浙江省宁波市奉化区2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

2024学年第一学期期末试卷 高二数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分. 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上. 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．已知直线和平面，则下列命题正确的是（     ） A． B． C． D． 4．设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若， 则等于（    ） A． B．11 C．15 D．5 5．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 6．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过5次操作之后所得图形的面积是（    ） A． B． C． D． 7．P是椭圆C：上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且． 则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知，直线，直线， 若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合，题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若对空间中任意一点，有，则四点共面 B．已知任意非零向量，若，则 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，则三点共线 10．已知直线，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 11．如图，P是椭圆与双曲线 在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为， 则下列结论正确的是（    ） A． B． 若，则 C． 若，则的最小值为2 D． 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数的图象在点处的切线方程为 ． 13．已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点， 则的最小值为 . 14． 设首项是1的数列的前n项和为，且 ， 若 ，则正整数m的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）已知圆，圆. (1)试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由； (2)若过点P的直线l与圆C相切，求直线l的方程. 16．（15分）如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形. (1)求证：平面； (2)若平面，，，，求： （ⅰ）二面角的余弦值； （ⅱ）点到平面的距离. 17．（15分）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是 三角形面积的二倍，求直线的方程． 18.（17分）已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质， 其中，，，试求数列的通项公式. 19．（17分）已知，其中. (1)讨论的单调性； (2)取，，其中，求最小的k，使有两个零点. 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期期末试卷答案 高二数学 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B D A C B 题号 9 10 11 答案 AD ACD BD 12． 13． 14．8 15． 【解答】 （1）把圆M的方程化成标准方程，得， 圆心为，半径. ……2分 圆C的圆心为，半径， ……3分 因为， ……5分 所以圆C与圆M相交， ……6分 （2） ①当直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为到圆心C距离为2，满足题意； ……8分 ②当直线l的斜率存在时，设其方程为， ……9分 由题意得，解得， ……11分 故直线l的方程为. ……12分 综上，直线l的方程为或. ……13分 16． 【解答】 （1）过C作交于G点， 因为，所以四边形为平行四边形，则， ……2分 又四边形为平行四边形，所以， 所以， ……4分 则四边形为平行四边形， 即， ……6分 易知平面，平面， 所以平面； ……7分 （2）因为平面，平面， 所以， 又，所以三条线两两垂直， 即可以以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则，所以， ……9分 设平面的一个法向量为，则， 令，即， ……11分 （ⅰ）易知平面的一个法向量为， 二面角的平面角为锐角， 设二面角的一个平面角为， 则； ……12分 （ⅱ）易知，则点到平面的距离. ……15分 17． 【解答】 （1）如图，    由题意得，解得，所以， ……3分 所以椭圆的方程为，离心率为. ……5分 （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组， ……7分 消去整理得：， 由韦达定理得， ……9分 所以， 所以，. ……11分 所以,,， 所以， 所以，即， ……13分 解得，所以直线的方程为. ……15分 18． 【解答】 （1）由题意数列具有性质为等比数列,设公比为, 由得 , ……4分 （2）数列具有性质;证明如下: 因为, 所以 ……6分 则,即为等比数列, ……9分 所以数列具有性质. （3）因为,则 , 故, 适合该式,故, ……11分 所以由 得 , 因为数列具有性质，故为等比数列， 设其公比为，则， ……13分 故 当为偶数时, , 当为奇数时, , 故 ……17分 19． 【解答】 （1）因为，定义域为，所以， ……2分 ①时，，即在单调递增； ……4分 ②时，当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减. ……7分 （2）时，， ……8分 则， ……10分 设，，所以在单调递增， ……12分 又因为，， 所以存在，满足，即， 化简得：，解得，， ……14分 当时，，即，则单调递减； 当时，，即，则单调递增； 要使得有两个零点，则必要条件为， 即，即， 因为，所以k最小值为0， 再证当时，有两个零点， 因为，，， 所以存在，，满足，即此时有两个零点. 综上所述，最小的k为0. ……17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$