信息必刷卷02（新高考八省专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷

2025年高考考前信息必刷卷02（新高考八省专用） 数 学·参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D A C C A B C B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABC BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．/ 13．120 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）列联表数据如下： 时长 其他 总计 优秀 不优秀 总计 （4分） 所以有的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于小时且小于小时有关．（5分） （2）设，则， 由，得， 而，则．（8分） 又，于是， 得，即， 而，因此，（12分） 由，得，所以.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）第一个等边三角形顶点坐标代入得， 将点坐标代入，解得，（2分） 将点坐标代入解得，故推测：.（4分） 下面提供证明： 依题意，点，（）在上， 可得，①； 又在上， 可得，②， 由②-①，，因，则得，，（）， 即为首项是，公差是的等差数列，故.（10分） （2）由（1）得， 故 ．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）         设切点坐标为，则切线方程为，（2分） 因为切线经过原点，所以，解得，     所以切线的斜率为，所以的方程为.（5分） （2），，即成立， 则得在有解， 故有时，.  （8分）       令，，，         令得；令得， 故在单调递减，单调递增，（13分） 所以，         则，故的最小值为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由，可得，即． 又因为，解得．所以，椭圆的离心率为（4分） （2）（ⅰ）依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为． 由（Ⅰ）知，可得直线的方程为，即，与直线的方程联立， 可解得，即点的坐标为．（8分） 由已知，有，整理得，所以，即直线的斜率为．（10分） （ⅱ）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为． 由（ⅰ）得直线的方程为 与椭圆方程联立 消去整理得 解得（舍去）或． 因此可得点，（14分） 进而可得 所以．得． 所以，椭圆的方程为（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面， 而平面，故．（4分） （2）由题意易知两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则， （ⅰ）因为， 则，，，，，， 故，， 设为平面的法向量，则， 令，则， 可得为平面的一个法向量， 而，记直线与平面所成的角为， 则；（10分） （ⅱ）由题意， 设，， 故，，（12分） 设，，则， 而，， 若平面，则， 解得，（15分） 故当重合，点的坐标为时， 平面，此时．（17分） 2 / 5 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷02（新高考八省专用） 数 学 考情速递 高考·新动向：如第10题，第11题新文化题与函数和圆锥曲线相结合，体现新动向 高考·新考法：如第16题考查函数和数列相结合，体现新考法 高考·新情境：如13题涉足生活情境，借助实际生活考查统计与概率 命题·大预测：整套试题对知识和能力的考查相当灵活和宽泛，体现了新高考教考衔接的理念和特点。测试卷突出考查学生的思维品质和核心概念，引导高中数学教学遵循课程标准，突出基本目标，注重教材基础知识、基本技能考查、分析解决问题能力考查 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数，则的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 4．圆关于直线对称，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 8．已知函数，则满足的x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9．已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法中正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．双曲线的实轴长为4 C．双曲线的一条渐近线方程为 D．P为双曲线上一点，若，则 10．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：图象能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”.给出下列命题，其中正确的命题为（    ） A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B．函数可以是某个圆的“太极函数” C．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数” D．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形 11．十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴AB引垂线，垂足为Q，记.下列说法正确的是（    ） A．M的值与Р点在椭圆上的位置有关 B．M的值与Р点在椭圆上的位置无关 C．M的值越大，椭圆的离心率越大 D．M的值越大，椭圆的离心率越小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．过点作曲线的切线，则切点坐标为 . 13．从2024年伊始，各地旅游业爆火，兵马俑是陕西省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有 ；（用数字做答） 14．如图，在中，，，P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，则当取最大值时， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某校高一学生共有人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长与学业成绩的数据表： 平均作业时长（单位：小时） 学业成绩优秀： 学业成绩不优秀： (1)试判断：是否有的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于小时且小于小时有关？ (2)常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比，现从所有高一学生中任选一人，表示“选到的是男生”，表示“选到的学生成绩优秀”，若，求． 附：，． 16．（15分）如图，点均在x轴的正半轴上，，…，分别是以，，…，（）为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．    (1)求，，的值，并写出的通项公式（不用证明）； (2)求数列的前n项和． 17．（15分）已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若，使成立，求的最小值. 18．（17分）已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为，的面积为． (1)求椭圆的离心率； (2)设点Q在线段上，，延长线段与椭圆交于点P，若． （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）求椭圆的方程． 19．（17分）已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． (1)证明：； (2)已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4 / 5 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷02（新高考八省专用） 数 学 考情速递 高考·新动向：如第10题，第11题新文化题与函数和圆锥曲线相结合，体现新动向 高考·新考法：如第16题考查函数和数列相结合，体现新考法 高考·新情境：如13题涉足生活情境，借助实际生活考查统计与概率 命题·大预测：整套试题对知识和能力的考查相当灵活和宽泛，体现了新高考教考衔接的理念和特点。测试卷突出考查学生的思维品质和核心概念，引导高中数学教学遵循课程标准，突出基本目标，注重教材基础知识、基本技能考查、分析解决问题能力考查 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，当时， 所以 故选：D 2．若复数，则的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 所以的共轭复数为. 故选：A. 3．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，解得. 故选：C. 4．圆关于直线对称，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆可得标准方程为， 因为圆关于直线对称， 该直线经过圆心，即，，， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以 . 故选：A. 6．已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，圆柱的底面半径为，高为， 因为该圆柱的底面圆周都在球的表面上，设球的半径为， 则，即， 所以球的表面积为， 故选：B. 7．在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理可得. 因为，所以，所以，又， 所以或， 又因为，所以，故为等边三角形. 故选：C 8．已知函数，则满足的x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，的定义域为，， 因为， 所以为偶函数， 当时，令，则， 因为和在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增． 由，得，所以， 两边平方并整理，得，解得． 故选：B． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9．已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法中正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．双曲线的实轴长为4 C．双曲线的一条渐近线方程为 D．P为双曲线上一点，若，则 【答案】ABD 【详解】的准线方程为，A正确； 由，得，不妨设，则，故双曲线的实轴长为4，B正确； 令，知双曲线的一条渐近线方程为，C错误； 由双曲线的定义，知，可得（，舍），D正确． 故选：ABD 10．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：图象能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”.给出下列命题，其中正确的命题为（    ） A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B．函数可以是某个圆的“太极函数” C．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数” D．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形 【答案】ABC 【详解】任意一个圆是关于圆心的中心对称图形，其“太极函数”有无数个，故A正确； 函数是奇函数，其图象关于原点对称，将圆的圆心放在坐标原点上， 则是该圆的“太极函数”，故B正确； 将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，则正弦函数 是该圆的“太极函数”，故有无数个圆成立，故C正确； 函数的图象是中心对称图形，则是“太极函数”， 但函数是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如 图，故D错误. 故选：ABC. 11．十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴AB引垂线，垂足为Q，记.下列说法正确的是（    ） A．M的值与Р点在椭圆上的位置有关 B．M的值与Р点在椭圆上的位置无关 C．M的值越大，椭圆的离心率越大 D．M的值越大，椭圆的离心率越小 【答案】BD 【详解】不妨设椭圆方程为， 设，，则， 所以，，， 所以， 因为为定值，所以M的值与Р点在椭圆上的位置无关，故A不正确，B正确； 椭圆的离心率， 所以M的值越大，椭圆的离心率越小，故C不正确，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．过点作曲线的切线，则切点坐标为 . 【答案】/ 【详解】由，得，，化简得，， 则，设切点为，显然不在曲线上， 则，解得，则切点坐标为. 故答案为： 13．从2024年伊始，各地旅游业爆火，兵马俑是陕西省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有 ；（用数字做答） 【答案】120 【详解】先将“捆绑”看成一个元素，与另外四人在五个位置上进行全排， 再考虑在的左边，最后“解绑”，故有种方法. 故答案为：120. 14．如图，在中，，，P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，则当取最大值时， ． 【答案】/ 【详解】 如图所示，以为坐标原点，以方向为x轴，垂直方向为y轴，建立平面直角坐标系， 因为，，所以，． 设，圆O方程为， 则，， 所以． 因为，当时，， 此时，且，， 所以，，则． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某校高一学生共有人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长与学业成绩的数据表： 平均作业时长（单位：小时） 学业成绩优秀： 学业成绩不优秀： (1)试判断：是否有的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于小时且小于小时有关？ (2)常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比，现从所有高一学生中任选一人，表示“选到的是男生”，表示“选到的学生成绩优秀”，若，求． 附：，． 【答案】(1)有把握；(2). 【详解】（1）列联表数据如下： 时长 其他 总计 优秀 不优秀 总计 所以有的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于小时且小于小时有关． （2）设，则， 由，得， 而，则． 又，于是， 得，即， 而，因此， 由，得，所以. 16．（15分）如图，点均在x轴的正半轴上，，…，分别是以，，…，（）为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．    (1)求，，的值，并写出的通项公式（不用证明）； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，，；(2) 【详解】（1）第一个等边三角形顶点坐标代入得， 将点坐标代入，解得， 将点坐标代入解得，故推测：. 下面提供证明： 依题意，点，（）在上， 可得，①； 又在上， 可得，②， 由②-①，，因，则得，，（）， 即为首项是，公差是的等差数列，故. （2）由（1）得， 故 ． 17．（15分）已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若，使成立，求的最小值. 【答案】(1)(2). 【详解】（1）         设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线经过原点，所以，解得，     所以切线的斜率为，所以的方程为. （2），，即成立， 则得在有解， 故有时，.         令，，，         令得；令得， 故在单调递减，单调递增， 所以，         则，故的最小值为. 18．（17分）已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为，的面积为． (1)求椭圆的离心率； (2)设点Q在线段上，，延长线段与椭圆交于点P，若． （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）求椭圆的方程． 【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【详解】（1）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由，可得，即． 又因为，解得．所以，椭圆的离心率为 （2）（ⅰ）依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为． 由（Ⅰ）知，可得直线的方程为，即，与直线的方程联立， 可解得，即点的坐标为． 由已知，有，整理得，所以，即直线的斜率为． （ⅱ）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为． 由（ⅰ）得直线的方程为 与椭圆方程联立 消去整理得 解得（舍去）或． 因此可得点， 进而可得 所以．得． 所以，椭圆的方程为 19．（17分）已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示． (1)证明：； (2)已知点在线段上（含端点位置），点在线段上（含端点位置）． （ⅰ）若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）探究：是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【详解】（1）因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面， 而平面，故． （2）由题意易知两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则， （ⅰ）因为， 则，，，，，， 故，， 设为平面的法向量，则， 令，则， 可得为平面的一个法向量， 而，记直线与平面所成的角为， 则； （ⅱ）由题意， 设，， 故，， 设，，则， 而，， 若平面，则， 解得， 故当重合，点的坐标为时， 平面，此时． 6 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$