专题二 数列与函数、数列的性质及放缩技巧练习-2025届高三数学二轮复习

专题二　数列与函数、数列的性质及放缩技巧练习 (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、单选题 1.(2024·沈阳二中测试)设函数f(x)＝x＋2，数列{an}，{bn}满足an＝2f(n)－1，f(bn)＝2n－1，则a6＝(　　) A.b7 B.b9 C.b11 D.b13 2.(2024·湖州一中测试)若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2)，a1＝2，则满足不等式an<930的最大正整数n为(　　) A.28 B.29 C.30 D.31 3.(2024·徐州适应性测试)已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝2an＋1，n∈N*.若Sk≥2 024，则正整数k的最小值为(　　) A.11 B.12 C.13 D.14 4.(2024·如皋诊断)等比数列{an}中，首项a1>0，a1＋a2＋a3＝a1·a2·a3，则(　　) A.a1·a3>a2 B.a1·a3<2a2 C.a1＋a3>a D.a1＋a3<a 5.(2024·嘉兴质检)设{an}是等比数列，则“对于任意的正整数n，都有an＋2>an”是“{an}是严格递增数列”(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(2024·安徽“江南十校”联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且an＋1＝Sn＋n，a1＝1，bn＝，则使得Tn<M恒成立的实数M的最小值为(　　) A.1 B. C. D.2 7.(2024·茂名综测)数列{an}满足a1＝8，an＋1＝(n∈N*)，bn＝·，若数列{bn}是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8.(2024·金华十校调研)已知公差为d的等差数列{an}，Sn为其前n项和，若则(　　) A.S2 023＝2 023，d<1 B.S2 023＝2 023，d>1 C.S2 023＝－2 023，d≤1 D.S2 023＝－2 023，d≥1 二、多选题 9.(2024·温州适考)已知数列{an}满足an＋an＋2＝λan＋1，λ∈R，若a1＝1，a2＝2，a2 024≥2 024，则λ的值可能为(　　) A.－1 B.2 C. D.－2 10.(2024·淮安、连云港调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋λn＋μ，则下列结论正确的有(　　) A.若μ＝0，则{an}为等差数列 B.若μ＝3，则{an}为递增数列 C.若λ＝－，则当且仅当n＝3时Sn取得最小值 D.“λ>－3”是“数列{Sn}为递增数列”的充要条件 11.(2024·武昌质检)已知数列{an}满足a1＝1，＝1＋＋＋…＋，数列{bn}满足bn＝1＋＋＋…＋，则(　　) A.a1b1＝a2b2＝a3b3 B.anbn＝an＋1bn＋1 C.存在k∈N*，使得ak≤ak＋1 D.数列{bn}单调递增，且对任意n∈N*，都有b1＋b2＋…＋bn<2n＋1 三、填空题 12.(2024·嘉兴一中模拟)若数列{an}满足a2＝11，an＋1＝，则a985＝________. 13.已知ai∈N*(i＝1，2，…，9)，对任意的k∈N*(2≤k≤8)，ak＝ak－1＋1或ak＝ak＋1－1中有且仅有一个成立，且a1＝6，a9＝9，则a1＋…＋a9的最小值为________. 14.(2024·如皋二诊)小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n层(20≤n≤30，n∈N*)，设第1层的“环境满意度”为1，且第k层(2≤k≤n，k∈N*)比第k－1层的“环境满意度”多出3k2－3k＋1；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k层(2≤k≤n，k∈N*)比第k－1层的“高层恐惧度”高出倍.在上述条件下，若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为ak，bk，记小王对第k层“购买满意度”为ck，且ck＝，则小王最想买第________层住宅.(参考公式及数据：12＋22＋32＋…＋n2＝，ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，≈1.100 6) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案详解 专题二　数列与函数、数列的性质及放缩技巧练习 1.B　[因为an=2f(n)-1=2(n+2)-1=2n+3,所以a6=2×6+3=15,又因为f(bn)=bn+2=2n-1,所以bn=2n-3,令bn=2n-3=15,解得n=9,故选B.] 2.B　[依题意,数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),a1=2,(n≥2),所以an=a1·=n(n+1),a1也符合,所以an=n(n+1),{an}是单调递增数列,由an=n(n+1)<930,(n+31)(n-30)<0,解得-31<n<30,所以n的最大值为29.] 3.C　[数列{an}中,3Sn=2an+1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1,则3Sn=2Sn-2Sn-1+1,整理得Sn=-2Sn-1+1,即Sn-),而3S1=2a1+1=2S1+1,即S1=1,因此数列为首项,公比为-2的等比数列,Sn-·(-2)n-1,则Sn=,由Sk≥2 024,知k为奇数,此时Sk=是递增的,而S11==683<2 024,S13==2 731>2 024,所以正整数k的最小值为13.] 4.C　[由题根据所给条件结合等比数列性质可得:a1+a2+a3=,设公比为q,则,所以+1,易知q>0,否则<0,矛盾,又因为a1>0,所以a2>0,∴a2≥,(当且仅当q=1时等号成立).∴a1+a3-=a2(-1-a2),令f(x)=x2-x-1,则f'(x)=2x-1,∴x>时,f'(x)>0,f(x)单调递增,又a2≥,∴-1>0,所以a1+a3>,故选C.] 5.C　[若{an}是严格递增数列,显然an+2>an,所以“对于任意的正整数n,都有an+2>an”是“{an}是严格递增数列”必要条件;∵an+2=anq2>an对任意的正整数n都成立,所以{an}中不可能同时含正项和负项,∴an>0,q2>1,即an>0,q>1,或an<0,q2<1,即an<0,0<q<1,当an>0,q>1时,有anq>an,即an+1>an,{an}是严格递增数列,当an<0,0<q<1时,有anq>an,即an+1>an,{an}是严格递增数列,所以“对于任意的正整数n,都有an+2>an”是“{an}是严格递增数列”充分条件.故选C.] 6.C　[数列{an}中,a1=1,an+1=Sn+n,当n≥2时,an=Sn-1+n-1,两式相减得an+1-an=an+1,即an+1=2an+1,整理得an+1+1=2(an+1),而a2=S1+1=a1+1=2,因此数列{an+1}(n≥2)是首项为3,公比为2的等比数列,an+1=3×2n-2,a=1不满足上式,则b1=,当n≥2时,bn=,Tn=,而T1=b1=,依题意,M≥,所以实数M最小值为.故选C.] 7.D　[由题意,an+1=,两边取倒数可化为+n,所以=1,=2,…,=n-1,由累加法可得,=1+2+…+(n-1)=,因为a1=8,所以,所以bn=,因为数列{bn}是递减数列,故bn<bn-1,即,整理可得,λ>-,因为n≥2,n∈N*,所以,故λ∈.故选D.] 8.A　[令f(x)=x+sin x,则f'(x)=1+cos x≥0,故f(x)在定义域内单调递增,又f(-x)=-x+sin(-x)=-x-sin x=-f(x),故f(x)为奇函数,由a1 013+sin(a1 013-2)=1,可得a1 013-2+sin(a1 013-2)=1-2=-1,故有f(a1 011)=1,f(a1 013-2)=-1,又f(x)在定义域内单调递增且为奇函数,故有a1 011+a1 013-2=0,即a1 011+a1 013=2,即a1 012=1,故S2 023=2023a1 002=2 023,又f(0)=0+sin 0=0<f(a1 011)=1<f(1)=1+sin 1,即0<a1 011<1,故d=a1 012-a1 011=1-a1 011<1.故选A.] 9.BCD　[A:当λ=-1时,an+2=-an+1-an,得a3=-a2-a1=-3,a4=-a3-a2=1,a5=-a4-a3=2,a6=-a5-a4=-3,所以数列{an}是以3为周期的周期数列,则a2 024=a2=2<2 024,不符合题意,故A错误; B:当λ=2时,an+2=2an+1-an,得a3=2a2-a1=3,a4=2a3-a2=4,a5=2a4-a3=5,a6=2a5-a4=6,…,an=n,所以a2 024=2 024,符合题意,B正确; C:当λ=时,an+2=an+1-an,得a3=a2-a1=22,a4=a3-a2=23,a5=a4-a3=24,a6=a5-a4=25,…,an=2n-1,所以a2 024=22 023>2 024,符合题意,故C正确; D:当λ=-2时,an+2=-2an+1-an,得a3=-2a2-a1=-5,a4=-2a3-a2=8,a5=-2a4-a3=-11,a6=-2a5-a4=14,…,an=(-1)n(3n-4),所以a2 024=3×2 024-4=6 068>2 024,符合题意,故D正确.故选BCD.] 10.ACD　[由Sn=n2+λn+μ,当n=1时,a1=1+λ+μ,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+λn+μ-[(n-1)2+λ(n-1)+μ]=2n-1+λ,若μ=0,则a1=1+λ,符合an=2n-1+λ,故{an}为等差数列,A正确;若μ=3,则a1=4+λ,a2=3+λ,所以{an}不是递增数列,B错误;若λ=-,则a1=μ-,当n≥2时,an=2n-,为公差为2的等差数列,且a3=-<0,a4=>0,所以当且仅当n=3时Sn取得最小值,C正确;当n≥2时,Sn-Sn-1=2n-1+λ,故数列{Sn}为递增数列等价于2n-1+λ>0,即λ>1-2n(n≥2),可得λ>-3,故D正确.故选ACD.] 11.ABD　[对于A中,由,{bn}满足bn=1+,因为a1=1,可得b1=1+=2,当n=1时,可得=2,解得a2=,b2=1+=4;当n=2时,可得=4,解得a3=,b3=1+=8;可得a1b1=a2b2=a3b3=2,所以A正确;对于B中,由数列{an}满足,当n≥2时,,两式相减得,整理得=an+1·an-1,又因为,所以数列{an}是首项为a1=1,公比为的等比数列,所以an=,又由bn=1+=1+1+2+22+…+2n-1=2n,则anbn=×2n=2,an+1bn+1=×2n+1=2,所以anbn=an+1bn+1,所以B正确;对于C中,因为数列{an}是首项为a1=1,公比为的等比数列,所以数列{an}为递减数列,所以ak>ak+1,所以C不正确;对于D中,由数列{bn}满足bn=2n,则bn+1-bn=2n+1-2n=2n>0,所以数列{bn}为递增等比数列,且b1+b2+…+bn==2n+1-2<2n+1,所以D正确.故选ABD.] 12.　[因为a2=11,an+1=,所以a1=,a3=,a4=,所以{an}是周期为3的数列,故a985=a1=.] 13.31　[令bk=ak+1-ak,则依题意,bk和bk+1中,仅有一个为1(即只能隔项为1),若b1=b3=b5=b7=1,则 a1=6,a2=7,a3≥1,a4≥2,a5≥1,a6≥2,a7≥1,a8≥2,a9=9,此时a1+…+a9的最小值为31;若b2=b4=b6=b8=1,则 a2≥1,a3≥2,a4≥1,a5≥2,a6≥1,a7≥2,a8=8,a9=9,此时a1+…+a9的最小值为32,故最小值为31.] 14.10　[依题意,a1=1,且ak-ak-1=3k2-3k+1(k≥2),所以ak=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(ak-ak-1)= 1+(3×22-3×2+1)+(3×32-3×3+1)+…+(3k2-3k+1)=(3×12-3×1+1)+(3×22-3×2+1)+(3×32-3×3+1)+…+(3k2-3k+1)= 3(12+22+32+…+k2)-3(1+2+3+…+k)+k=+k=k3, 由题意得b1=1,bk=bk-1+bk-1,所以{bk}是以1为首项,为公比的等比数列,所以bk=. 故小王对第k层住宅的购买满意度ck=. 法一　由=>1,即k<1,解得k<9.940 4,所以c1<c2<c3<…<c9<c10, 同理有c10>c11>c12>…,小王最想购买第10层住宅. 法二　设f(x)=(x≥1),则f'(x)=,故1≤x≤时f(x)>0,故f(x)在上为增函数, x≥时f'(x)<0,故f(x)在上为减函数. 由于≈10.431 2,<1, 故f(10)最大,小王最想购买第10层住宅.] 学科网（北京）股份有限公司 $$