精品解析：辽宁省沈阳市回民中学2024-2025学年高一上学期进阶（分班）考试数学试题

沈阳市回民中学2024级高一上学期进阶考试 数学 试卷满分：150 分 时间：120 分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指、对数不等式化简集合,再由交集运算即可. 【详解】， ， 所以 故选:C 2. 设为函数的零点,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断. 【详解】解：因为函数是连续函数，且零点为， ； ， ，故函数的零点在区间内， 故选：． 【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由，得， 则，解得， 所以“”是“”成立的必要而不充分条件. 故选：B. 4. 已知函数，，则（ ） A. 12 B. C. D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】令，并证明其为奇函数，利用奇函数的性质结合已知条件即可得解. 【详解】令，定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数， ，即，即， ， 故选：C 5. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 6. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：． 7. 设函数，其中表示中的最小者. 下列说法不正确的有（ ） A. 函数为偶函数 B. 当时， 有 C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出的大致图象，然后依据图象逐个判断即可． 【详解】在同一坐标系中画出的图象（如图所示）， 故的图象为图中实线所示． 对于A：的图象关于轴对称，故为偶函数，故A正确； 对于B：可以看作向右平移2个单位， 结合的图象可知，恒成立，故B正确； 对于C：从图象上看，当时，有成立，故C正确； 对于D：当时，由于，，故D不成立. 故选：D． 8. 已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确个数为（ ） ①的一个周期为2；②；③；④图象关于直线对称. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由条件证明，由此判断①，④，根据已知条件结合奇函数的性质求，判断②，根据函数的单调性判断③，由此确定正确命题的个数. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，即， 因为，所以2不是的周期，不关于对称，故①，④错误； 又由，可得，又， 所以，故②正确； 因为在上单调递增，又，所以， 因为在R上单调递增，又，所以，所以， 因为，，函数在上单调递增，所以，又，所以，故③错误. 所以正确的只有②. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相同函数的概念判断A，根据函数的定义域和值域的概念判断BC，利用换元法列方程组判断D. 【详解】对于A，由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又，所以两函数有相同的定义域及对应关系，表示同一个函数，选项A说法正确； 对于B，因为函数的定义域为，所以，解得， 所以函数的定义域为，选项B说法正确； 对于C，由，可得函数的定义域为， 又函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为，选项C说法错误； 对于D，因为①，所以②， 得，解得，选项D说法正确； 故选：ABD 10. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到，即可得到，从而判断A；再利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根且， 所以，所以，所以，故A正确； 又，所以，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确； 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC 11. 已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合图象分析可知，且可判断A；根据对数函数性质结合基本不等式可判断B；根据指数函数性质结合基本不等式可判断C；设，则方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析可判断D. 【详解】令，则， 可知函数的零点即为函数与图象的交点的横坐标， 如图，作出函数的图象， 则， 对于A，由函数有四个零点知，函数与的图象有四个交点， 所以，故A正确； 对于B，因为，即， 且，则， 可得， 即，整理得， 即，解得， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，即， 且，则，， 可得， 整理得， 即，所以， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故C正确； 对于D，方程，即， 令，则，注意到， ①若，则方程无实根，即方程无实根， 故方程无实根； ②若，则方程有个不相等的实根和， 且有个不相等的实根； 有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ③若， 则方程有个不相等的实根， 且无实根； 有个不相等的实根； 或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ④若， 则方程有个不相等的实根， 且无实根；或或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ⑤若，则方程有个不相等的实根， 且无实根；或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； 综上所述：方程最多有个不同的实根，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法： （1）转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解； （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的单调递增区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求函数定义域,再根据复合函数的单调性即可得解. 【详解】由,解得, 要求函数的单调递增区间， 则应求函数的单调递减区间， 易知函数的单调递减区间为， 结合定义域可得函数的单调递增区间为. 故答案为:. 13. 已函数则函数的零点个数为_________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数，在同一坐标系下画出与的图象，由此求出结果． 【详解】函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数， 当 时，， 所以， 所以当时，是周期为4的函数； 当时，； 所以的图象如图所示， 在同一坐标系下画出的图象， 因为，所以两函数有6个交点，即函数有6个零点． 故答案为：6． 14. 若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，根据题意，转化为，构造函数，得到函数在上为单调递减函数，且为偶函数，再分和，两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为对任意的，，且，都有， 不妨设，则，可得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上为单调递减函数， 又因为为奇函数，所以， 所以函数为上的偶函数， 所以函数在为单调递增函数， 当时，即时，有， 由，可得， 所以，解得，此时无解； 当时，即时，由，可得， 所以，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于涉及到函数的综合性质问题的求解问题： 1、若涉及到函数性质的综合应用问题，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题； 2、若涉及的复合函数的单调性问题时，解答时关键是将函数解析式进行等价转化，再根据函数的性质的有关结论进行判断、求解； 3、若涉及到函数性质的组合型问题，解答的关键是要熟练掌握函数的有关性质，以及一些常用结论，明确它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力； 4、若涉及的函数的新定义问题，关键是理解新定义函数的概念，根据新定义函数的概念丙挖掘其隐含条件，对比选项结论进行判断分析，得以解决. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数为幂函数，且在上单调递增. （1）求的值，并写出的解析式； （2）解关于的不等式 ，其中. 【答案】（1）3， （2）当，不等式解集为，当，不等式解集为，当，不等式解集为 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解； （2）由（1）可得原不等式变形为，分类讨论含参一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 因为为幂函数，且在上单调递增， 则，解得，所以； 【小问2详解】 不等式0，即 当，，即不等式解集为， 当，或，即不等式解集为， 当，或，即不等式解集为. 所以，当，不等式解集为， 当，不等式解集为， 当，不等式解集为. 16. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求a、b的值； （2）证明在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围. 【答案】（1） （2） 由（1）得， 任取实数、，且 则 ，可得，且 ，即，函数在上为减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义，利用且，列出关于、的方程组并解之得； （2）根据函数单调性的定义，任取实数、，通过作差因式分解可证出：当时，，即得函数在上为减函数； （3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为：对任意的都成立，结合二次函数的图象与性质，可得的取值范围． 【小问1详解】 由已知 ，所以，解得 ，此时定义域是为奇函数. 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式化为， 是奇函数，则有， 是减函数，所以 所以恒成立，易知的最小值是 所以 17. 已知函数对于任意实数，恒有且当时，，又 （1）判断的奇偶性并证明； （2）利用单调性求在区间上的最小值. 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法以及函数奇偶性的定义来进行证明. （2）利用函数的单调性和奇偶性来求得最值. 【小问1详解】 为奇函数，现由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 令得，解得， 令得， 所以对任意恒成立，所以为奇函数. 【小问2详解】 任取且，则 因为当时，，所以 ， 即，所以在上单调递增， 所以在区间的最小值为， 因为，令，得， 令，得， 在区间的最小值为. 18. 为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （2）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）最多150人 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值. （2）根据条件①②列不等式，化简得，结合基本不等式求得的范围. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则， ，， ，解得， ∵且，所以调整后的技术人员的人数最多150人； 【小问2详解】 ①由技术人员年人均投入不减少有，解得. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 ， 两边同除以得， 整理得， 故有， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， ∴，即存在这样的m满足条件，使得其范围为. 19. 若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的上凸函数；若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的下凸函数. 上述不等式可以推广到取区间的任意个点，即若是上凸函数，则对任意，恒有（当且仅当时等号成立）；若是下凸函数，则对任意恒有（当且仅当时等号成立）. 应用以上知识解决下列问题： （1）判断函数在是上凸函数还是下凸函数（说明理由）； （2）利用（1）的结果证明：对任意，都有，当且仅当时等号成立； （3）设，其中且，则当，求最小值. 【答案】（1） 是上凸函数，理由如下： 任意取 当且仅当时等号成立， 而 即，当且仅当时等号成立， 故是上凸函数. （2） 由（1）知是上凸函数， 对任意恒有， 即 又在上增函数 （*） 当且仅当时等号成立 将不等式（*）中替换成 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）是上凸函数，根据对数的运算及均值不等式，结合新定义得证； （2）由（1）即对数的单调性可得，利用替换成即可得证； （3）由，利用（2）中不等式可求最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 利用不等式（*）可得, 当且仅当，即时等号成立, 所以当时，取得最小值. 【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市回民中学2024级高一上学期进阶考试 数学 试卷满分：150 分 时间：120 分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为函数的零点,则 A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，，则（ ） A. 12 B. C. D. 17 5. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 7. 设函数，其中表示中的最小者. 下列说法不正确的有（ ） A. 函数为偶函数 B. 当时， 有 C. 当时， D. 当时， 8. 已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确个数为（ ） ①的一个周期为2；②；③；④图象关于直线对称. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 10. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 11. 已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的单调递增区间为______． 13. 已函数则函数的零点个数为_________. 14. 若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数为幂函数，且在上单调递增. （1）求的值，并写出的解析式； （2）解关于的不等式 ，其中. 16. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求a、b的值； （2）证明在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围. 17. 已知函数对于任意实数，恒有且当时，，又 （1）判断的奇偶性并证明； （2）利用单调性求在区间上的最小值. 18. 为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （2）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 19. 若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的上凸函数；若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的下凸函数. 上述不等式可以推广到取区间的任意个点，即若是上凸函数，则对任意，恒有（当且仅当时等号成立）；若是下凸函数，则对任意恒有（当且仅当时等号成立）. 应用以上知识解决下列问题： （1）判断函数在是上凸函数还是下凸函数（说明理由）； （2）利用（1）的结果证明：对任意，都有，当且仅当时等号成立； （3）设，其中且，则当，求最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $