第01讲 勾股定理（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

第01讲 勾股定理 【题型1：用勾股定理解三角形】 【题型2：已知两点坐标求两点距离】 【题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积】 【题型4：勾股定理的证明】 【题型5：勾股定理与无理数】 【题型6：勾股数】 考点1：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【题型1：用勾股定理解三角形】 【典例1】（24-25八年级上·贵州·期末）如图四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出，根据四边形的面积直角三角形的面积+直角三角形的面积，即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得：， 又， ∴根据勾股定理得：， 则． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，当无人机从地面的处竖直上升30米时，与地面上处的距离为50米，若，在一条直线上，则，之间的距离为（    ） A．80米 B．60米 C．45米 D．40米 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）， 即，之间的距离为40米． 故选：D． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，中，，是边的高，是的中点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，含的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据题意，计算出的长度，进而求得的长度，利用勾股定理，即可求解； 【详解】解：，是的中点， ， ， ， ∵， ∴，， 则，， ； 故选：A 【变式1-3】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，，于点D，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，以及等面积法，先运用勾股定理列式计算，得，结合等面积法，则，求出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵于点D， ∴， 即， ∴． 【题型2：已知两点坐标求两点距离】 【典例2】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，，则． 【直接应用】 (1)已知，，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）作点B关于轴的对称点，连接，交轴于点，则根据“两点之间，线段最短”知，的最小值为的长， 根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：如图，作点B关于轴的对称点，连接，交轴于点，则， ∴ ∵， ∴ 根据“两点之间，线段最短”知，的最小值为的长， 又， ∴的最小值为． 【变式2-1】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）若以点A，B为圆心、1个单位长度为半径的两个圆的位置如图所示，则A，B两点的距离为 个单位长度． 【答案】5 【分析】本题考查了两坐标间的距离，由图得，，利用两坐标间的距离公式列式计算即可得解． 【详解】解：由图可得，， ∴A，B两点的距离为， 故答案为：5． 【变式2-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）点，是平面直角坐标系中的两点，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中求两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题关键；根据两点间距离公式计算即可． 【详解】解：，， 则线段， 故答案为：． 【变式2-3】（2024八年级上·上海·专题练习）直角坐标平面内的点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离公式：设有两点，，则这两点间的距离为，直接利用两点间的距离公式求解，熟练掌握两点间的距离公式是解此题的关键． 【详解】解：∵点，， ． 故答案为：． 【题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例3】（22-23八年级上·江苏扬州·期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释． (1)如图1，在中，，以的三边长向外作正方形，其面积分别为，直接写出之间存在的等量关系：______ (2)如图2，在中，，以的三边长为直径向外作半圆，其面积分别为，那么第（1）问的结论是否成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】此题考查了运用勾股定理解决几何问题的能力，关键是能准确理解题意并列式，运用勾股定理进行推理、求解． （1）先根据正方形的面积分别列式表示出，再运用勾股定理可得； （2）先根据半圆的面积分别列式表示出，再运用勾股定理可得． 【详解】（1）解：在中，， ∴， 由题意得，，， ∴； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 在中，， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴． 【变式3-1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别为，，，，则正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设中间两个正方形和正方形的面积分别为，，，然后由勾股定理解答即可，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 【详解】解：设中间两个正方形和正方形的面积分别为，，，如图， 由勾股定理得：，，， ∴； ∴正方形的面积， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．根据正方形的面积公式，运用勾股定理，发现：2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积． 【详解】解∶ 由图形可知2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积， 故正方形A，B的面积之和． 故选：D． 【变式3-3】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，以的三边为边长向外作等边三角形，已知10， 6，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形性质和勾股定理． 根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形面积由此即可解题． 【详解】解：过点D作，垂足为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵10， 6， ∴， 故答案为4． 考点2：勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【题型4：勾股定理的证明】 【典例4】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简得，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： (1)如图2，中，是边上的高，，设，求x的值． (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且，则小正方形的面积为多少？ (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是________； A．函数思想   B．整体思想   C．分类讨论思想   D．数形结合思想 (4)请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理． 【答案】(1) (2)2 (3)D (4)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、完全平方公式的应用等知识，理解并掌握勾股定理及其验证过程是解题关键． （1）结合题意可知，，然后在和中，利用勾股定理列式求解即可； （2）设大正方形的边长为，由题意可知，利用勾股定理可得，结合易得，然后根据完全平方公式，由，即可求得答案． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了数相结合的数学思想，即可获得答案； （4）根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积，以及梯形面积等于其上底加下底乘高除以2进行证明即可． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，， ∴， 在和中， 可有， 即，整理可得， ∴； （2）解：设大正方形的边长为， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， 又∵小正方形的边长为：， ∴， 即小正方形的面积为2． （3）解：勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选D； （4）解：， 梯形的面积又可表示为 ， ∴ 即， ∴直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边． 【变式4-1】（24-25七年级上·山东烟台·期中）材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， (1)材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 (2)试说明 ； (3)若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 【答案】(1)C； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等． （1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （2）通过证得，根据全等三角形的对应边相等证得结论； （3）利用等面积法证得勾股定理． 【详解】（1）解：根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C （2）解：由题意得： ∵直线m ，直线m ∴ （3）解：由（2）可知： 又 【变式4-2】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为． (1)在图1中，若，，则小正方形的边长为_____； (2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接） (3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)76 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出，然后根据线段的和差求解即可； （2）连接，根据正方形的面积与四边形的面积相等即可证明； （3）根据外延部分的4个三角形全等,且,由勾股定理求得,根据风车的外围周长是，计算求解即可， 【详解】（1）解：由勾股定理得：， 小正方形的边长为：， 故答案为：3； （2）（答案不唯一） 证明：如图，连接， ， 正方形的面积为， ，，， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 四边形的面积为：， 正方形的面积与四边形的面积相等， ， ， ， ． （3）解：如图，以为边的正方形面积为61, , 由题意知，外延部分的4个三角形全等，图1中较短的直角边长为5， ， ， ， 这个风车的外围周长是： 故答案为：76 【变式4-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】此题考查了勾股定理的证明和应用． （1）大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此列式计算即可得到结论； （2）由大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积列式求出，由题意知，即可求出的值． 【详解】（1）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． ， ， ． （2）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． 大正方形的面积是15，小正方形的面积是4， ， ， 由题意知， ． 【题型5：勾股定理与无理数】 【典例5】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）观察下面图形，每个小正方形的边长为1． (1)图中阴影正方形的面积是______，边长是______； (2)请用无刻度的直尺和圆规在右图的数轴上作出点，使得点表示的数为（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)13； (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根，割补法求网格中图形面积，勾股定理与无理数，尺规作图等知识；掌握这些知识是关键； （1）用大正方形面积减去四个面积相等的小三角形即可求解；利用算术平方根即可求得正方形的边长； （2）构造两直角边分别为2与3的直角，由勾股定理得斜边，再在数轴上以O为圆心，为半径，在数轴上原点右边截取线段即可． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积为； 阴影正方形的边长为：； 故答案为：13；； （2）解：如图，点表示的数为． 【变式5-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，数轴上的点表示的数是0，点表示的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得，再求出，结合数轴即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 【变式5-2】（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，点A，B在数轴上对应的数分别为1，2．以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知：， ∴与点D对应的数是； 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级上·广东清远·期中）如图所示，已知，，． (1)数轴上点所表示的数为______； (2)求出点表示的数的倒数为______； (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题为考查勾股定理、实数与数轴，二次根式的化简，体现了“数形结合”的思想，解题的关键构造恰当的直角三角形． （1）根据勾股定理即可求得的长度，从而得出的长度，再考虑点A位于原点的左侧，为负数，即可得解； （2）根据倒数的定义得到点A表示的数的倒数，再将分母有理化即可解答； （3）过表示数3的点作数轴的垂线，取，以为圆心，为半径画弧与数轴相交于点，则点G就是表示的点． 【详解】（1）解：∵，， ∴在中，， ∴， ∴点A表示的数是． 故答案为： （2）解：∵的倒数是， ∴点表示的数的倒数为． 故答案为： （3）解：如图，点G表示的数为． 考点3：勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【题型6：勾股数】 【典例6】（24-25八年级上·江西九江·期末）下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数“能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数”，熟记勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不是勾股数，不符合题意； B、，则此项是勾股数，符合题意； C、，则此项不是勾股数，不符合题意； D、，则此项不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 【变式6-1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）下面各组数中，是勾股数的是（    ） A．2，3，4 B．，，8 C．1，1，2 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意． B、，不是勾股数，故本选项不符合题意． C、，不是勾股数，故本选项不符合题意． D、，是勾股数，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式6-2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，首先勾股数要满足都是正整数，其次勾股数中两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，2，3不是勾股数，故此选项不符合题意； B、∵， ∴4，2，3不是勾股数，故此选项不符合题意； C、∵0.3，0.4，0.5不是整数， ∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，故此选项不符合题意； D、∵， ∴6，8，10是勾股数，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式6-3】（24-25八年级上·河北保定·期中）右面是数学交流群中的一个截图片段，则回答正确的是（    ） A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及勾股数，根据勾股定理依次判断即可． 【详解】解：A、不是正整数，不属于勾股数，不符合题意； B、，不属于勾股数，不符合题意； C、，属于勾股数，符合题意； D、不是正整数，不属于勾股数，不符合题意； 故选：C． 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握以直角三角形的三边为边长的图形面积计算方法是解题的关键．利用两个大正方形的面积分别为和，得出，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， ∵两个大正方形的面积分别为和， ∴，， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．6，8，10 B．5，12，13 C．8，15，17 D．5，7，9 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，掌握勾股数的计算是解题的关键． 勾股数是指能够构成直角三角形三边的一组正整数，满足勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，由此即可求解． 【详解】解：A、，故该选项是勾股数，不符合题意； B、，故该选项是勾股数，不符合题意； C、，故该选项是勾股数，不符合题意； D、，故该选项不是勾股数，符合题意； 故选：D ． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．小立发现勾是9，股是40，弦长为（    ） A．7 B．31 C．41 D．49 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，直接由勾股定理列式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得：弦长= ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·山西·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于下列哪部著名数学著作中（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的历史渊源，加强教材的阅读，熟记相关知识的来源于出处． 【详解】解：早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于下列哪部著名数学著作《周脾算经》中． 故选：A． 5．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，是竖直线，高度为，的长是，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，理解在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解答关键． 根据题意得到两条直角边的长度，用勾股定理求解． 【详解】解：由题意得，， ． 故选：A． 6．（22-23八年级上·四川内江·期末）在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 8 15 24 35 48 10 17 26 37 50 则当时，的值为（   ） A．242 B．200 C．128 D．162 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定、、的数量关系． 根据表格中数据确定、、的关系，然后再代入求出、的值进而可得答案． 【详解】解：根据表格中数据可得：，并且， 则， 当时，， 解得， 则， 则． 故选：D． 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，，垂足分别为、、，若，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据直角三角形的性质、勾股定理求出，，根据证明，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：1． 8．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，中，于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用，根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，过A作且，根据勾股定理，得，过作且得；以此类推，得 ． 【答案】 【分析】本题为考查勾股定理和图形类的规律探索，熟练掌握勾股定理以及找到图形之间的规律是解题关键．利用勾股定理分别求出各边长，进而得出每个斜边的长的规律，进而得出答案． 【详解】解：由勾股定理可知，，， ∵， ， ， ， ……， ∴以此类推，得， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知中，于点D． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边对等角，勾股定理，是解题的关键： （1）等边对等角，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，再用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）在中， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得． 11．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为，， ，四边形的面积可以表示为或，从而可推导出． (1)将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止（如图2），此时与相交于点，连接，，请利用图2证明勾股定理； (2)在图2的基础上，若四边形的面积为200，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）先根据题意求出梯形的面积，再求出四边形的面积，即可证明结论； （2）根据题意得到，进而得到，再根据计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由图所示，，则由平移的性质可得到图中， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， 或（舍去）， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 勾股定理 【题型1：用勾股定理解三角形】 【题型2：已知两点坐标求两点距离】 【题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积】 【题型4：勾股定理的证明】 【题型5：勾股定理与无理数】 【题型6：勾股数】 考点1：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【题型1：用勾股定理解三角形】 【典例1】（24-25八年级上·贵州·期末）如图四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，当无人机从地面的处竖直上升30米时，与地面上处的距离为50米，若，在一条直线上，则，之间的距离为（    ） A．80米 B．60米 C．45米 D．40米 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，中，，是边的高，是的中点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，，于点D，，求的长． 【题型2：已知两点坐标求两点距离】 【典例2】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，，则． 【直接应用】 (1)已知，，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值． 【变式2-1】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）若以点A，B为圆心、1个单位长度为半径的两个圆的位置如图所示，则A，B两点的距离为 个单位长度． 【变式2-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）点，是平面直角坐标系中的两点，则线段 ． 【变式2-3】（2024八年级上·上海·专题练习）直角坐标平面内的点，，则 ． 【题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例3】（22-23八年级上·江苏扬州·期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释． (1)如图1，在中，，以的三边长向外作正方形，其面积分别为，直接写出之间存在的等量关系：______ (2)如图2，在中，，以的三边长为直径向外作半圆，其面积分别为，那么第（1）问的结论是否成立？请说明理由． 【变式3-1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别为，，，，则正方形的面积是 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，以的三边为边长向外作等边三角形，已知10， 6，则 ． 考点2：勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【题型4：勾股定理的证明】 【典例4】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简得，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： (1)如图2，中，是边上的高，，设，求x的值． (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且，则小正方形的面积为多少？ (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是________； A．函数思想   B．整体思想   C．分类讨论思想   D．数形结合思想 (4)请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理． 【变式4-1】（24-25七年级上·山东烟台·期中）材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， (1)材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 (2)试说明 ； (3)若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 【变式4-2】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为． (1)在图1中，若，，则小正方形的边长为_____； (2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接） (3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____． 【变式4-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 【题型5：勾股定理与无理数】 【典例5】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）观察下面图形，每个小正方形的边长为1． (1)图中阴影正方形的面积是______，边长是______； (2)请用无刻度的直尺和圆规在右图的数轴上作出点，使得点表示的数为（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式5-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，数轴上的点表示的数是0，点表示的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，点A，B在数轴上对应的数分别为1，2．以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数是 ． 【变式5-3】（24-25八年级上·广东清远·期中）如图所示，已知，，． (1)数轴上点所表示的数为______； (2)求出点表示的数的倒数为______； (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 考点3：勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【题型6：勾股数】 【典例6】（24-25八年级上·江西九江·期末）下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11 【变式6-1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）下面各组数中，是勾股数的是（    ） A．2，3，4 B．，，8 C．1，1，2 D．3，4，5 【变式6-2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，10 【变式6-3】（24-25八年级上·河北保定·期中）右面是数学交流群中的一个截图片段，则回答正确的是（    ） A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．6，8，10 B．5，12，13 C．8，15，17 D．5，7，9 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．小立发现勾是9，股是40，弦长为（    ） A．7 B．31 C．41 D．49 4．（24-25八年级上·山西·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于下列哪部著名数学著作中（   ） A．B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，是竖直线，高度为，的长是，则的长是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·四川内江·期末）在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 8 15 24 35 48 10 17 26 37 50 则当时，的值为（   ） A．242 B．200 C．128 D．162 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，，垂足分别为、、，若，，则 ． 8．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，中，于点，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，过A作且，根据勾股定理，得，过作且得；以此类推，得 ． 10．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知中，于点D． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 11．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，的三边长分别为，， ，四边形的面积可以表示为或，从而可推导出． (1)将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止（如图2），此时与相交于点，连接，，请利用图2证明勾股定理； (2)在图2的基础上，若四边形的面积为200，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$