26.2 实际问题与反比例函数 同步练习卷2024-2025学年 人教版数学九年级下册

人教新版九年级下册《26.2 实际问题与反比例函数》2024年同步练习卷 一、选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是(    ) A. B. C. D. 2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度千米/小时与时间小时的关系是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC边上运动，连结AE，过点D作，垂足为F，设，，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 4.如图，一块长方体大理石板的A、B、C三个面上的边长如图所示，如果大理石板的A面向下放在地上时地面所受压强为m帕，则把大理石板B面向下放在地上时，地面所受压强是______ m帕. 5.一定质量的氧气，它的密度单位：是它的体积单位：的反比例函数，当时，则： ，V之间的函数解析式为______； 当时，氧气的密度______. 6.某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为的条件下生长最快的新品种.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度单位：随时间单位：变化的函数图象如图所示，其中BC段是双曲线的一部分.恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有______ h；______；当时，大棚内的温度约为______ 7.边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中的阴影部分的面积之和是______. 8.我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系.现有某学生利用一个最大电阻为的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示. 电流安培与电阻欧姆之间的函数解析式为______； 当电阻在之间时，电流应在______范围内，电流随电阻的增大而______； 若限制电流不超过20安培，则电阻在______之间. 三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题8分 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利地完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积单位：的变化，人和木板对地面的压强单位：将如何变化？如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么： 用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？ 当木板面积为时，压强是多少？ 如果要求压强不超过6000Pa，那么木板面积至少要多大？ 在平面直角坐标系中作出相应的函数图象. 10.本小题8分 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释效过程中，室内每立方米空气中的含药量毫克与时间分钟成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题： 写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 11.本小题8分 某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价元/双 150 200 250 300 销售量双 40 30 24 20 观察表中数据，求出x与y之间的函数关系式； 若商场计划每天的销售利润为2000元，则其单价应定为多少元？ 12.本小题8分 在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数天与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分． 请根据题意，求y与x之间的函数表达式； 若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？ 13.本小题8分 环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的，环保局要求该企业立即整改，在15天以内含15天排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间天的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系. 求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式要求标注自变量的取值范围 该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内含15天排污达标？为什么？ 14.本小题8分 某蓄水池的排水管每时排水，10小时可将满水池全部排空. 蓄水池的容积是多少？ 如果增加排水管，使每时的排水量达到，那么将满池水排空所需的时间将如何变化？ 写出t与Q之间的关系式； 如果准备在5h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？ 已知排水管的最大排水量为每时，那么最少多长时间可将满池水全部空？ 15.本小题8分 实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，小时内其血液中酒精含量毫克/百毫升与时间时的关系可近似地用二次函数刻画；小时后包括小时与x可近似地用反比例函数上刻画如图所示 根据上述数学模型计算：喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ 按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由． 16.本小题8分 制作一种产品，需先将材料加热达到后，再进行操作，设该材料温度为从加热开始计算的时间为据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系如图已知在操作加热前的温度为，加热5分钟后温度达到 分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式； 根据工艺要求，当材料的温度低于时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？ 17.本小题8分 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压千帕是气球体积立方米的反比例函数，其图象如图所示千帕是一种压强单位 写出这个函数的解析式； 当气球的体积为立方米时，气球内的气压是多少千帕？ 当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少立方米？ 18.本小题8分 某公司从2016年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表： 年度 2016 2017 2018 2019 投入技改资金万元 3 4 产品成本万元/件 6 4 请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其表达式. 按照这种变化规律，若2020年已投入技术改进资金5万元. ①预计生产成本每件比2019年降低多少万元？ ②若打算在2020年把每件产品成本降低到万元，则还需要投入技改资金多少万元？结果精确到万元 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：煤的总吨数为300，平均每天烧煤的吨数为x， 这些煤能烧的天数为， 故选： 这些煤能烧的天数=煤的总吨数平均每天烧煤的吨数，把相关数值代入即可． 此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，得到这些煤能烧的天数的等量关系是解决本题的关键． 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查根据实际问题列反比例函数关系式，用关系式表示变量间的关系，解题的关键是理解路程=速度时间． 根据路程=速度时间，利用路程相等列出等式即可解决问题． 【解答】 解：由题意得：， 则 故选： 3.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD为矩形， ，，， ， 而， ， ∽， ：：DF，即x：：y， 故选 利用矩形的性质得，，，则根据平行线的性质得，于是根据相似三角形的判定方法得到∽，则利用相似比可得，所以y与x之间函数关系的图象为双曲线，且自变量的范围为，然后根据此特征对各选项进行判断． 本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是证明∽，利用相似比找到x和y的关系． 4.【答案】3  【解析】解：设大理石板重力为F， 则， ， ， 帕． 故答案为： 设大理石板的重力为F，其值为定值；且有，即P与S成反比例关系，且A面向下放在地上时地面所受压强为m帕，则把大理石板B面向下放在地上时，地面所受压强是帕． 现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 5.【答案】    【解析】解：一定质量的氧气，它的密度单位：是它的体积单位：的反比例函数，当时，， 设，则， 即，V之间的函数解析式为：； 故答案为：； 当时，氧气的密度 故答案为： 直接利用已知设，进而代入已知数据得出答案； 直接利用中所求代入数据得出答案． 此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 6.【答案】10  216    【解析】解：恒温系统在这天保持大棚温度的时间为：小时， 点在双曲线上， ， 解得：， 当时，， 所以当时，大棚内的温度约为 故答案为：10，216， 根据图象直接得出大棚温度的时间为，再利用待定系数法求反比例函数解析式，把代入得出答案． 此题主要考查了反比例函数的应用等知识，求出反比例函数解析式是解题关键． 7.【答案】8  【解析】解：由两函数的解析可知：两函数的图象关于原点成中心对称． 正方形ABCD的对称中心是坐标原点O， 四个小正方形全等， 反比例函数的图象与两坐标轴及正方形各边所围成的图形对应全等， 阴影部分的面积 故答案为： 先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图象之间的关系，再根据正方形ABCD的对称中心是坐标原点O可知图中四个小正方形全等，反比例函数的图象与两坐标轴及正方形各边所围成的图形对应全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半． 本题考查的是关于x轴对称的反比例函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答． 8.【答案】  安培安培  减小    【解析】解：设函数解析式为， 将点代入，得， 故函数解析式为； 当时，可得， 故电流应在安培安培范围内；电流随电阻的增大而减小； 若限制电流不超过20安培， 则， 最大电阻为的滑动变阻器， 电阻在之间． 故答案为：；安培安培，减小； 设出函数解析式为，将点代入求得m值，则函数解析式即可求出； 令求得I的取值范围即可，电流随电阻的增减性可由反比例函数的性质求得； 令求得R的取值范围，需注意最大电阻为 此题考查了反比例函数在物理问题中的运用，体现了各学科之间的紧密联系，比较简单． 9.【答案】解：压力一定时，压强和受力面积成反比； ， ，p是S的反比例函数，符合反比例函数的定义； 当时，， 故当木板面积为时，压强为3 000 Pa； 把 000Pa代入解析式得：  ， 解得：， 如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要； 在平面直角坐标系中作出的图象为：   【解析】压力一定时，压强和受力面积成反比，根据压力为600N写出解析式即可； 在的基础上可求出函数值p； 压强不超过6 000 Pa，即时，求相对应的自变量的范围； 根据反比例函数的解析式画出图象即可． 本题考查反比例函数的应用，涉及反比例函数的定义，反比例函数图象上点的特征以及反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的相关性质且能读懂题意，学以致用是解题的关键． 10.【答案】解：当时，设；当时，设 将代入， 得：，解得：， 将代入， 得：，解得：， 故正比例函数解析式是，反比例函数解析式是； 当时，， 解得：， 120分钟小时， 答：从药物释放开始，至少需要经过2小时后，学生才能进入教室．  【解析】首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量毫克与时间分钟成正比；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系式； 根据中的解析式列出关系式，进一步求解可得答案． 本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；将代入函数关系式求出x的值． 11.【答案】解：由表中数据得：， ， 是x的反比例函数， 故x与y之间的函数关系式为； 由题意得， ， 解得，； 经检验，是原方程的根， 答：若商场计划每天的销售利润为2000元，则其单价应定为180元．  【解析】根据表格中的数据可以判断x与y的函数关系，本题得以解决； 根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 本题考查反比例函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数关系式和列出形应的方程． 12.【答案】解：设 点在其图象上， 所求函数表达式为； 由图象，知共需开挖水渠； 2台挖掘机需要天； 故每天至少要完成  【解析】将点代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式； 用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间； 工作量除以工作时间即可得到工作的效率． 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型． 13.【答案】解：分情况讨论：①当时， 设线段AB对应的函数表达式为； 把，代入得 ， 解得：， ； ②当时，设， 把代入得：， ； 综上所述：y与x的函数表达式为 能，理由如下： 令， 则， 能在15天以内含15天排污达标．  【解析】段是直线，函数是一次函数；时，函数是反比例函数．反比例函数过点，该点满足反函数解析式； 求出时x的值，与15进行比较． 此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 14.【答案】解：蓄水池的容积是：； ，Q与t成反比例关系． 增大，t将减少； 与Q之间的关系式为； ，解不等式得，，即每小时的排水量至少为； 当时，由得，即最少用可将满池水全部排空．  【解析】根据：每小时排水量排水时间=蓄水池的容积，可以得到函数关系式． 已知每小时排水量及排水时间10h，可求蓄水池的容积为； 由基本等量关系得，判断函数关系，确定增减情况； 由可得：； 都是函数关系式的运用． 本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，再运用函数关系式解题． 15.【答案】解：， 时，血液中的酒精含量达到最大值，最大值为毫克/百毫升； 不能驾车上班； 理由：晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时， 将代入， ， 第二天早上7：00不能驾车去上班．  【解析】利用确定最大值； 求出时，y的值，进而得出能否驾车去上班． 本题为二次函数和反比例函数的应用，根据图象得出正确信息是解题关键，能够从实际问题中抽象出二次函数模型是解答的重点． 16.【答案】解：当时， 设一次函数解析式为， 把，代入得， 解得， 所以一次函数解析式为； 当时，设反比例函数解析式为， 把代入得， 所以反比例函数解析式为； 当时，，解得， 所以从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．  【解析】本题考查了反比例函数的应用：正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 当时，设一次函数解析式为，把，代入，然后解关于k、b的方程组即可；当时，设反比例函数解析式为，把代入求出m即可得到反比例函数解析式； 计算时所对应的反比例函数值即可． 17.【答案】解：设， 根据图象得在该函数图象上， ， 解得， 把代入，得千帕， 当气球的体积是米时，气球内的气压是20千帕． 由题意知，， 解得， 为了安全起见，气球的体积应不小于立方米．  【解析】点的坐标满足当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，则当千帕时，气球不会爆炸． 此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 18.【答案】解：假设能表示其变化规律的为一次函数，设解析式为， 当时，；当时，， ， 解得，， 一次函数解析式为 把时，代入此函数解析式， 左边右边． 其不是一次函数． 同理，其也不是二次函数． 设其为反比例函数，解析式为， 当时，，可得：， 解得， 反比例函数是 验证：当时，，符合反比例函数， 同理可验证时，，时，成立． 可用反比例函数表示其变化规律； ①当万元时， 万元， 生产成本每件降低万元． ②当万元时， ， 万元， 还约需投入万元．  【解析】根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例函数，利用待定系数法求解即可； 把万元和分别代入函数解析式即可求解． 本题考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$