第15讲 平行四边形(第2课时)(二类知识点+十二大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第15讲 平行四边形(第2课时)（十二题型） 学习目标 1、掌握平行四边形的判定定理； 2、能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算． 一、平行四边形的判定定理1和2 问题：平行四边形的性质定理1的逆命题是什么?这个逆命题是真命题吗？ 探究要判断一个命题为真命题，需要进行证明.我们来尝试证明这个逆命题是真命题. 已知：四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 要证明一个四边形是平行四边形，现在只能依据平行四边形的定义，即要证明这个四边形的两组对边分别平行.于是，考虑利用平行线的判定定理，这就需要添加辅助线. 基于以上思考，这个命题的证明如下： 如图22-18,联结AC.在△ABC和△CDA中， :AB=CD,BC=DA,AC=CA, ∴△ABC≌△CDA 得∠1=∠2,∠3=∠4. ∴AB//CD,AD//BC. ∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义). 通过证明，可以确定平行四边形的性质1的逆命题是真命题，因此可用它来判定一个四边形是平行四边形. 平行四边形判定定理1 如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。 简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 同理，我们也得出平行四边形的他判定定理 平行四边形判定定理2如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形. 简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 证明过程如下： 已知；四边形ABCD中，AB//CD,且AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：如图22-19,联结AC..在△ABC和△CDA中： ∵AB//CD, ∴∠l=∠2. 又∵AB=CD,AC=CA, ∴△ABC≌△CDA.得BC=AD.∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). 二、平行四边形的判定定理3和4 平行四边形判定定理3 如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形 已知：如图22-21,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.AO=OC,BO=OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：在△AOB和△COD中， ∵AO=CO,∠AOB=∠COD,BO=DO, ∴△AOB≌△COD. 得AB=CD.同理可得BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). 平行四边形判定定理4 如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形. 简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 已知：如图22-22,四边形ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：在四边形ABCD中， ∠A+∠B+∠C+∠D=360°(多边形的内角和公式).又∵∠A=∠C,∠B=∠D,∴∠A+∠B=∠C+∠D=180°,∠A+∠D=∠B+∠C=180° 得AD//BC,AB//CD.∴ 四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义). 注：另外，利用平行四边形的定义也可以判定平行四边形，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 【即学即练1】【即学即练1】如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一判定即可． 本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【解析】根据平行四边形的判定定理，得 A. ，，是平行四边形，不符合题意；     B. ，，是平行四边形，不符合题意； C. ，，不是平行四边形，符合题意；     D. ，，是平行四边形，不符合题意； 故选C． 【即学即练2】四边形的对角线相交于点O，，添加下列条件， 能判定四边形 是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【解析】解：如图：    A、∵，，不是夹角，∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； B、∵，，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形；故该选项是正确的； C、∵，，不是夹角，∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形； D、∵，，，∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； 故选：B 【即学即练3】如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，，且，，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】20 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分和三角形的中线将三角形面积平分求解即可． 【解析】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、三角形的中线性质，熟练掌握平行四边形的性质，得到是解答的关键． 【即学即练4】如图，点是的中点，，，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由证明，得到，证出，即可得出结论． 【解析】证明：点是的中点， ； 在与中，， ， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形． 题型1:证明四边形是平行四边形 【典例1】．求证：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，____________________． 求证：____________________．    【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的判定方法“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由此即可求证． 【解析】已知：如图，在四边形中，，， 求证：四边形是平行四边形 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【典例2】．如图，在四边形中，．求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】根据分别得到，，根据平行四边形的定义即可得到结论． 【解析】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义是解题的关键． 【典例3】．如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先根据AD//BC、AE//CF得出等角，再证明，得到，从而证明四边形是平行四边形． 【解析】∵AD//BC （两直线平行，内错角相等） 又∵AE//CF （两直线平行，内错角相等） 在与中， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解决本题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 【典例4】．如图，在中，，分别是，边上的中点，连接、、． 求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】要证四边形是平行四边形，易证出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出． 【解析】证明：在平行四边形中，，， 又，， ，． 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 题型2:判断能否构成平行四边形 【典例5】．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【解析】解：两组对角都不相等，不能判定是平行四边形， 故A选项错误； 一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形， 故B选项错误； 根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形， 故C符合题意； 根据，判定一组对边平行，，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形， 故D不符合题意； 故选：C． 【典例6】．如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【解析】解：A. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；     B. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；         C. ，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，能判定四边形为平行四边形，故该选项符合题意；     D. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；     故选：C． 【典例7】．下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【解析】解：A．一条对角线平分一组对角的四边形不一定是平行四边形，故本选项命题是假命题，不符合题意； B．两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形的对角线相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意； D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意； 故选：D． 【典例8】．四边形中，对角线，相交于点O，给出下列四组条件：①；②，；③，；④，；其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法分别判断得出即可．此题主要考查了平行四边形的判定方法，准确无误的掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 【解析】解：如图， ①根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判定这个四边形是平行四边形； ②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②不能判定这个四边形是平行四边形； ③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判定这个四边形是平行四边形； ④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判定这个四边形是平行四边形； 一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有2组， 故选：C． 【典例9】．下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．两组对边分别平行的四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形 C．两组对角分别相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【解析】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，符合题意； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，由于四边形内角和为360度，那么两组对角相等可知一组邻角互补，则可推出两组对边平行，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：B． 题型3:添加一个条件成为平行四边形 【典例10】．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【解析】解：A、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； B、根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项符合题意； C、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 【典例11】．四边形的对角线相交于点O，，添加下列条件， 能判定四边形 是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【解析】解：如图：    A、∵，，不是夹角，∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； B、∵，，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形；故该选项是正确的； C、∵，，不是夹角，∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形； D、∵，，，∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； 故选：B 【典例12】．如图，在四边形中，与相交于点O，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）    【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法添加条件即可． 【解析】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故可添加， 故答案为：． 【典例13】．如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 【解析】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 【典例14】．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）． 【答案】②（或③，或④） 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． 若添加添加①，无法证明四边形是平行四边形．若添加条件②，连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得，得到，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证． 【解析】解：若添加添加①，无法证明四边形是平行四边形． 若添加条件②，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件③，可得四边形是平行四边形． 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件④，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，添加的条件可以是②或③或④． 故答案为：②（或③，或④） 题型4:求图形中平行四边形的个数 【典例15】．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的定义即可求解． 【解析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、 GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形， 共9个， 故选：C． 【点睛】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 【典例16】．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得． 【解析】解：如图， 图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【典例17】．平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进一步分析即可得到结论． 【解析】解：从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形，从3条平行线中任选2条直线的方法有3种，从5条平行线中任选2条直线的方法有10种，故平行四边形的个数为， 故选：C 【点睛】此题考查了平行四边形，熟练掌握平行四边形的定义是解决问题的关键． 题型5：格点中平行四边形的个数 【典例18】．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【解析】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 【典例19】．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题． 【解析】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选B． 【典例20】．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有多少个？(        ) A．12 B．16 C．24 D．25 【答案】D 【分析】如下图，先对网格进行编号，然后找出所有符合条件的平行四边形即可． 【解析】如下图，对网格编号 情况一：平行四边形的一个点在BF上，另两个点在MG上，有： ABMI、ABQO、ABIG、AFGI、AFOQ、AFIM共6个 情况二：平行四边形的一个点在BF上，另两个点在PH上，有： AEHV、AEVN、AENZ、AEZP、ACPZ、ACZN、ACNV、ACVH共8个 情况三：其他符合条件平行四边形有： AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVN、AOKN、AQSN共11种 故共有：6+8+11=25种 故答案为：25 【点睛】本题考查在格点中寻找平行四边形，建议在寻找过程中，按照一定的规律依次寻找，防止遗漏和重复． 题型6：平面直角坐标系中构成平行四边形的点的坐标 【典例21】．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【解析】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 【典例22】．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，结合图形进行分析可得． 【解析】解：在平面直角坐标系中， 将向左平移各单位得到， 此时； 将向右平移各单位得到； 此时； 将先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到， 此时； 综上所述， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和线段的平移；解题的关键是通过平移得到平行四边形． 【典例23】．平面直角坐标系中，，，，为平面内一点若、、、四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】分三种情形画出图形即可解决问题． 【解析】解：如图，    当，时，点的坐标为； 当，时，点的坐标为； 当，时，点的坐标为； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【典例24】．如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，那么点的坐标是 ．    【答案】 【分析】先由，，证明轴，，再由以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，证明，轴，则，于是得到问题的答案． 【解析】解：，， ∴轴，， 以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限， ，， ∴轴， ， 点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的判定等知识，由，证明轴，是解题的关键． 题型7：全等三角形拼平行四边形问题 【典例25】．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【解析】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 【典例26】．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【解析】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 【典例27】．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，，．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，拼的过程中两三角形不重叠，则能拼出互不全等的四边形的个数是 个． 【答案】4 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行四边形的判定，可以动手拼凑，得出答案． 【解析】解：让三个相等的边互相重合各得到一个平行四边形， 让斜边重合还可以得到一个一般的平面四边形， 那么能拼出互不全等的四边形的个数是4个． 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及等腰三角形的性质，通过动手操作得出答案是解决问题的关键． 题型8：利用平行四边形的性质与判定求解 【典例28】．如图，在中，点E，点F分别是，的中点，连结，．若平分，，，则四边形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本体主要考查了平行四边形的判定以及性质，等角对等边，由平行四边形的性质可得出，进一步得出，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得出，，由角平分线的定义得出，由平行线的性质得出，等量代还可得出，由等角对等边可得出，再求出，最后再根据平行四边形的周长计算即可． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，点F分别是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的周长为：， 故答案为：10． 【典例29】．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，则四边形的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质和判定． 利用基本作图得到，，根据平行四边形的性质得，则，所以，从而得到，于是可判断四边形为平行四边形，于是可得到四边形的周长． 【解析】解：由作法得，平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：8． 【典例30】．如图，在中，过对角线上一点P作，，且，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，由条件可证明四边形、为平行四边形，再利用面积的和差可证明，最后由等高四边形的条件即可得出答案． 【解析】解：∵，， ∴四边形、、、为平行四边形， ∴， 同理可得，， ∴， 即． ∵，， ∴； 故答案为：2． 【典例31】．如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据题意可推出四边形是平行四边形，连接，作，由、即可求解. 【解析】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 连接，作， ∵ ∴ ∵， ∴， 解得： 故答案为： 【典例32】．如图，将沿方向平移a个单位长度，得到．若，，，则a与b的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平移的性质和平行四边形的判定和性质，过点A作于点G，过点D作于点H．即可得到四边形是平行四边形，四边形也是平行四边形．求得，，结合面积公式即可得到a与b的关系式． 【解析】解：过点A作于点G，过点D作于点H． ∵将沿方向平移a个单位长度，得到， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理，四边形也是平行四边形． ∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形，四边形也是平行四边形， ∴，， ∴． 设与之间的距离为h，则， ∵，， ∴a与b的关系式是． 故答案为：． 题型9：叠加图形、阴影图形面积问题 【典例33】．如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理．首先过点B作于点E，于点F，由题意可得四边形是平行四边形，求得，则可求得答案． 【解析】解：过点B作于点E，于点F， 根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴． 故选：B． 【典例34】．如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A．24 B．17 C．18 D．10 【答案】C 【分析】连接，证明四边形是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积． 【解析】解：连接， ∵F是的边上的点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题关键是熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算． 【典例35】．如图，四边形中，交于点，，，，点在上，、分别在、上，且，，，连接，图中阴影部分的面积为（    ）    A．24 B．20 C．18 D．16 【答案】C 【分析】用勾股定理求出，由得到，则，设交于点O，证明四边形是平行四边形，则，，可证，则，再证四边形是平行四边形，得，可证，则,即可得到． 【解析】解：∵交于点， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设交于点O，    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 题型10：平行四边形判定的其他应用 【典例36】．在32的网格中（如图所示），每个小正方形的顶点称为格点．线段，的端点均在格点上，线段，交于点，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，取格点，连接，，可证，根据勾股定理和逆定理可判断为等腰直角三角形，即可解答． 【解析】取格点，连接，，则四边形是平行四边形，∴， ， 由勾股定理，得，，， ，， ∴是等腰直角三角形， ， ． 故选：C． 【典例37】．如图，在中，，，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上以的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动）．设运动（其中时，以四点组成的四边形是平行四边形，则的所有可能取值为（    ） A．4.8 B．8 或9.6 C．4.8或8 D．4.8或8或9.6 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，动点问题．根据题意，分四种情况讨论：（1）点运动路线是，（2）点运动路线是，（3）点运动路线是，（4）点运动路线是，分别求解即可，具体见详解． 【解析】解：四边形是平行四边形 ，则，， 当时，以四点组成的四边形是平行四边形 （1）点运动路线是，则，， 则，解得，不合题意； （2）点运动路线是，则， 则，解得； （3）点运动路线是，则， 则，解得； （4）点运动路线是，则， 则，解得 综上，则的所有可能取值为4.8或8或9.6． 故选：D． 题型11：动态几何问题 【典例38】．如图，将折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为．已知，则四边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【解析】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 【典例39】．如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接、将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为 . 【答案】 【分析】本题考查平行四边形性质和勾股定理，利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点的位置，再根据得到的长度，继而得到的长度,从而即可得解． 【解析】解：， ， 四边形是平行四边形， =，=， 最短也就是最短， 过作的垂线，连接 ∵即 ∵ ， 则的最小值为， , 故答案为：． 【典例40】．如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分如图1，四边形是平行四边形，如图2，四边形是平行四边形，两种情况利用折叠的性质进行求解即可． 【解析】解：如图1，四边形是平行四边形， ∵，点E为的中点， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ； 如图2，四边形是平行四边形，作于点G， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点F与点G重合， ∴， 综上所述，线段的长为2或， 故答案为：2或． 题型12：平行四边形的性质与判定解答证明题 【典例41】．如图，在平行四边形中，点，分别在，的延长线上，直线与对角线平行，并交于点，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，得出，再证明四边形为平行四边形，得出，即可得证． 【解析】证明：四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【典例42】．如图，在中，点E，F分别在和上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，且，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为． 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质． （）由平行四边形的性质结合已知可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 【典例43】．如图，在中，是对角线，作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理： （1）先证明，再由平行四边形的性质得到，则，据此可得，由此可证明四边形是平行四边形； （2）连接交于O，由平行四边形对角线互相平分可得，，设，则，由勾股定理得，解得，则，可得． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，连接交于O， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 【典例44】．如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再证明．得出，．从而推出．进而得出，即可得证． 【解析】（1）证明：由可得，，， ∵点，分别是边，的中点， ∴，． ∴． ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 【典例45】．【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接，以为边向右作等边，连接． 【初步发现】（1）求证：为等边三角形； 【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形； 【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（）根据等边三角形得和，以及和，则，可证，有，，再证，即可得出结论； （）由等边三角形得和，则，可得，进一步得，即可得出结论； （）过作于，则，由（）可知，，求得，结合等边三角形求得和，利用勾股定理得，然后用面积公式即可求解． 【解析】证明：（1）∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）由（）可知，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）如图，过作于， 则， 由（）可知，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理、平行四边形的判定定理、勾股定理、含角的直角三角形的性质，解题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 一、单选题 1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（    ） A．AD=BC B．AB=CD C．AD∥BC D．∠A=∠C 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可． 【解析】解：A、当AB∥CD，AD=BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形； B、AB∥CD，AB=DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形； C、AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形； D、∵AB∥CD， ∴∠A+∠D=180°， ∵∠A=∠C， ∴∠C+∠D=180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形； 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 2．下列命题错误的是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定逐项分析即可得． 【解析】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，此项符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，则此项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定是解题关键． 3．在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形，再利用其性质即可解决问题 【解析】解：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ∵， ， ， 故选：C． 4．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（    ） A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型． 根据平行四边形的判定求解即可． 【解析】只有②④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带②④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选C． 5．点A、B、C、D在同一平面内，从（1），（2），（3），（4）这四个条件中任选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（    ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】平行四边形与边相关的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据以上判定方法对条件逐一判断即可得到答案. 【解析】解：如图， 选取（1），（2）， 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形， 选取（1），（3）， 由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形， 选取（2），（4）， 由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形， 选取（3），（4）， 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形， 故选： 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，熟悉平行四边形的判定方法是解题的关键. 6．如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知判定四边形是平行四边形，得到，再根据三角形内角和定理求解． 【解析】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形内角和，解题的关键是根据平行四边形得到． 7．如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（    ） A．四边形的周长不变 B．四边形的面积不变 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质． 【解析】解：由题意可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故符合题意， 随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变， 故不符合题意， 故选：． 8．如图，在中，E和F分别是边和上的点，，连接和，已知，，四边形的面积是3，则四边形的面积是（    ）    A．4.5 B．5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，得，即可推导出，则四边形是平行四边形，设与之间的距离为h，，由，得，于是得到问题的答案． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 设与之间的距离为h， ∵四边形的面积是3， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行四边形的面积公式等知识，证明四边形和四边形都是平行四边形是解题的关键． 9．如图，在中，点为对角线上一点，连接并延长到点，，则的长为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．过点F作，交于点G，可证明，可得，，再根据平行四边形的性质可得，，从而得到四边形是平行四边形，即可求解． 【解析】解：如图，过点F作，交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． ∴． 故选：A 10．如图，四边形中，于点E，于点F，交于点G．，连接．以下结论：①；②；③．其中正确的结论个数为（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据可判定①，用反证法证明②，根据证得，得到可判断③． 【解析】解：∵于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 用反证法证明②， 假设， 则有为等腰三角形，F为的中点， 又，可证得，与题设不符； 由（1）知， ∴， 连接， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，故③正确； 故正确的个数有2个． 故选：C．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形 的判定和性质，注意这些知识的熟练掌握与灵活运用是关键． 二、填空题 11．“平行四边形的两组对边分别平行”的逆定理是 ． 【答案】两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【分析】本题考查的是命题与定理、逆命题的概念．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，根据逆命题的概念解答即可． 【解析】平行四边形的两组对边分别平行，逆定理是两组对边分别平行的四边形是平行四边形 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 12．已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是： （填一个即可）． 【答案】ADCB（答案不惟一）． 【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案． 【解析】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可增加的条件可以是：ADCB， 故答案为：ADCB（答案不惟一）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定． 13．下列命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②对角线互相平分的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是 将命题的序号填上即可． 【答案】②③④ 【分析】根据平行四边形的判定方法对各选项分别进行判断． 【解析】解：一组对边平行，且这组对边相等的四边形是平行四边形，所以错误； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以正确； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以正确； 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，所以正确． 故答案为． 【点睛】本题考查了命题、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 14．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1是68°25′，那么光线与纸板左上方所成的∠2的度数为 . 【答案】68°25′ 【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，进而即可求解. 【解析】因为AB∥CD，AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以∠2=∠1=68°25′， 故答案为68°25′. 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的对角相等是关键. 15．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，剩余一条为边，可以画出 个平行四边形. 【答案】2 【分析】根据平行四边形性质得出OA=OC= AC，BO =OD=BD，分为三种情况：①AC=10，BD=14，AB=20时，②AC=10，BD=20，AB=14时，③AC=20，BD=14，AB=10时，求出AO和BO的值，根据三角形的三边关系定理看看△AOB是否存在即可． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC，BO=OD=BD， 分为三种情况： ①AC=10，BD=14，AB=20时，AO=5，BO=7， 则5+7＜20，不符合三角形三边关系定理；不能组成平行四边形； ②AC=10，BD=20，AB=14时，AO=5，BO=10， 则5+10＞14，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形； ③AC=20，BD=14，AB=10时，AO=10，BO=7， 则7+10＞10，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形； 可以画出不同形状的平行四边形的个数是2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和三角形的三边关系定理的应用，能运用定理判断平行四边形是否存在时解此题的关键． 16．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点D的坐标为 ． 【答案】（3，6），（-1，-2），（7，2） 【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质即可得出答案． 【解析】解：观察图象可知满足条件的点D的坐标为（3，6），（-1，-2），（7，2）， 故答案为：（3，6），（-1，-2），（7，2）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键要注意分情况求解，不能忽略任何一种可能的情况． 17．如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 秒． 【答案】或 【分析】由题意可得，分或两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解析】设点P运动了t秒， ∴，，，， ①当时，且，则四边形是平行四边形， 即， ∴； ②当时，且，则四边形是平行四边形， 即， ∴， 综上所述：当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点P运动了秒或秒， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 18．如图，已知中，，点为上一动点，，连接，．与交于点，，，，若，则 ．    【答案】 【分析】延长，过点E作，交延长线于点G，连接，可证明，有，；再证明四边形为平行四边形，， ；由勾股定理可求得的长，从而可求得的长，最后由勾股定理即可求得结果． 【解析】解：延长，过点E作，交延长线于点G，连接，如图，     则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，； 由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得； ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：, 故答案为：．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，构造一线三垂直辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题 19．已知：如图，E在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】首先根据平行四边形的性质得到BC=AD，根据进而可得出AD=CE，结合即可证明． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴且AD=BC， 又∵， ∴AD=CE， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． 20．如图，在四边形中，，为边上一点，连接并延长的延长线于点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据，证明AB∥CD，得出四边形是平行四边形，再根据平行线的性质证明即可． 【解析】证明：∵，， ∴， ∴AB∥CD， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴AD∥CB， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题关键是熟练运用平行四边形的判定定理进行证明． 21．已知，如图，E、F分别为▱ABCD的对边AB、CD的中点． （1）求证：DE=FB； （2）若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB=BG． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）得出四边形DEBF是平行四边形得出答案即可； （2）利用AAS证明△GBE≌△BCF，得出答案即可． 【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB∥DC， ∵E、F分别为▱ABCD的对边AB、CD的中点， ∴DF=DC，BE=AB，则DF=BE， 又∵DF∥BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE=FB； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB∥DC， ∵E、F分别为▱ABCD的对边AB、CD的中点， ∴BE=CF，∠GBE=∠C， ∵四边形DEBF是平行四边形， ∴BF∥DG， ∴∠CBF=∠G， 在△GBE和△BCF中，， ∴△GBE≌△BCF(AAS)， ∴CB=BG． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，得出△GBE≌△BCF是解题关键． 22．已知：如图，等边三角形与等边三角形的一边重合． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的边长为，求所组成的平行四边形各组对边之间的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)平行四边形各组对边之间的距离为． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，，进一步可知：，，即可证明四边形是平行四边形； （2）作，，求出，利用所对的直角边等于斜边的一半即可求出，再利用勾股定理求出，同理可求出． 【解析】（1）证明：∵等边三角形与等边三角形的一边重合． ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：作，， ∵等边的边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即平行四边形各组对边之间的距离为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定定理，等边三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，等边三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理并能够灵活运用． 23．已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接． (1)求证：互相平分； (2)若，求四边形的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为12，四边形的面积为 【分析】（1）证明互相平分，只要证是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明． （2）首先证明出是等边三角形，然后根据平行四边形的周长公式求解，过D点作于点G，根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∵分别是和的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴即 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴互相平分； （2）∵， ∴是等边三角形 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形的周长； 过D点作于点G， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 24．已知，点B，D在线段AF上，，且． (1)求证：； (2)连接，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得到，即，由得到，即可证明； （2）连接，，由（1）知，可得，，则，即可证得结论． 【解析】（1）证明：如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． （2）连接，， 由（1）知， ∴，． ∴． ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 25．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)判断四边形的形状； (2)在图1中，先在上画点，使，再在上画点，使； (3)在图2中的上画点，使． 【答案】(1)四边形是平行四边形 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可； （2）取格点T，连接，，交于点E，点E即为所求．连接，交于点O，连接，延长交于点F，点F即为所求； （3）取格点R，连接，取的中点Q，连接，延长交于点G，点G即为所求． 【解析】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图1中，点E，点F即为所求； 根据格点特点可知，，， ∴， ∴； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图2中，点G即为所求． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 26．如图： (1)如图1，平行四边形ABCD中，于M，于N．求证：． (2)如图2，平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，求证：． (3)如图3，PT是的中线，已知：，，．求：PT的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）用AAS证明即可； （2）作于M，于N，利用勾股定理和平行四边形的性质即可证明； （3）倍长中线补全图形，证明四边形PQSR是平行四边形，将第二问结论代入数值计算即可． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴ ， ∴． （2）证明：作于M，于N，如图所示， 在和中， 根据勾股定理得，， ∴， 同理，在和中， 根据勾股定理得，， ∴， ∴， 联系第一问，易证：， ∴, ∴， 又∵， ∴． （3）延长PT至S，使得，连接QS，RS，如图所示， ∵PT是的中线， ∴， ∴四边形PQSR为平行四边形， ∴，， 由（2）得， ∴， 解得， ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识点，第2问运用勾股定理，第3问用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． 27．在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE，如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、R，如图2． ①当CD＝6，CE＝4时，求BE的长． ②探究BH与AF的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）详见解析；（2）①4﹣2；②AF＝BH，详见解析 【分析】(1)由“ASA”可得△BOE≌△DOF，可得DF＝BE，可得结论； (2)①由等腰三角形的性质可得EN＝CN＝2，由勾股定理可求DN，由等腰三角形的性质可求BN的长，即可求解； ②如图，过点H作HM⊥BC于点M，由“AAS”可证△HMC≌△CND，可得HM＝CN，由等腰直角三角形的性质可得BH＝HM，即可得结论． 【解析】(1)证明：∵平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点， ∴AD∥BC，BO＝DO， ∴∠ADB＝∠CBD，且∠DOF＝∠BOE，BO＝DO， ∴△BOE≌△DOF（ASA） ∴DF＝BE，且DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形； (2)①如图2，过点D作DN⊥EC于点N， ∵DE＝DC＝6，DN⊥EC， ∴EN＝CN＝2， ∴DN＝＝＝4， ∵∠DBC＝45°，DN⊥BC， ∴∠DBC＝∠BDN＝45°， ∴DN＝BN＝4， ∴BE＝BN﹣EN＝4； 故答案为：BE＝4. ②AF＝BH， 理由如下：如图，过点H作HM⊥BC于点M， ∵DN⊥EC，CG⊥DE， ∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°， ∴∠EDN＝∠ECG， ∵DE＝DC，DN⊥EC， ∴∠EDN＝∠CDN，EC＝2CN， ∴∠ECG＝∠CDN， ∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN， ∴∠CDB＝∠DHC， ∴CD＝CH，且∠HMC＝∠DNC＝90°，∠ECG＝∠CDN， ∴△HMC≌△CND（AAS） ∴HM＝CN， ∵HM⊥BC，∠DBC＝45°， ∴∠BHM＝∠DBC＝45°， ∴BM＝HM， ∴BH＝HM， ∵AD＝BC，DF＝BE， ∴AF＝EC＝2CN， ∴AF＝2HM＝BH． 故答案为：AF＝BH. 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 60 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 平行四边形(第2课时)（十二题型） 学习目标 1、掌握平行四边形的判定定理； 2、能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算． 一、平行四边形的判定定理1和2 问题：平行四边形的性质定理1的逆命题是什么?这个逆命题是真命题吗？ 探究要判断一个命题为真命题，需要进行证明.我们来尝试证明这个逆命题是真命题. 已知：四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 要证明一个四边形是平行四边形，现在只能依据平行四边形的定义，即要证明这个四边形的两组对边分别平行.于是，考虑利用平行线的判定定理，这就需要添加辅助线. 基于以上思考，这个命题的证明如下： 如图22-18,联结AC.在△ABC和△CDA中， :AB=CD,BC=DA,AC=CA, ∴△ABC≌△CDA 得∠1=∠2,∠3=∠4. ∴AB//CD,AD//BC. ∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义). 通过证明，可以确定平行四边形的性质1的逆命题是真命题，因此可用它来判定一个四边形是平行四边形. 平行四边形判定定理1 如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。 简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 同理，我们也得出平行四边形的他判定定理 平行四边形判定定理2如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形. 简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 证明过程如下： 已知；四边形ABCD中，AB//CD,且AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：如图22-19,联结AC..在△ABC和△CDA中： ∵AB//CD, ∴∠l=∠2. 又∵AB=CD,AC=CA, ∴△ABC≌△CDA.得BC=AD.∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). 二、平行四边形的判定定理3和4 平行四边形判定定理3 如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形 已知：如图22-21,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.AO=OC,BO=OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：在△AOB和△COD中， ∵AO=CO,∠AOB=∠COD,BO=DO, ∴△AOB≌△COD. 得AB=CD.同理可得BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). 平行四边形判定定理4 如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形. 简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 已知：如图22-22,四边形ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：在四边形ABCD中， ∠A+∠B+∠C+∠D=360°(多边形的内角和公式).又∵∠A=∠C,∠B=∠D,∴∠A+∠B=∠C+∠D=180°,∠A+∠D=∠B+∠C=180° 得AD//BC,AB//CD.∴ 四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义). 注：另外，利用平行四边形的定义也可以判定平行四边形，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 【即学即练1】如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【即学即练2】四边形的对角线相交于点O，，添加下列条件， 能判定四边形 是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，，且，，则四边形ABCD的面积为 ． 【即学即练4】如图，点是的中点，，，连接，求证：四边形是平行四边形． 题型1:证明四边形是平行四边形 【典例1】．求证：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，____________________． 求证：____________________．    【典例2】．如图，在四边形中，．求证：四边形是平行四边形．    【典例3】．如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形． 【典例4】．如图，在中，，分别是，边上的中点，连接、、． 求证：四边形是平行四边形．    题型2:判断能否构成平行四边形 【典例5】．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【典例6】．如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【典例7】．下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【典例8】．四边形中，对角线，相交于点O，给出下列四组条件：①；②，；③，；④，；其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【典例9】．下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．两组对边分别平行的四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形 C．两组对角分别相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 题型3:添加一个条件成为平行四边形 【典例10】．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【典例11】．四边形的对角线相交于点O，，添加下列条件， 能判定四边形 是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【典例12】．如图，在四边形中，与相交于点O，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）    【典例13】．如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 【典例14】．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）． 题型4:求图形中平行四边形的个数 【典例15】．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 【典例16】．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 【典例17】．平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（    ） A． B． C． D． 题型5：格点中平行四边形的个数 【典例18】．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【典例19】．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【典例20】．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有多少个？(        ) A．12 B．16 C．24 D．25 题型6：平面直角坐标系中构成平行四边形的点的坐标 【典例21】．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【典例22】．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【典例23】．平面直角坐标系中，，，，为平面内一点若、、、四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点的坐标为 ． 【典例24】．如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，那么点的坐标是 ．    题型7：全等三角形拼平行四边形问题 【典例25】．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例26】．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【典例27】．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，，．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，拼的过程中两三角形不重叠，则能拼出互不全等的四边形的个数是 个． 题型8：利用平行四边形的性质与判定求解 【典例28】．如图，在中，点E，点F分别是，的中点，连结，．若平分，，，则四边形的周长为 ． 【典例29】．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，则四边形的周长为 ． 【典例30】．如图，在中，过对角线上一点P作，，且，，则 ． 【典例31】．如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ． 【典例32】．如图，将沿方向平移a个单位长度，得到．若，，，则a与b的关系式是 ． 题型9：叠加图形、阴影图形面积问题 【典例33】．如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【典例34】．如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A．24 B．17 C．18 D．10 【典例35】．如图，四边形中，交于点，，，，点在上，、分别在、上，且，，，连接，图中阴影部分的面积为（    ）    A．24 B．20 C．18 D．16 题型10：平行四边形判定的其他应用 【典例36】．在32的网格中（如图所示），每个小正方形的顶点称为格点．线段，的端点均在格点上，线段，交于点，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【典例37】．如图，在中，，，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上以的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动）．设运动（其中时，以四点组成的四边形是平行四边形，则的所有可能取值为（    ） A．4.8 B．8 或9.6 C．4.8或8 D．4.8或8或9.6 题型11：动态几何问题 【典例38】．如图，将折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为．已知，则四边形的周长为 ． 【典例39】．如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接、将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为 . 【典例40】．如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ． 题型12：平行四边形的性质与判定解答证明题 【典例41】．如图，在平行四边形中，点，分别在，的延长线上，直线与对角线平行，并交于点，交于点．求证：． 【典例42】．如图，在中，点E，F分别在和上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，且，，求的周长． 【典例43】．如图，在中，是对角线，作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 【典例44】．如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【典例45】．【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接，以为边向右作等边，连接． 【初步发现】（1）求证：为等边三角形； 【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形； 【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积． 一、单选题 1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（    ） A．AD=BC B．AB=CD C．AD∥BC D．∠A=∠C 2．下列命题错误的是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 3．在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（    ） A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 5．点A、B、C、D在同一平面内，从（1），（2），（3），（4）这四个条件中任选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（    ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点．若，则（    ）    A． B． C． D． 7．如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（    ） A．四边形的周长不变 B．四边形的面积不变 C． D． 8．如图，在中，E和F分别是边和上的点，，连接和，已知，，四边形的面积是3，则四边形的面积是（    ）    A．4.5 B．5 C．6 D．6.5 9．如图，在中，点为对角线上一点，连接并延长到点，，则的长为（    ） A．3 B． C． D．4 10．如图，四边形中，于点E，于点F，交于点G．，连接．以下结论：①；②；③．其中正确的结论个数为（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．“平行四边形的两组对边分别平行”的逆定理是 ． 12．已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是： （填一个即可）． 13．下列命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②对角线互相平分的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是 将命题的序号填上即可． 14．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1是68°25′，那么光线与纸板左上方所成的∠2的度数为 . 15．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，剩余一条为边，可以画出 个平行四边形. 16．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点D的坐标为 ． 17．如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 秒． 18．如图，已知中，，点为上一动点，，连接，．与交于点，，，，若，则 ．    三、解答题 19．已知：如图，E在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．    20．如图，在四边形中，，为边上一点，连接并延长的延长线于点，且．求证：． 21．已知，如图，E、F分别为▱ABCD的对边AB、CD的中点． （1）求证：DE=FB； （2）若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB=BG． 22．已知：如图，等边三角形与等边三角形的一边重合． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的边长为，求所组成的平行四边形各组对边之间的距离． 23．已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接． (1)求证：互相平分； (2)若，求四边形的周长和面积． 24．已知，点B，D在线段AF上，，且． (1)求证：； (2)连接，，求证：四边形是平行四边形． 25．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)判断四边形的形状； (2)在图1中，先在上画点，使，再在上画点，使； (3)在图2中的上画点，使． 26．如图： (1)如图1，平行四边形ABCD中，于M，于N．求证：． (2)如图2，平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，求证：． (3)如图3，PT是的中线，已知：，，．求：PT的长度． 27．在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE，如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、R，如图2． ①当CD＝6，CE＝4时，求BE的长． ②探究BH与AF的数量关系，并给予证明． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$