专题21 投影与视图-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题21 投影与视图 课标要求 考点 考向 1．通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面等； 2．通过丰富的事例，了解中心投影和平行投影的概念； 3．会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体； 4．了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型； 5．能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线； 6．会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形； 7．会用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形；． 投影与视图 考向一 三视图 考向二 平行投影与中心投影 考向三 立体图形的展开与折叠 考向四 尺规作图 考点一 投影与视图 ►考向一 三视图 1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱锥 D．长方体 【答案】D 【分析】根据三视图都是长方形即可判断该几何体为长方体． 【详解】解：长方体的三视图都是长方形， 故选D． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟知基本几何体的三视图，正确判断几何体． 2．如图是几何体的三视图，该几何体是（ ） A．圆锥 B．圆柱 C．正三棱柱 D．正三棱锥 【答案】C 【详解】由展开图的特点知识是三棱柱的展开图. 故选C． 3．下图是某个几何体的三视图，该几何体是（    ） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱柱 【答案】D 【详解】解：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，由于主视图和左视图为矩形，可得为柱体，俯视图为三角形可得为三棱柱． 故选D． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体． 4．如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（　　） A．圆锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．三棱锥 【答案】B 【详解】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱， 故选B． ►考向二 平行投影与中心投影 5．一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可． 【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是 故选：B． 【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同． 6．圆形物体在阳光下的投影可能是（   ） A．三角形 B．圆形 C．矩形 D．梯形 【答案】B 【分析】根据在不同时刻、同一物体的影子的方向和大小可能不同逐项进行排查即可． 【详解】解：同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变． 圆形物体在阳光下的投影可能是圆形、线段和椭圆形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行投影，掌握平行投影只改变大小和方向，不改变位置关系成为解答本题的关键． 7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”．答：竹竿的长为 寸． 【答案】450 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为x寸， ∵竹竿的影长寸，标杆长寸，影长寸， ∴， 解得． 答：竹竿长为450寸， 故答案为：450． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． ►考向三 立体图形的展开与折叠 8．如图是某个几何体的三视图，这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是三视图、几何体展开图的认识，解题关键是熟练掌握常见图形的三视图． 由主视图、左视图、俯视图得出该几何体的特征，逐一对照展开图的特征即可求解． 【详解】解：由主视图和左视图可知：该几何体为柱体．俯视图为圆， 该几何体为圆柱， 选项为圆柱的展开图，符合题意； 选项为正方体的展开图，不符合题意； 选项为三棱柱的展开图，不符合题意； 选项为圆锥的展开图，不符合题意． 故选：． ►考向四 尺规作图 9．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 10.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 请回答：该作图的依据是 ． 【答案】故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．（其他正确依据也可以）． 【分析】由AP=AQ、BP=BQ，依据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上知点A、B在线段PQ的中垂线上，据此可得PQ⊥l． 【详解】由作图可知，AP＝AQ，所以，点A在线段PQ的垂直平分线上，同理，点B也在线段PQ的垂直平分线上，所以，有AB⊥PQ． 故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握线段中垂线的性质及过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图． 11.阅读下面材料：在教学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线. 已知：线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线. 小芸的作法如下：如图，（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线. 老师说：“小芸的作法正确.” 请回答：小芸的作图依据是 ， 【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上：两点确定走一条直线． 【知识点】作垂线(尺规作图) 【详解】试题分析：本题考查了线段垂直平分线的作法，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，根据两点决定一条直线，连接CD, 根据线段垂直平分线的性质和线的性质可得线段AB的垂直平分线. 考点：线段垂直平分线的作法；直线的性质 1．（2024·北京·模拟预测）如图为某品牌车型设计图，它的俯视图是哪一张？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的前提．根据俯视图的定义画出这张桌子的俯视图即可． 【详解】解：某品牌车型设计图的俯视图如下： 故选：D． 2．（2024·北京·三模）如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．正方体 【答案】A 【分析】本题考查了根据三视图判断几何体的形状，根据三视图的形状即可判断． 【详解】A、三棱柱的主视图、左视图、俯视图中，有两个是长方形，一个是三角形，故此选项符合题意； B、三棱锥的主视图、左视图、俯视图都是三角形，故此选项不符合题意； C、长方体的主视图、左视图、俯视图都是长方形，故此选项不符合题意； D、正方体的主视图、左视图、俯视图都是正方形，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．（2024·北京西城·二模）如图是某几何体的三视图，该几何体是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据三视图选择符合的几何体即可，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：∵该几何体的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆形， ∴符合的几何体是圆锥， 故选：B． 5．（2024·北京丰台·二模）榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可． 【详解】 解：由题意，得：“榫”的主视图为： 故选：D． 6．（2024·北京石景山·一模）下列几何体中，主视图是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练的掌握简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的视图对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．主视图是正方形，故本选项错误； B．主视图是三角形，故本选项正确； C．主视图是长方形，故本选项错误； D．主视图是圆，故本选项错误． 故选：B． 7．（2024·北京通州·一模）如图是某几何体的三视图，该几何体是（   ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．圆柱 【答案】A 【分析】本题考查了三视图的相关知识，其中主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面观察物体所得到的图形，三视图的掌握程度和空间想象能力是解题关键．结合选项，根据主视图和俯视图确定是柱体，锥体还是球体，再根据左视图确定具体形状． 【详解】解：由主视图和左视图为长方形可知，这个几何体是柱体， 由俯视图为三角形可知，这个柱体是三棱柱， 故选：A． 8．（2024·北京东城·一模）在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：A、球的俯视图是圆，不符合题意； B、四棱柱的俯视图是矩形，符合题意； C、三棱锥的俯视图是三角形，不符合题意； D、圆柱的俯视图是圆，不符合题意； 故选：B． 9．（2024·北京朝阳·一模）如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是（   ） A．三棱柱 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何图的三视图，根据几何体的三视图逐项判断即可求解． 【详解】解：三棱柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项A不符合题意； 长方体的三视图都是矩形，故选项B符合题意； 圆柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项C不符合题意； 正立的圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故选项D不符合题意． 故选：B． 10．（2024·北京海淀·一模）下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图中的俯视图．根据题意逐项判断即可． 【详解】解：A.俯视图是圆，此选项符合题意； B. 俯视图是长方形，此选项不符合题意； C. 俯视图是三角形，此选项不符合题意； D. 俯视图是正方形，此选项不符合题意． 故选：A． 11．（2022·北京西城·一模）如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ）    A．五棱柱 B．圆柱 C．长方体 D．五棱锥 【答案】A 【分析】根据三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此即可得到答案． 【详解】解：由三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此可知这个几何体是五棱柱， 故选A． 【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键在于能够正确理解图中的三视图． 13（2022·北京·一模）下图是某几何体的三视图，该几何体是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．长方体 【答案】A 【分析】根据几何体的三视图，对各个选项进行分析即可得到答案． 【详解】根据主视图是三角形可知，圆柱、三棱锥、长方体不符合要求 根据几何体的三视图，可得该几何体为圆锥 故选：A． 【点睛】本题考查的是几何体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题的关键． 14．（2022·北京·二模）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图． 【详解】A、俯视图是三角形，故本选项符合题意； B、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意； C、俯视图是四边形，四边形的内部有一点与四个顶点相连，故本选项不合题意； D、俯视图是正方形，故本选项不合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，解题的关键是掌握定义，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 15．（2022·北京朝阳·一模）如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ） A．三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱 【答案】A 【知识点】由三视图还原几何体 【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选：A． 【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是熟记一些简单的几何体的三视图． 16．某一时刻，小明测得一高为1m的竹竿的影长为，小李测得一棵树的影长为，那么这棵树的高是 ． 【答案】 【分析】根据同一时刻，物高与影长的比对应成比例，列式求解即可． 【详解】解：设树高为：，则由题意，得： ， 解得：； ∴这棵树的高是； 故答案为：． 【点睛】本题考查利用影长求物高．熟练掌握同一时刻，物高与影长的比对应成比例，是解题的关键． 17．天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度．数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB长2米，在太阳光下，它的影长BC为1米，同一时刻，祈年殿的影长EF约为19米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE约为米 米． 【答案】38 【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，进行解答即可． 【详解】解：∵相同时刻的物高与影长成比例， ∴，即 解得． 所以祈年殿的高度为38米． 故答案为：38． 【点睛】本题考查了投影的知识，利用在同一时刻物高与影长的比相等的知识，考查利用所学知识解决实际问题的能力． 18．（20-21九年级上·北京延庆·期中）如图，小吴为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是1米和10米．已知小吴的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为 米． 【答案】16 【分析】设楼房高度为x米，根据同时同地的物高与影长成正比例列式求解即可． 【详解】解：设楼房高度为x米， 由题意得，， 解得x＝16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了平行投影，利用同时同地的物高与影长成正比例列出比例式是解题的关键． 19．如图，小芸用灯泡O照射一个矩形相框ABCD，在墙上形成影子A′B′C′D′．现测得OA＝20cm，OA′＝50cm，相框ABCD的面积为80cm2，则影子A′B′C′D′的面积为 cm2． 【答案】500． 【分析】易得对应点到对应中心的比值，那么面积比为对应点到对应中心的比值的平方，据此求解可得． 【详解】解：∵OA：OA′=2：5， 可知OB：OB′=2：5， ∵∠AOB=∠A′OB′， ∴△AOB∽△A′OB′， ∴AB：A′B′=2：5， ∴矩形ABCD的面积：矩形A′B′C′D′的面积为4：25， 又矩形ABCD的面积为80cm2，则矩形A′B′C′D′的面积为500cm2． 故答案为500． 【点睛】本题考查中心投影与位似图形的性质，用到的知识点为：位似比为对应点到对应中心的比值，面积比为位似比的平方． 20．如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 米． 【答案】6.4 【分析】根据平行投影,同一时刻物长与影长的比值固定即可解题. 【详解】解：由题可知：, 解得：树高=6.4米. 【点睛】本题考查了投影的实际应用,属于简单题,熟悉投影概念,列比例式是解题关键. 21.下面是“利用直角三角形作矩形”尺规作图的过程． 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°． 求作：矩形ABCD． 小明的作法如下： 如图2，（1）分别以点A、C为圆心，大于AC同样长为半径作弧，两弧交于点E、F； （2）作直线EF，直线EF交AC于点O； （3）作射线BO，在BO上截取OD，使得OD=OB； （4）连接AD，CD． ∴四边形ABCD就是所求作的矩形． 老师说，“小明的作法正确．” 请回答，小明作图的依据是： . 【答案】到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个角为90°的平行四边形为矩形 【详解】解：由作法得EF垂直平分AC，则OA=OC， 而OD=OB， 所以四边形ABCD为平行四边形， 而∠ABC=90°， 所以四边形ABCD为矩形． 故答案为到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 22.在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心． 已知：． 求作：所在圆的圆心． 曈曈的作法如下：如图2， （1）在上任意取一点，分别连接，； （2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点．点就是所在圆的圆心． 老师说：“曈曈的作法正确．” 请你回答：曈曈的作图依据是 ． 【答案】①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆） 【分析】（1）在上任意取一点，分别连接，； （2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点．点就是所在圆的圆心． 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质定理可知：， 所以点是所在圆的圆心（理由①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）：） 故答案为①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆） 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23.如图，王乐同学在晩上由路灯走向路灯．当他行到处时发现，他往路灯下的影长为2m，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王乐身高，路灯高）． （1）王乐站在处时，在路灯下的影子是哪条线段？ （2）计算王乐站在处时，在路灯下的影长； （3）计算路灯的高度．    【答案】（1）线段CP为王乐在路灯B下的影子；（2）王乐站在Q处时，在路灯A下的影长为1.5m；（3）路灯A的高度为12m 【分析】（1）影长为光线与物高相交得到的阴影部分； （2）易得Rt△CEP∽Rt△CBD，利用对应边成比例可得QD长； （3）易得Rt△DFQ∽Rt△DAC，利用对应边成比例可得AC长，也就是路灯A的高度． 【详解】解：（1）线段CP为王乐在路灯B下的影子． （2）由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD， ∴， 解得：QD=1.5m． 所以王乐站在Q处时，在路灯A下的影长为1.5m （3）由题意得Rt△QDF∽Rt△CDA， ∴， ∴， 解得：AC=12m． 所以路灯A的高度为12m. 【点睛】本题考查了中心投影及相似的判定和性质，利用两三角形相似，对应边成比例来求线段的长． 24.如图，广场上一个立体雕塑由两部分组成，底座是一个正方体，正上方是一个球体，且正方体的高度和球的高度相等．当阳光与地面的夹角成60°时，整个雕塑在地面上的影子AB长2米，求这个雕塑的高度．（结果精确到百分位，参考数据：≈1.73） 【答案】雕塑的高度为4.24米． 【分析】先过D作DF⊥AB于F，过O作OG⊥AB于G，过O作DF的垂线，交DF于H，交⊙O于E，则AE为⊙O的切线，延长AE交BD于C，设⊙O的半径为r，则OG= 3r=HF=AE，OD=r，根据∠ACB=30°，∠DOE=30°，得到Rt△ODH中，DH=OD=r，DF=r+3r，进而得出CE=CD=AC-AE=2-3r，再根据AC∥DF，得出，进而求得r≈1.06，据此可得这个雕塑的高度． 【详解】如图所示，设D为光线与⊙O的切点，过D作DF⊥AB于F，过O作OG⊥AB于G， 过O作DF的垂线，交DF于H，交⊙O于E， 则AE为⊙O的切线，延长AE交BD于C， 设⊙O的半径为r，则OG＝3r＝HF＝AE，OD＝r， ∵∠ABD＝60°， ∴∠ACB＝30°，∠DOE＝30°， ∴Rt△ODH中，DH＝OD＝r， ∴DF＝r+3r， 又∵Rt△ABC中，AB＝2， ∴AC＝2，BC＝4， ∴CE＝CD＝AC﹣AE＝2﹣3r， ∵AC∥DF， ∴，即， 解得r≈1.06， ∴雕塑的高度为4r＝4×1.06＝4.24米． 【点睛】本题主要考查了平行投影，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据含30°角的直角三角形的性质进行计算，依据平行线分线段成比例定理列式计算．解题时注意方程思想的运用． 25.下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线及直线外一点． 求作：，使得． 作法：如图， ①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； ②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； ③作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵_______，_______， ∴（____________）（填推理的依据）． 【答案】(1)作图见解析（2），，三角形中位线平行于三角形的第三边． 【详解】分析：根据作图过程，补全图形即可. 详解：（1）尺规作图如下图所示： （2），，三角形中位线平行于三角形的第三边． 点睛：考查尺规作图，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键. 26.下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线，使得． 作法：如图2． ①在直线上取一点，连接； ②作的平分线； ③以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ④作直线． 所以直线就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程完成下面的证明： 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴________， ∴________， ∴．（________________________）（填推理依据）． 【答案】，，内错角相等，两直线平行 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行、作角平分线(尺规作图)、根据等边对等角证明 【分析】由角平分线的定义可知，根据等腰三角形的性质，进而可知，再根据平行线的判定即可证得结论． 【详解】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴．（内错角相等，两直线平行）（填推理依据）． 故答案为：，，内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和平行线的判定及角平分线的定义，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 27．（2023·北京西城·二模）已知：如图1，线段a，b． 求作：矩形ABCD，使得，．    作法：如图2．    1．在直线上截取． 2．过点B作直线，在直线m上截取． 3．分别以点A和点C为圆心，b，a的长为半径画弧，两弧的交点为D． (点D与点C在直线的同侧) 4．连接． 则四边形为所求的矩形． 根据上面设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，在图2中补全图形(保留作图痕迹)； (2)完成下面的证明： 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形(___________)．(填推理的依据) ∵直线， ∴___________， ∴四边形ABCD是矩形(___________)．(填推理的依据)． 【答案】(1)见解析 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；；有一个内角是直角的平行四边形是矩形． 【分析】（1）按照步骤操作即可； （2）根据矩形的判定定理推导，填空即可. 【详解】（1）解：补全图形如下：    （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． ∵直线， ∴， ∴四边形ABCD是矩形(有一个内角是直角的平行四边形是矩形)． 故答案是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；；有一个内角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查尺规作图，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 28．（22-23八年级上·北京密云·期末）数学课上，李老师布置如下任务： 如图，已知，点D是边上的一个定点，在边上确定一点E，使． 下面是小莉设计的尺规作图过程． 作法： ①以点D为圆心，长为半径作弧交边于点F，连接． ②作的角平分线，交边于点E； 则点E即为所求． 根据小莉设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明，并在括号内填写推理的依据． 证明：∵， ∴＝ ．（   ） ∵是的角平分线， ∴． ∵，（   ） 即， ∴． ∴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图)、根据等边对等角证明 【分析】（1）根据所给作法即可得； （2）根据等边对等角得，根据是的角平分线得，根据三角形外角性质得，即，可得，即可得． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：∵， ∴．（等边对等角） ∵是的角平分线， ∴． ∵，（三角形外角性质） 即， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，等边对等角，三角形的外角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 29．（2022·北京石景山·一模）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB<CA． 求作：线段AB上的一点M，使得∠MCB=∠A．　 作法：①以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；　 ②分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧在AB的右侧相交于点E；　 ③作直线CE，交AB于点M．∠MCB即为所求．　 根据小伟设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接CD，ED，EB．　 ∵CD=CB，ED=EB，　 ∴CE是DB的垂直平分线（______）（填推理的依据）．　 ∴CM⊥AB． ∴∠MCB+∠B=90°． ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°． ∴∠MCB=∠A（______）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析 (2)与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上; 等角的余角相等 【分析】（1）根据作法作图可得点M； （2）先根据线段垂直平分线的逆定理可得ME是AB的垂直平分线，又根据等角的余角相等可得结论． 【详解】（1）解：点M如图所示． （2）证明：连接CD，ED，EB． ∵CD=CB，ED=EB，　 ∴CE是DB的垂直平分线（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．　 ∴CM⊥AB． ∴∠MCB+∠B=90°． ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°． ∴∠MCB=∠A（等角的余角相等）． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质及作图，解题的关键是学会基本作图：作一条线段的垂直平分线． 28．（2021·北京丰台·二模）下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程． 已知：直线及直线外一点P（如图1）． 求作：⊙P，使它与直线相切． 作法：如图2， ①在直线上任取两点A，B； ②分别以点A，点B为圆心，AP，BP的长为半径画弧，两弧交于点Q； ③作直线PQ，交直线于点C； ④以点P为圆心，PC的长为半径画⊙P． 所以⊙P即为所求． 根据小融设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AP，AQ，BP，BQ． ∵AP＝ ，BP＝ ， ∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上． ∴直线AB是线段PQ的垂直平分线． ∵PQ⊥，PC是⊙P的半径， ∴⊙P与直线相切（        ）（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析；（2）AQ；BQ；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】（1）按照题目要求作图即可； （2）根据垂直平分线的性质和切线的判定填写即可． 【详解】（1）如图所示， ； （2）证明：连接AP，AQ，BP，BQ． ∵AP＝AQ，BP＝BQ ， ∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上． ∴直线AB是线段PQ的垂直平分线． ∵PQ⊥，PC是⊙P的半径， ∴⊙P与直线相切（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 故答案为：AQ；BQ；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的判定和性质，圆的性质，切线的判定，掌握知识点并且灵活运用是解题关键． 29．已知：，CD平分． 求作：菱形DFCE，使点F在BC边上，点E在AC边上，下面是尺规作图过程． 作法：①分别以C、D为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点M、N； ②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F； ③连接DE、DF，DC与EF的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形． （1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：， 为DC的垂直平分线． ， ． 平分， ． ， __________（    ）（填推理依据） 同理可证， 四边形DFCE为平行四边形． 又____________________， 四边形DFCE为菱形． 【答案】（1）作图见解析；（2）DE；FC；内错角相等，两直线平行；DE=EC（或DF=FC）． 【分析】（1）根据题目作法可以得到求作图形； （2）由题意可以推得四边形DFCE为平行四边形，再由DE=EC可以得到四边形DFCE为菱形． 【详解】（1）根据题目作法可以得到下面图形： 其中四边形DFCE为所求作的菱形； （2）证明：， 为DC的垂直平分线． ， ． 平分， ． ， DEFC（ 内错角相等，两直线平行  ）（填推理依据） 同理可证， 四边形DFCE为平行四边形． 又， 四边形DFCE为菱形． 故答案为DE；FC；内错角相等，两直线平行；DE=EC（或DF=FC）． 【点睛】本题考查菱形的判定及作图，熟练掌握菱形的判定方法及作图要领是解题关键． 30.下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：如图，∠AOB． 求作：∠AOB的角平分线OP． 作法：如图， ①在射线OA上任取点C； ②作∠ACD=∠AOB； ③以点C为圆心CO长为半径画圆，交射线CD于点P； ④作射线OP； 所以射线OP即为所求． 根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务． （1）补全图形； （2）完成下面的证明： 证明：∵ ∠ACD=∠AOB， ∴ CD∥OB（____________）（填推理的依据）． ∴∠BOP=∠CPO． 又∵ OC=CP， ∴∠COP=∠CPO（____________）（填推理的依据）． ∴∠COP=∠BOP． ∴ OP平分∠AOB． 【答案】（1）如图见解析；（2）同位角相等，两直线平行；等边对等角． 【分析】（1）在CD上截取CP=CO即可； （2）利用平行线的判定方法可先判断CD∥OB，则∠BOP=∠CPO．再利用等边对等角∠COP=∠CPO，所以∠COP=∠BOP． 【详解】解：（1）如图，OP为所作； （2）证明：∵∠ACD=∠AOB， ∴CD∥OB（同位角相等，两直线平行）； ∴∠BOP=∠CPO． 又∵OC=CP， ∴∠COP=∠CPO（等边对等角）． ∴∠COP=∠BOP． ∴OP平分∠AOB． 故答案为同位角相等，两直线平行；等边对等角． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质． 31．老师给同学们布置了一个“在平面内找一点，使该点到等腰三角形的三个顶点的距离相等”的尺规作图任务： 下面是小聪同学设计的尺规作图过程： 已知：如图，中，， 求作：一点，使得. 作法： ①作的平分线交于点； ②作边的垂直平分线，与相交于点； ③连接， 所以，点就是所求作的点. 根据小聪同学设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：∵，平分交于点， ∴是的垂直平分线；（ ）（填推理依据） ∴. ∵垂直平分，交于点， ∴；（ ）（填推理依据） ∴. 【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形的三线合一   线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】（1）利用基本作图作角平分线AD和AB的垂直平分线，它们相交于P点； （2）根据等腰三角形的性质得到PB=PC．再根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到PA=PC，从而得到PA=PB=PC． 【详解】（1）如图，AD、点P为所求；    （2）证明：∵，平分交于点， ∴是的垂直平分线；（ 等腰三角形的三线合一 ）（填推理依据） ∴. ∵垂直平分，交于点， ∴；（ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ）（填推理依据） ∴. 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 32．阅读下面材料： 已知：如图，在正方形ABCD中，边. 按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小. 请解决以下问题： （1）完成表格中的填空： ① ；② ；                     ③ ；④ ； （2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ（不要求尺规作图）. 【答案】（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；②；③；④；（2）见解析 【详解】分析：（1）利用HL可推出△AEF≌△ABF,利用勾股定理可得出结论；(2)在CF上截取FH= ，再作IH⊥CF于点H，则CH为. 详解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ． ②．                ③． ④． （2）所画正方形CHIJ 点睛：本题考查了正方形的性质、勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，找到 是解本题的关键. 33．下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，使得． 作法：如图， ①在射线上任取一点C； ②作线段的垂直平分线， 交于点P，交于点D： ③连接； 所以即为所求作的角． 根据小华设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）． 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴_______________（___________） ∴． ∵（______________） ∴． 【答案】（1）见解析 （2）；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到．然后根据三角形外角性质得到． 【详解】（1）解：补全的图形如图所示． （2）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∴． ∵（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴ 故答案为：；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 34．如下是小华设计的“作的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）． 步骤 作法 推断 第一步 在上任取一点C，以点C为圆心，为半径作半圆，分别交射线于点P，点Q，连接 ① ，理由是 ② 第二步 过点C作的垂线，交于点D，交于点E ， ③ 第三步 作射线 射线平分 射线为所求作． 【答案】见解析；①90；②直径所对的圆周角是直角；③ 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论 【详解】解：补全的图形如图1所示．               ①∵OQ是直径 ∴∠OPQ=90° 故答案为：90；                 ②故答案为：直径所对的圆周角是直角；          ③∵CE⊥PQ ∴由垂径定理得：．   故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握圆周角定理及推论是关键 / 学科网（北京）股份有限公司 $$