5.5.1 两角差的余弦公式 教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

《两角差的余弦公式》教学设计 一、教学目标 1.目标 （1）经历两角差的余弦公式的推导过程，知道两角差的余弦公式的意义，体会诱导公式与两角差的余弦公式之间的特殊与一般的关系； （2）在探索两角差的余弦公式的得出过程中，提升数学思维能力，发展逻辑推理和数学运算的核心素养； （3）在例题解答的过程中，进一步体验利用变量替换进行拓展研究的通性通法，感悟数学中化归转化思想. 2.目标解析 达成上述目标的标志是: (1)学生能够表述两角差的余弦公式的内容及其推导思路. (2)学生能够阐述某些诱导公式与两角差的余弦公式间的关系，并能够通过变量替换的方法证明这些诱导公式. (3)学生能够应用两角差的余弦公式进行一些简单的三角恒等变换，进而完成三角函数式的化简、求值、证明. 二、教材分析 本节选自人教A版必修一第五章三角函数的第五节《三角恒等变换》.新教材为了体现函数与三角函数内容的整体性，注重内容之间的有机衔接，将三角函数纳入了函数这一主题，引导学生以函数为基础，借鉴研究幂函数、指数函数、对数函数的相关经验研究三角函数，而三角恒等变换作为三角函数的重要性质，也被纳入三角函数这一单元,三角恒等变换一共包含三节内容. 在5.3节中，我们利用圆关于轴、轴、原点、直线等特殊的对称性，推导得出了诱导公式，利用诱导公式可以将特殊角与任意角的和（或差）的三角函数转化为这个任意角的三角函数.由特殊到一般，如果把换为任意角，则三角函数值又如何用的三角函数值表示出来呢？ 两角差的余弦公式的推导方法很多，例如：应用余弦定理和两点间的距离公式、应用三角函数线、应用向量的数量积运算等.本节作为5.3节诱导公式的延续，进一步突出圆的对称性与三角函数之间的内在联系，我们将类比诱导公式的探究思路，利用圆的更一般的对称性（旋转对称性）推导得出任意两角差的余弦公式，同时又为下一课时如何由两角差的余弦公式推导得出两角和或差的其他公式打下基础.这两课时作为本单元的第一小节，得到的所有公式也为5.5.2小节中应用公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的综合应用作铺垫. 三、学情分析 本节课的授课对象是河北省示范性高中高一实验班的学生，他们对新知识充满渴望，对探索未知世界有主动参与意识，并具备一定的逻辑推理等探究能力，但仍需进一步强化与提高. 学生在5.3节中，已经有过利用单位圆上的点关于原点、坐标轴、直线等特殊的对称性，研究推导得出诱导公式的相关研究经验.因此，学生经过小组合作交流可以类比得出本节内容的大致探究思路.另一方面，由于高一学生严谨的逻辑推理能力还有待提高，因此在具体操作的过程中还是会遇到问题.我预设可能出现的问题有：给定两角的终边，如何找到角，并以轴非负半轴为始边作出终边；由圆的旋转对称性发现等量关系等. 四、教学重难点 教学重点：利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式及公式的简单应用. 教学难点：1.发现两角差的三角函数与圆的旋转对称性间的联系； 2.余弦的各个诱导公式与两角差的余弦公式间的关系. 五、教学过程（不能是课堂实录） 教师活动 学生活动 设计意图 （一）改编课本例题、提出探究问题 引例 化简： 利用实物展台，学生展示自己的解题过程，解说自己利用诱导公式对三角函数式进行变形的具体思路；师生共同聆听，交流、完善解答过程 通过引例，回顾诱导公式，体会诱导公式的作用，为引出本节课的探究问题埋下伏笔，使学生初步感知本节内容是诱导公式的延续，进而体会两者之间的关系. 追问1：本题的题干由“化简”改为“求值”，你能继续完成这道题目吗？ 追问2：那与特殊角、、有何数量关系？ 追问3：由特殊到一般，你能提出我们需要探究的数学问题吗？ 教师引领，学生思考并回答教师的问题，自主发现并提出本节需要探究的问题：任意两角差的余弦与这两个角的正弦、余弦之间具有什么样的关系，角与的三角函数值之间的关系（留待课下探究）. 我们知道问题的提出与解决是数学发展的源泉，而且有些问题就来自于数学内部.教师在完成化简的基础上，自然地引进一步求值的问题，引导学生思考，联想与某些特殊角之间的关系，用已知表示未知，从而自主提出本节需要探究的问题. （二）规划研究路径 问题1：我们之前是如何推导同角三角函数间的基本关系和诱导公式的呢？ 问题2：类比之前的研究思路，同样利用圆的几何性质寻找这三个角的三角函数值之间的关系，我们要如何具体操作呢？请各小组合作交流，设计探究方案. 教师提出问题，师生共同回忆诱导公式的研究过程：首先从单位圆上的点关于原点、轴、轴、直线等特殊的对称性出发，用三角函数表示单位圆上点的坐标，就可以将这些对称性表示为三角函数之间的关系，从而推导得出了诱导公式.师生共同交流、规划，形成研究思路. 教师引导学生回忆以往的研究经验，通过类比，规划、形成本节的研究方案，从而使学生从整体上把握本节课的研究思路.同时，学生在无形中提高了学生解决问题的能力. （三）自主探究，得出公式 问题3：给定如图所示的两个角的终边，你能找到角吗？ 追问1：我们现在能够利用角，的三角函数值表示对应点的坐标吗？ 追问2：如何以轴非负半轴为始边，作出角的终边？ 追问3：根据我们刚才的作图过程，结合圆的几何性质，你能发现什么等量关系吗？ 追问4：如何利用坐标表达呢？ 教师通过问题引导学生思考并找到角.学生容易得出，，进而自主发现需要通过旋转作出角的终边.师生共同将绕旋转分别到位置，则为角终边与单位圆的交点，因此得出. 学生从刚才旋转的作图过程中联想到圆的旋转对称性，得出，借助两点间距离公式表达此等式，并进行化简，得出两角差的余弦公式. 两角差的余弦公式的推导过程是本节课的重点和难点.学生虽然已经形成了研究的思路，但是在具体操作的过程中还是会遇到新问题.教师通过设置问题串，引导学生自主发现并提出探究过程中的每一步所面临的问题，师生共同交流寻得解决方法.在不断的发现问题、提出问题、分析、解决问题的过程中，发展学生逻辑推理的数学核心素养. 问题4：我们刚才解决的问题是给定了两个角的终边，那么这两个角可以代表任意角吗？ 追问：改变的位置，证明过程会发生改变吗？ 教师引导下，学生发现需要补充终边相同的特殊情形，并自主验证此时公式仍然成立，强化公式的完备性.学生自主操作，通过改变终边的位置并确认各点的坐标不会因此而改变且等量关系永远成立. 数学是一门严谨的学科，教学活动中应该有意识地培养学生注意特殊与一般的关系，检验探究过程和结论的普适性，尤其注意一些特殊情况，进而完善我们的过程和结论. （四）公式的初步应用 回归引例 求值： 例1.利用公式证明： （1）； （2） 追问：除了这两个诱导公式，其它诱导公式也可以利用两角差的余弦公式进行证明吗？请举例说明. 教师带领学生一起解答引例，熟悉公式;学生在纸上书写作答例1，学生代表利用实物展台展示、交流解题过程.教师提出开放性问题，学生举例说明余弦的各个诱导公式与两角差的余弦公式间的转化关系. 本例题是学生初步使用两角差的余弦公式进行三角恒等变换，通过简单的应用，使学生熟悉公式的结构形式.通过追问，引导学生主动思考，发展学生逻辑推理、数学运算的核心素养，再次体会诱导公式与两角差公式之间的特殊与一般的关系.变量替换这一通性通法的应用，为下一课时以两角差的余弦公式为基础推导其他公式做好铺垫. 例2.已知 ，是第三象限角，求的值 教师给出例题，学生在纸上书写作答，利用实物展台展示、交流解题过程.师生共同形成解题路径. 学生通过解题，一方面进一步掌握公式的结构形式及其功能；另一方面是训练学生有序的思维习惯，发展学生数学运算的核心素养. （五）课堂小结 （1）本节课你学到了哪些知识？又是用怎样的方法学到这些知识的？ （2）对本节课的学习情况做一个简单的自我评价，并寻找学习中存在的问题与不足，以后如何改进? 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生思考、回答问题. 通过小结，学生有意识地回顾本节课的学习过程，梳理本节课所学的知识，帮助学生在更大的范围内把所学的知识系统化、结构化. 六、作业设计（适应“双减”要求的分层作业） 1.必做题：课本217页练习第1-5题； 2.选做题： （1）我们在完成引例的时候，还遗留了另外一种想法：通过寻找角与的三角函数值之间的关系进行解答，还有待得到完善，请课下试着探究. （2）我们本节课得出了任意两角差的余弦公式，请试着以此为基础，运用我们本节课的化归与转化的思想或变量替换的方法推导两角和与差其他公式. 七、教学反思 本节是一节公式推导课，我们不仅重视了对推导出的公式的理解、应用，而且还关注到推导过程所承载的育人功能，因为本节内容的探究过程中蕴含了由特殊到一般、数形结合、变量替换、化归转化等数学思想方法，同时更是发展学生逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养的良好载体.因此，本节课采用以教师为主导、学生为主体的教学策略，使学生完整地经历了提出探究问题、规划研究路径、自主推演公式、体验公式应用的完整过程. 本节课是一节异校授课，虽然初次与学生们接触，但是老师教学过程中充分调动了学生学习的积极性，学生们课堂的参与度很高，在收获知识的同时，数学思维也得到了训练，说明教学设计合理.不足之处是后面练习的时间相对较少，没有完成原有设计中例2的教学，稍有遗憾.其它不足之处还请各位评委老师指正，谢谢您！ 学科网（北京）股份有限公司 $$