2.2基本不等式 教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019） 必修第一册

《2.2基本不等式》教学设计 1、 教学目标 1、通过观察“数学家大会”的会标及赵爽弦图,探究出里面蕴含的相等和不等的数值关系,提炼得到重要不等式,体会数学建模的过程;并从国际数学家大会会标和赵爽弦图的相关背景中,感受数学的文化价值,发展学生数学抽象、数学建模、直观想象数学素养。 2、通过基本不等式的证明过程,感受作差法和分析法在证明不等式中的应用,体会数学的严谨性,发展学生逻辑推理素养。 3、通过寻找基本不等式的几何解释,体会数形结合思想,发展学生数学抽象、直观想象素养。 4、利用基本不等式求简单的最值问题,体会数学的灵活性,发展学生数学运算素养。 二、教材分析 “基本不等式”是选自人教A版(2019)数学必修1第二章第二节的内容,这节内容新课标标准中是安排了两个课时。“基本不等式”是在学习了“等式性质与不等式性质”的基础上对不等式的进一步研究,是不等式的延续与拓展,也为本章第三节的一元二次不等式的学习打下了坚实的基础。另外高中数学课程的许多内容都要涉及基本不等式,因此本节的学习还为以后的数学学习提供了铺垫。 三、学情分析 从学生已有的知识来看,学生在初中已经学习了三角形与圆的性质等知识。在本章前一节学生已经系统学习了不等式的概念、性质以及重要不等式,这些知识为本节课的学习奠定了良好的知识基础,学生在这之前还学了配方法、作差法及数形结合等重要数学思想方法,这些方法为基本不等式探究和证明提供了方法上的保障,但是用分析法来证明不等式是学生首次遇到,这对学生的理解可能有一定的障碍,尤其是分析法证明的格式需要学生重点学习,这为后续高中阶段的推理和证明提供了丰富的策略。 从学生已有的能力来看,作为高中生,已经具备了一定的观察能力、推理能力和思维转换能力,只要教师启发得当,学生应该能够通过观察、分析与思考、发现并证明基本不等式以及利用基本不等式解决两类简单的最值问题。 四、教学重难点 重点:基本不等式的定义、证明方法和几何解释,用基本不等式解决简单的最值问题。 难点:基本不等式的几何解释,用基本不等式解决简单的最值问题。 五、教学过程(不能是课堂实录) 教师活动 学生活动 设计意图 创设情境 导入课题 播放第24届国际数学家大会视频片段 教师强调会标上的图形的重要性及其对数学学习的意义。教师在学生观看视频时,在黑板上板书本节课题目。 展示问题1:你能从长度或面积方面,在这个图形中找出一些相等关系或不等关系吗? 把“风车”抽象成平面图形,在正方形中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为,正方形的面积为,4个直角三角形的面积为,则(1)正方形的边长为( );(2)( ) (3) ( )(4)与的大小关系。最后用几何画板演示与的关系。 基本不等式的证明 展示问题 2:如果,用分别代替重要不等式中的,可得怎样的式子呢?引出基本不等式的定义。师生合作分析基本不等式的结构特征。教师板书基本不等式的定义:若,则当且仅当等号成立。 展示问题 3:通过重要不等式的特殊情形获得了基本不等式,能否直接利用不等式的性质直接推导出基本不等式呢?学生回答完作差法后,教师依次展示5个不等式① ② ③ ④ ⑤ 教师分析完证明过程后,指出该方法叫“分析法”。 教师追问(1):你能归纳下,用分析法证明命题的思路吗?学生讨论后,先随机抽选学生回答,教师再完善补充,指出分析法是一种“执果索因”的方法。教师板书:推导:作差法、分析法(执果索因)。 教师追问(2):根据上述证明过程,你能说说分析法证明的格式吗?教师总结:由于分析法从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明:一般每一步的推理都用“要证……只需证”的格式,当推导到一个明显成立的条件之后,指出“显然 成立”。教师总结:刚才是从“数”的角度推导出基本不等式,下面能不能从“形”的角度来解释基本不等式。 基本不等式的几何解释 展示问题 4:是圆的直径,点是上一点,,过点作垂直于的弦,连接,,你能利用这个图形,得到基本不等式的几何解释吗?教师利用圆规和直尺画出上述图形。 学生讨论后,教师追问:你会用表示弦和长度吗?教师板书演示求的过程。最后用几何画板展示。教师板书:几何解释:圆的半径大于等于弦长一半。 基本不等式的简单应用 展示例1、已知,求的最小值。 追问(1)求的最小值的含义是什么?教师总结:求的最小值,就是求出一个,使,都有。即代数式的最小值是代数式中能取到的值中最小的值。 追问(2)本题中要求最小值的代数式有什么结构特点?是否可以利用基本不等式求的最小值?如果能,如何求?教师总结:本题中要求的代数式是与和的形式,而且,由于是与的算术平均数的2倍,而后者的几何平均数是是一个定值,所以可以利用基本不等式求解。教师展示教科书第45页例1的解答过程。 追问(3)在上述的解答过程中,是否必须说明“当且仅当,即时,等号成立”?是的最小值吗?当时,成立吗?这时能否说是的最小值呢? 追问(4)通过本例的解答,你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗?师生共同总结“一正、二定、三相等”。教师板书:条件:一正、二定、三相等。 展示例2:已知为正实数,求证:(1)若积,那么当时,和有最小值;(2)若,那么当时,和有最大值。师生一起分析。追问:通过本题,你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗?教师总结:满足“两个正数的积为定值,当两个数取什么值时,求它们和的最小值”,或者“两个正数和为定值,当两个数取什么值时,求它们的积的最大值”的问题,能够用基本不等式解决。教师板书:应用:积定和最小,和定积最大。 归纳小结 (1)什么是基本不等式?如何推导得到基本不等式?(2)基本不等式的代数特征是什么?如何从几何图形上解释?(3)基本不等式的使用条件是什么?如何利用基本不等式解决最值问题?需要注意什么?(4)本节课有哪些数学思想方法? 目标检测设计 1、已知,求的最小值及相应的的值。 2、已知,求最大值及相应的的值。 观看视频 学生思考后,随机抽选一位学生回答。 学生思考后回答问题。 学生独立计算后回答。 学生思考后,根据两个实数大小关系的基本事实,直接回答作差法。 学生思考后回答5个不等式的关系。 学生讨论后,挑选小组代表完成。 学生思考后,师生共同完成。 学生讨论后完成 随机挑选学生回答其对“代数式的最小值”的理解。 学生讨论后,随机挑选2名学生回答。 学生思考后回答 学生讨论后回答 学生思考后,随机挑选两名学生去黑板上书写解题过程。 学生独立完成,随机抽选学生展示并讲解其解题过程 通过会标导入新课,贴近现实,可激发学生的探究欲望,让学生感受数学文化,向数学家们学习,同时也激起学生的爱国情怀。 利用图形的面积大小关系,循序渐进地抽象出重要不等式,通过几何画板演示直观形象,体会数形结合的思想。 通过上一节课的重要不等式的特殊形式,得到基本不等式,同时在两个不等式间建立联系,通过分析基本不等式的代数特征,得到基本不等式的代数解释,加深对基本不等式的认识。 让学生感受作差法在证明不等式中的应用。 引导学生发现不等式⑤④③②①为后续的分析法教学做好铺垫。 根据不等式的性质,用分析法证明基本不等式,同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式,为学生高中阶段的推理和证明提供更丰富的策略。 学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的,因此通过追问降低学生思维的难度,从而引导学生将、与图中的几何元素建立联系,再观察这些几何元素在变化中的规律,从而获得基本不等式的几何解释。 引导学生根据所求代数式的形式,判断是否能利用基本不等式解决问题,同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值,为学生求代数式的最值问题提供示范。 在例1的基础上,再利用一道例题示范如何直接利用基本不等式解决问题,同时借此题的题干指出利用基本不等式能够解决两类问题“积定和最小,和定积最大”,为利用基本不等式解决实际问题创造了条件。 归纳小结以问题的形式出现,可以引发学生思考,有助于学生知识结构的建立,同时在一定程度上也能检验学生对本节课的掌握程度,这有助于学生归纳能力的培养。 考查学生利用基本不等式解决简单的最值问题。 六、作业设计(适应“双减”要求的分层作业) 第一种:基础必做题(每位同学独立完成) 教科书习题2.2第1题、第2题。 【设置意图】考查学生利用基本不等式求最值问题的掌握情况。 第二种:能力提升题(可商量或讨论完成) 《试吧》第25页综合练习第5题。 【设置意图】能力提升题中是利用基本不等式解决实际问题,这是下一节课要讲的内容,对于学有余力的学生可以先自己尝试完成,为下一节课的学习作好铺垫。 第三种:拓展延伸题(小组合作完成) 查阅文献或网络,搜集基本不等式的其它证明方法。 【设置意图】基本不等式的证明方法有很多种,本节课只讲了作差比较法和分析法,因此需要学生课下搜集其它的证明方法。从不同视角来理解和证明基本不等式,从而使学生对基本不等式理解得更深刻。 7、 教学反思 数学课堂的本质是数学思维的课堂,如何在数学课堂上培养学生的数学思维,一直是我们探究的课题,“基本不等式(第一课时)”这节课是一个很好的尝试。本节课的设计理念是“以学生为主体,教师为主导,让学生感受、经历、体验知识的产生过程,每一个问题出现后教师都不急于引导,先让学生思考、分析,等学生回答完毕后,再由教师做引导、完善、补充。 (1)依据学情,选择合适的课题情境引入。高中数学新课标强调让学生在现实情境和已有生活、知识经验的基础上学习和理解数学,“问题-情境”是数学课程标准倡导的教学模式。关于基本不等式课题的引入,我查阅了多个版本:苏教版通过不等臂的天平称重来引入(该题是人教A版课后练习题第49页的拓广探究第7题);人教B版将基本不等式称为均值不等式,通过直接比较几组正实数算数平均数和几何平均数的大小,来引入基本不等式;北师大版教材通过将重要不等式中的字母直接替换为算术平方根来引入,这跟人教B版有点相似,都是单刀直入,而不是通过问题情境引入课题。笔者结合授课学生的学情,觉得通过问题情境来引入更适合学生的学情,但是苏教版通过“不等臂的天平”这一情境来引入,由于涉及物理知识,我觉得对于基础一般的学生可能无法理解,另外实验操作的误差也是引起物理重量不等的原因之一。因此我选择了通过数学大会的会标“赵爽弦图”引入课题。 (2)问题驱动下的教学,有利于学生数学思维的培养。 当代著名数学家哈尔莫斯说过“问题是数学的心脏,没有问题的存在,就没有数学活动的开始,有了问题,思维才有方向。”同样的教学内容,以问题形式的出现,更能激发学生的求知欲,强化学生主体学习意识,促进学生合作学习。本节课以5个问题为主线,层层递进,环环相扣,每个问题出现后教师先不急于回答,先让学生自己回答,这可以充分暴露学生的思维本质,接着教师再完善补充,这样教师的思维和学生的思维发生了“碰撞”,引发了学生的“认知冲突”,这样可以使学生对知识理解得更深刻,同时也可以培养学生思维的广度和深度。 (3)重视信息技术在数学教学中的应用。信息技术有利于创设问题情境,激发学生学习兴趣。比如本节课课题情境的导入,通过动态视频的形式引入,既避免了静态的单调与乏味,又让学生感受到数学文化,向数学家们学习,同时也激起了学生的爱国情怀。信息技术还有利于化抽象为直观,化静为动,能让学生感受到知识的生成过程。比如本节课中通过几何画板演示“赵爽弦图”中面积的变化和演示基本不等式的几何解释,都能让学生直观的感受知识的生成过程,从而加深了学生对知识的理解,同时也提高了课堂效率。 (4)作业的布置要精心分层设计,力求每一次作业布置都能使所有学生有最大收获。布置作业不能太简单,太简单了无法调动数学尖子生的学习积极性;太难了又会打击数学学困生的学习主动性。因此作业的设计要体现基础性、层次性、创新性,站在学生全面发展和健康成长的高度,认真落实“双减”目标,设计和布置好作业,提升课时作业的实效。 此外本节课也有不足之处:比如对教学内容预设上,学生是鲜活的个体,他们也有自己的思想,因此应该更深入了解他们的学情,以便更好、更全面得设计教学。 综上所述,教学的内容是静态的,但是教学的课堂是动态的,面对不同层次的学生,教学设计也是不同的,因此“如何按照新课程标准的要求,设计出最贴近学情的教学设计”是我们一线教师不断追求的目标。 学科网(北京)股份有限公司 $$