值为2． （4）解：由题意知提升水枪高度后抛物线的解析式为h＝﹣d2+d＋2＋0.4， 即h＝﹣d2+d＋2.4， 当h＝0时，0＝﹣d2+d＋2.4， 解得d1＝，d2＝（不合题意，舍去）， ∴ d＝≈2.6， ∵2．6＜3， ∴提升水枪高度后水柱不会喷到水池外面． 【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型． 35．（2022·北京大兴·二模）一个滑雪者从山坡滑下，如果不计其他因素，经测量得到滑行距离y（单位：米）与滑行时间x（单位：秒）的数据（如下表）： 滑行时间x（秒） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … 58 滑行距离y（米） 0 1.2 2.6 4.4 6.4 8.8 11.4 14.4 17.6 … 2134.4 请解决以下问题： (1)如下图，在平面直角坐标系xOy中，根据表中数值描点，请你用平滑曲线连接描出的这些点； (2)当滑雪者滑行3秒时，滑行距离是________米； (3)下面三个推断： ①曲线上每一个点都代表x的值与y的值的一种对应 ②自变量x的取值范围是 ③滑行最远距离是2134.4米 所有推断正确的序号是___________ 【答案】(1)见解析 (2) (3)①③ 【分析】（1）用一条平滑的曲线将各点依次连接即可； （2）根据表格中的信息可得出答案； （3）根据表格中的数据进行分析即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：根据表格可知，当滑行者滑行秒时，滑行距离是米； （3）解：①曲线上每一个点都代表的值与的值的一种对应，推断正确； ②自变量的取值范围是，推断错误； ③滑行最远距离是米，推断正确． 综上，所有推断正确的序号是①③． 【点睛】本题考查了描点法作函数图象，用表格表示变量之间的关系，解决本题的关键是从表格中获取必要的信息． 36．（2022·北京顺义·二模）如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米． 通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y（米） 0 1.75 3 3.75 4 3.75 3 1.75 0 (1)拱桥顶面离水面AB的最大高度为______米； (2)请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； (3)测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据表格数据即可求解； （2）根据描点法画二次函数解析式； （3）根据题意求得船顶到拱桥顶面的距离即可求解． 【详解】（1）由表格可知当时，， 拱桥顶面离水面AB的最大高度为4米． （2）以为原点，所在直线为轴，建立坐标系如图， （3）不能，理由如下， 根据表格可知对称轴为，顶点坐标为，设抛物线解析式为，将代入得 ， 解得， 抛物线解析式为， 根据题意时，， ， 游船不能安全通过． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，描点法画二次函数图象，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 37．（2022·北京门头沟·二模）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米． d（米） … 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 … h（米） … 3.40 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15 … 请你解决以下问题： (1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； (2)结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度； (3)求起跳点A距离地面的高度； (4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？ 【答案】(1)见解析 (2)4.75米 (3)米 (4)不成功；应调节人梯到起跳点的水平距离为米或米才能成功． 【分析】（1）建立直角坐标系，将表格中的点描在坐标系内，再用一条平滑的曲线依次连接； （2）根据表格中的数据或函数图象分析的最大值即可； （3）利用待定系数法求出函数的解析式，令，求； （4）对比表格中的数据可知时，故不成功，只需计算当时的大小，由此可知调节人梯的方案． 【详解】（1）解：如图所示. （2）解：由图可知，演员身体距离地面的最大高度为米. （3）解：设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得． 该抛物线为． 当时，． 起跳点离地面的高度为米． （4）解：由表格可知，当时，，故不成功． 令，即， 解得或． 应调节人梯到起跳点的水平距离为米或米才能成功． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的作图，解决本题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 38．（2022·北京昌平·二模）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为． 与的几组对应值如下表： （单位：） 0 1 2 3 4 … （单位：） 1 2 … (1)该喷枪的出水口到地面的距离为________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出与的函数图像； (3)结合（2）中的图像，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为________（精确到）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________（精确到） 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)3，18 【分析】(1)令x=0时，求得y值即可． (2)按照描点，连线的基本步骤画函数图像即可． (3)先确定直线y=kx+b，当x=8时，求得y=3，设抛物线解析式为，把(0，1)代入解析式，确定a=，得到抛物线解析式，令y=0，求得x的值即可． 【详解】（1）令x=0时，得y=1， 故答案为：1． （2）根据题意，画图如下： ． （3）设直线为y=kx+b，根据题意，得 ， 解得， 故直线的解析式为， 当x=8时， 得(m)， 故抛物线的顶点坐标为(8，3)， 设抛物线解析式为， 把(0，1)代入解析式， 解得a=， ∴， 令y=0，得， 解得x=，或 x=（舍去）， 且x=≈17.79≈18(m)， 故答案为：3，18． 【点睛】本题考查了一次函数图像的画法，待定系数法确定一次函数的解析式，顶点式确定抛物线的解析式，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，选择顶点式确定二次函数的解析式是解题的关键． 39．（2022·北京海淀·二模）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150 km/h）进行测试，测得数据如下表： 车速v（km/h） 0 30 60 90 120 150 刹车距离s（m） 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75 (1)以车速v为横坐标，刹车距离s为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)由图表中的信息可知： ①该型汽车车速越大，刹车距离越　　　　（填“大”或“小”）； ②若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为　　　　km/h； (3)若该路段实际行车的最高限速为120 km/h，要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距应超过　　　　m． 【答案】(1)见解析 (2)① 大；② 100； (3)158.4 【分析】（1）依题意描点连线即可． （2）①从所画的图像可以看出：s随v的增大而增大，据此解答即可；从图像可以看出：若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为100km/h； （3）从图像可以看出：该车的速度约为120km/h，则该型汽车测试的刹车距离为52.8 m， 据此解答即可． 【详解】（1）如图所示： （2）①从所画的图像可以看出：s随v的增大而增大， ∴该型汽车车速越大，刹车距离越大； ②从图像可以看出：若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为100km/h； 故答案为：① 大；② 100； （3）从图像可以看出：该车的速度约为120km/h，则该型汽车测试的刹车距离为52.8 m， ∴该路段实际行车的最高限速为120 km/h，要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距应超过158.4m． 故答案为：158.4 【点睛】本题考查从函数中获取信息．此题为数学建模题，借助函数图像解决实际问题． 40．（2022·北京东城·一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； (3)结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 【答案】(1)d，h (2)见解析 (3)①0.88；②则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【分析】（1）根据函数的定义即可解答； （2）描点，连线，画出图象即可； （3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案． 【详解】（1）解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数； 故答案为：d，h； （2）解：描点，连线，画出图象如图： ； （3）解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米； 故答案为：0.88； ②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88， 把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88， 令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2， 解得d3.3或d0.7， ∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式． 41．（2022·北京大兴·一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的喷水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条曲线．现有一个垂直于湖面的喷水枪，在距喷水枪水平距离为x米处，水柱距离湖面高度为y米．经测量得到如下数据： （米） 0 1 2 3 4 5 6 … （米） 2.50 2.88 3.00 2.87 2.50 1.88 1.011 … 请解决以下问题： (1)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中y与x各对对应值为坐标的点．请根据描出的点，画出这条曲线； (2)结合所画曲线回答： ①水柱的最高点距离湖面约______米； ②水柱在湖面上的落点距喷水枪的水平距离约为______米； (3)若一条游船宽3米，顶棚到湖面的高度2米，为了保证游客有良好的观光体验，游船需从喷泉水柱下通过，如果不计其他因素，根据图象判断______（填“能”或“不能”）避免游船被喷泉喷到． 【答案】(1)见解析 (2)3，6.9 (3)能，理由见解析 【分析】（1）用一条光滑的曲线连接即可； （2）①结合函数图象观察即可得到；②延长至轴，即可判断； （3）作这条线与抛物线交于，通过判断横坐标与3进行比较即可． 【详解】（1）解：连点如下： （2）解：①由图： 当米时，水柱达到最高点， 最高点距离湖面约3米； ②延长至轴，如下图： 水柱在湖面上的落点距喷水枪的水平距离约为6.9米， 故答案是：3，6.9； （3）解：作这条线与抛物线交于， 从图上看米左右， ， 能避免游船被喷泉喷到， 故答案为：能． 【点睛】本题考查了二次函数图象、二次函数的应用，解题的关键是利用数形结合的思想求解即可． 42．（2022·北京房山·一模）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米． 请解决以下问题： (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)请结合所画图象，写出抛物线的对称轴； (3)今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道． 【答案】(1)见解析 (2)直线x=2 (3)不能通过隧道 【分析】（1）由题意描出点A(0,3)、B(1,3.75)、C(4,3)及点D(3,3.75)，用光滑的曲线连接起来即可得到所画的曲线； （2） 【详解】（1） （2）由图象知，抛物线的对称轴为直线x=2 （3）设抛物线的解析式为 把A、B、C三点的坐标代入得： 解得： 故函数解析式为 当时， ∵3．64−3．2=0．44<0．6 ∴卡车不能通过隧道 【点睛】本题是二次函数的实际应用问题，考查了建立适当坐标系画二次函数的图象，求二次函数图象的对称轴、解析式及函数值等知识，能够根据实际问题转化为数学问题并解答． 43．（2022·北京西城·一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值： x/m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.37 y/m 2.44 3.15 3.49 3.45 3.04 2.25 1.09 0 小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； (2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）； (3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）． 【答案】(1)见解析； (2)出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m； (3)出水口至少需要降低0.52m． 【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线画出图象； （2）设y=ax²+bx+2.44，将点(1，3.49)，(2，3.04)代入求出解析式，然后求出对称轴即可； （3）根据水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，得出a，b不变，只有c改变，将x=3.2代入求解即可． 【详解】（1）如图所示： （2）由图象可得：当x=0时，y=2.44， ∴c=2.44，设y=ax²+bx+2.44， 将点(1，3.49)，(2，3.04)代入得：，解得：， ∴y=-0.75x²+1.8x+2.44， ∴抛物线的对称轴为：， ∴y=-0.75×1.2²+1.8×1.2+2.44=3.52， ∴出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m； （3）为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，此时y=ax²+bx+c中，a，b不变，只有c改变， ∴y=-0.75×3.2²+1.8×3.2+c，解得c=1.92，2.44-1.92=0.52(m)， ∴出水口至少需要降低0.52m． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，解题的关键是数形结合并熟练掌握待定系数法． 44．（2022·北京通州·一模）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 y（米） 3.00 3.44 3.76 3.94 3.99 3.92 3.78 3.42 3.00 (1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米； (2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象． (3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）． 【答案】(1)3.99 (2)见解析 (3)是 【分析】（1）根据二次函数的对称性可知：当时，有最大值； （2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系； （3）在中，令，求得相应的值，结合其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．从而判断该货车是否能安全通过. 【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知：当时，有最大值为3.99； 故答案为：3.99； （2）解：如图，建立直角坐标系， （3）解：将代入，得： ，解得：， 抛物线的表达式为； 在中，令，得： ， 车厢最高点到隧道顶面的距离大于0.5米， 该货车能安全通过； 故答案为：是． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法是解题的关键． 45．（2022·北京海淀·一模）数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则 ，    ① ，    ② 由①式得，代入②式得 ．    ③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）． 【答案】①大；②或 【分析】①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当时，，当时，，进而可比较当与时，的值的大小， ②根据函数图象求解即可 【详解】解：①（2）中的表格中数据可知，当时，，当时，，根据函数图象可知，当时，随的增大增大，当时，随的增大而减小， 时，,时， 半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大 故答案为：大 ②根据函数图象可知，当时，或 故答案为：或 【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键． 46．（2022·北京·一模）某地想要建造儿童直线斜坡轨道滑车设施（如图），为防止滑车下滑速度过快，轨道与地面夹角要适度，根据儿童能够在斜坡轨道上的滑行时间来确定直线斜坡轨道的长度．为解决此问题，小明用小车沿斜面滑下的实验来模拟此过程．借助打点计时器（一种测量短暂时间的工具，每隔0.02s打一次点），让小车带动纸带通过打点计时器，再按顺序测得相邻各点之间的距离数据如下表： 时间（秒） 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 相邻各点的距离（厘米） 0 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0 (1)当时间为0.04秒时，滑行距离是______厘米； (2)请在下图网格中建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，以滑行距离为纵坐标，根据表格中的数据计算并描点，用平滑的曲线连起来； (3)通过计算确定滑车能够在斜坡轨道上滑行10秒时直线斜坡轨道的长度． 【答案】(1)0.8 (2)见解析 (3)250米 【分析】（1）根据表格即可求得答案； （2）设时间为x秒，滑行距离为y cm，计算出y的对应值，画出图象即可； （3）根据图象求出二次函数解析式，再把x的值代入可得答案． 【详解】（1）解：由表格可知，，， ∴当时间为0.04秒时，滑行距离是0.8厘米； （2）解：如图， （3）根据图象设y=ax2+bx， 把（0．02，0.3）和（0.04，0.8）代入得 解得 ∴y与x的关系式为y=250x2+10x， 当x=10时，y=250×100+10×10=25100， 答：滑行10秒时直线斜坡轨道的长度是251m． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练应用待定系数法确定函数关系式是解题关键． 试卷第4页，共92页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$