第07讲 勾股定理的逆定理（5个知识点+5种题型+分层练习）- 2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第07讲 勾股定理的逆定理（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 知识点2．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点3．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点4．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 知识点5．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 题型强化 题型一、判断三边能否构成直角三角形 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）把下列长度的三条线段首尾依次相连，能构成一个直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．2，3，5 D．7，24，26 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．逐项验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可判断． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）在中，a，b，c分别是，，的对边．若，则为 （填“锐角”“直角”或“钝角”）． 【答案】锐角 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，若一个三角形中，两边的长的平方等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：由勾股定理的逆定理可得时，为直角，则根据大边对大角可知，当时，是锐角， 故答案为：锐角． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割． (1)已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长． 【答案】(1)点、是线段的勾股分割点；理由见解析 (2)或10． 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论，注意不能漏解． （1）由，可得，根据勾股定理逆定理得出以、、为边的三角形是一个直角三角形，再根据线段勾股分割点的定义即可判断； （2）设，则，分两种情形①当为最长线段时，依题意，②当为最长线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：点、是线段的勾股分割点．理由如下： ，， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形， 点、是线段的勾股分割点； （2）解：设，则， ①当为最长线段时，依题意， 即， 解得； ②当为最长线段时，依题意． 即， 解得． 综上所述，或10． 题型二、在网格中判断直角三角形 4．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）如图，在网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】先根据勾股定理求出三角形三边长的平方，再由勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：，，， ，， 是等腰直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定等知识，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 5．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）图①②中的网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点P，A，B，C，D都在格点上． （1）如图①，的度数为 ； （2）如图②，的度数为 ． 【答案】 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、等边对等角 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）延长交格点于点M，连接，证明，是等腰直角三角形，且，则，利用邻补角即可得到答案； （2）作点C关于的对称点E，连接，，则，证明是等腰直角三角形，且，则，即可得到答案． 【详解】（1）延长交格点于点M，连接， 则，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴ 故答案为： （2）作点C关于的对称点E，连接，， ∴， 由勾股定理得到，，， ∴∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴ 故答案为： 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点A到边的距离． 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)点A到边的距离为2 【知识点】在网格中判断直角三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后利用勾股定理逆定理可求解； （2）设点A到边的距离为h，则由等面积法可进行求解． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由：由题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）∵， ∴． 设点A到边的距离为h， ∴，即， ∴，即点A到边的距离为2． 题型三、利用勾股定理的逆定理求解 7．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形进行判断即可． 【详解】解：∵，， 由得， 由得 ∴，即， ∴是直角三角形，又， ∴选项A符合题意， 故选：A． 8．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则 ． 【答案】 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，后直角三角形的面积公式计算即可，本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】∵，，， 且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2024八年级下·安徽·专题练习）已知如图一块钢板，，，，，，求这块钢板的面积． 【答案】24平方厘米 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．连接．利用勾股定理可求出的长，根据的三边关系可得是直角三角形，根据三角形的面积公式可求出与的面积，进而求出四边形的面积． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得， ，，，即， 故是直角三角形，， 故四边形的面积 题型四、勾股定理逆定理的实际应用 10．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（    ）（“里”是我国市制长度单位，里米） A．平方千米 B．平方千米 C．平方千米 D．平方千米 【答案】A 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵， ， ∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 11．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于 ．    【答案】/90度 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据面积求出，结合勾股定理逆定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， 故答案为：． 14．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某农场主承包一片土地，形状如图所示，经测得，，，，． (1)为方便种植，农场主打算修建一条小路，连接，求的长； (2)求该四边形土地的面积． 【答案】(1)； (2) 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用，熟练掌握定理是解决问题的关键． （1）在中，利用勾股定理求小路的长； （2）由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得四边形土地的面积． 【详解】（1）解：在中，，利用勾股定理得， ， ． 答：小路的长为． （2）解：在中， ，， ， 为直角三角形，且， 四边形土地的面积为：． 答：该四边形土地的面积为． 题型五、勾股定理逆定理的拓展问题 13．（八年级·全国·课后作业）若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（   ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 【答案】B 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】因为a、b、c为一个三角形的三边长，化简，可得a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形为直角三角形． 【详解】∵， ∴a2+b2=c2， ∴该三角形为直角三角形. 故选B. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理. 14．（八年级下·安徽安庆·期中）若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论： ①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为 ． 【答案】②③． 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】已知直角三角形的三条边长，根据勾股定理得出，同时直角三角形作为三角形，满足三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即，再判断各选项中各个线段是否能组成三角形． 【详解】解：（1）根据勾股定理得出，所以不成立，即不满足两边之和大于第三边，本选项错误； （2）直角三角形的三边有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在，，三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有成立，即，即，（由a+b＞c），则不等式成立，从而满足两边之和＞第三边，则以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确； （3），，这三个数中一定最大，，， 又∵2ab=2ch=4S△ABC， ∴，根据勾股定理的逆定理，即以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确； （4）若以，，的长为边的3条线段能组成直角三角形， 假设a=3，b=4，c=5， ∵， ∴以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，同时，通过这一题目要学会，用反例的方法说明一个命题是错误的思考方法． 分层练习 一、单选题 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．4，6，7 D．5，11，12 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】解：A、∵， ∴三条线段能组成直角三角形，故A选项符合题意； B、∵， ∴三条线段不能组成三角形，更不可能组成直角三角形，故B选项不合题意； C、∵， ∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项不合题意； D、∵， ∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项不合题意． 故选：A． 【点睛】考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． 2．已知、、为的三边，、、为它的三个内角，下列条件不能判定是直角三角形的是(　　) A． B． C． D．(为正整数) 【答案】C 【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】A．若a2＝c2−b2，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意； B．若a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意； C．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则最大角∠C＜90°，△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意； D．若a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数），则a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．2，3，4 C．7，24，25 D．9，37，38 【答案】C 【分析】本题考查了用勾股定理逆定理判定直角三角形，直接利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4．以下列数据为三角形的三边长，能够成直角三角形的是（    ） A．1，，4 B．，， C．1，，1 D．6，7，8 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴不能组成三角形， 故A不符合题意； B、∵，， ∴， ∴不能构成直角三角形， 故B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴能构成直角三角形， 故C符合题意； D、∵， ∴， ∴不能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 5．满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定和勾股定理的逆定理,解题的关键是熟知勾股定理的逆定理的运用．根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：A、由可得， ∴， 是直角三角形，故A不符合题意； B、∵， ∴设，则，， ∴， 解得：， ∴， ∴是直角三角形，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴是直角三角形，故C不符合题意； D、∵， ∴，，， ∵， ∴a、b、c三边不能构成三角形，更不可能是直角三角形，故D符合题意． 故选：D． 6．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A．三内角之比为3：4：5 B．三边之比为1：： C．三边长分别为41，40，9 D．三边长分别为7，24，25 【答案】A 【分析】求解三个内角可判断A；由勾股定理逆定理可判断B、C、D. 【详解】解：三内角之比为3：4：5，则可计算出三个内角分别为45°、60°和75°，故不是直角三角形；三边之比为1：：，则12+()2=()2，由勾股定理逆定理可知是直角三角形；三边长分别为41，40，9，则92+402=412，由勾股定理逆定理可知是直角三角形；三边长分别为7，24，25，则72+242=252，由勾股定理逆定理可知是直角三角形； 故选择A. 【点睛】本题考查了直角三角形判定的方法. 7．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．1，， B．6，8，10 C．4，5，9 D．5，12，18 【答案】B 【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【详解】A、，不能构成直角三角形，故选项错误； B、，能构成直角三角形，故选项正确； C、，不能构成直角三角形，故选项错误； D、，不能构成直角三角形，故选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的逆定理，解题关键是正确算出各数的平方． 8．下列各组数中是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，勾股数是应该符合且，，是整数，据此作答即可，熟练掌握勾股数的特点和判定方法是解题的关键． 【详解】、，和不是整数，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：C． 9．下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，，， 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A.∵12+22=5≠32，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误； B.∵22+32=13≠42，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误； C.12+（）2=（）2，能组成直角三角形，符合题意； D.，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 10．如图：中，，，中线，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形．熟练掌握三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键． 延长至点E，使，连接，结合是的中线证明，得，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，利用勾股定理求得，即可求得． 【详解】解：如图，延长至点E，使，连接， ∵， ∴ ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 故选：C ． 二、填空题 11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点画△ABC，使，，．标出顶点位置，并判断△ABC形状为 三角形． 【答案】直角 【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理逆定理即可得出答案． 【详解】解：如图： ，， △ABC形状为直角三角形 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了在网格中判断直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 12．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，则 ．    【答案】45 【分析】先根据网格特点和勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，进而利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，理解网格特点，证得是等腰直角三角形是解答的关键． 13．若，则以a、b、c为边的三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】利用非负数的性质先求出a、b、c的值，然后利用勾股定理进一步得出该三角形为直角三角形即可． 【详解】∵， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴该三角形为直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，非负数性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC的度数为 ． 【答案】135° 【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可． 【详解】解：连接BD， ∵E、F分别是边AB、AD的中点，EF＝2， ∴EF∥BD，BD＝2EF＝4， ∴∠ADB＝∠AFE＝45°， 又∵BC＝5，CD＝3， ∴BD2+CD2＝25，BC2＝25， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°， 故答案为：135°． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键． 三、解答题 15．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3．求四边形ABCD的面积． 【答案】18 【分析】首先过D作DE∥AB，交CB于E点，根据两对边互相平行的四边形是平行四边形，可证明四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的性质可得EB＝AD＝3，DE＝AB＝4，再根据勾股定理逆定理证明△DEC是直角三角形，可得DE为梯形的高，最后根据梯形的面积公式求面积即可． 【详解】解：过D作DE∥AB，交CB于E点， 又∵AD∥CB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴EB＝AD＝3，DE＝AB＝4， ∵CB＝6， ∴EC＝BC−BE＝6−3＝3， ∵CD＝5， ∴， ∴△DEC是直角三角形， ∴∠DEC＝90°， ∴四边形ABCD的面积是： ． 故答案为18. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理逆定理的应用，关键是根据勾股定理逆定理证明DE是梯形的高． 16．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，若AB=4，BC=3，CD=8，DE=6，AE2=125． （1）求AC、CE的长； （2）求证：∠ACE=90°． 【答案】（1）；；（2）见解析． 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理，求得为直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中， ∴ ∵在中， ∴ （2）证明：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的表达式是解题关键． 17．如图，在中．于点，，，．    (1)求的长； (2)判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握相关的知识是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理求解即可； （2）先根据勾股定理求出，进而求出，最后根据勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2），，， ， ， ，， ， 是直角三角形． 18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，DE是△ABD的边AB上的高，且AD=2，BD＝4．求DE的长． 【答案】DE的长为4． 【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据勾股定理的逆定理求出△ABD是直角三角形，然后由三角形的面积即可求出DE的长． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=， ∵AD2+BD2=(2)2+(4)2=100=AB2， ∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°， ∴△ABD的面积=AB•DE=AD•BD， ∴． 【点睛】本题考查了三角形面积、勾股定理的逆定理、勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABD是直角三角形是解决问题的关键． 19．如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)请判断是不是直角三角形，并说明理由． (2)求的面积． 【答案】(1)不是直角三角形，见解析 (2)9 【分析】（1）根据勾股定理求出、及 的长，再根据勾股定理的逆定理来进行判断即可． （2）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积，即可得出结果； 【详解】（1）解：∴不是直角三角形．理由如下： 根据勾股定理，得 ，，， ∵， ∴不是直角三角形． （2）． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题（1）的关键． 20．已知为a、b、c是的三边，当时，关于x的方程有两个相等的实数根，求证为直角三角形． 【答案】见解析 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，判断△=0，即△＝4ma2－4m(c－b)(c＋b)＝4m(a2＋b2－c2)=0， 即a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2，根据勾股定理的逆定理，得到△ABC是直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴即， ∵a、b、c是的三边， ∴为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的个数间的关系． 21．如图，是的中线，，，． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理对的形状进行判断即可证得结论； （2）结合（1）的结论证明，即可得出结论． 【详解】（1）证：∵是的中线， ∴， ∵，，， 满足， ∴是以为斜边的直角三角形，， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理以及全等三角形的判定与性质等，理解并熟练运用勾股定理的逆定理，掌握全等三角形的判定与基本性质是解题关键． 22．下列网格中，每个小正方形的边长为1，请在网格中画出一个三边长分别为，，的三角形，求出它的面积． 【答案】图见解析，三角形的面积为2 【分析】本题考查网格与勾股定理及其逆定理；根据勾股定理，利用数形结合的思想画出，，的；再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，根据三角形的面积公式求出三角形的面积即可． 【详解】解：如图①中，即为所求， 由勾股定理，得， ， ， 故即为所求． ∵ ∴是直角三角形 ． 23．如图，在Rt△ABC中， ，AB=26，AC=24，点D为△ABC外一点，连接BD，CD，测得CD=8，BD=6，求四边形ABDC的面积． 【答案】144 【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=10，根据勾股定理的逆定理，可证得△BCD是直角三角形，根据，代入数值计算即可求得． 【详解】解：在Rt△ABC中， ， 由勾股定理得：， ∵CD=8，BD=6， ∴， ∵， ∴， ∴△BCD是直角三角形， ， ∴ =144． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，判断出是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 勾股定理的逆定理（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 知识点2．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点3．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点4．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 知识点5．平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 题型强化 题型一、判断三边能否构成直角三角形 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）把下列长度的三条线段首尾依次相连，能构成一个直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．2，3，5 D．7，24，26 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）在中，a，b，c分别是，，的对边．若，则为 （填“锐角”“直角”或“钝角”）． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割． (1)已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长． 题型二、在网格中判断直角三角形 4．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）如图，在网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 5．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）图①②中的网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点P，A，B，C，D都在格点上． （1）如图①，的度数为 ； （2）如图②，的度数为 ． 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点A到边的距离． 题型三、利用勾股定理的逆定理求解 7．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 8．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则 ． 13．（2024八年级下·安徽·专题练习）已知如图一块钢板，，，，，，求这块钢板的面积． 题型四、勾股定理逆定理的实际应用 10．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（    ）（“里”是我国市制长度单位，里米） A．平方千米 B．平方千米 C．平方千米 D．平方千米 11．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于 ．    14．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某农场主承包一片土地，形状如图所示，经测得，，，，． (1)为方便种植，农场主打算修建一条小路，连接，求的长； (2)求该四边形土地的面积． 题型五、勾股定理逆定理的拓展问题 13．（八年级·全国·课后作业）若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（   ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 14．（八年级下·安徽安庆·期中）若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论： ①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为 ． 分层练习 一、单选题 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．4，6，7 D．5，11，12 2．已知、、为的三边，、、为它的三个内角，下列条件不能判定是直角三角形的是(　　) A． B． C． D．(为正整数) 3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．2，3，4 C．7，24，25 D．9，37，38 4．以下列数据为三角形的三边长，能够成直角三角形的是（    ） A．1，，4 B．，， C．1，，1 D．6，7，8 5．满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 6．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A．三内角之比为3：4：5 B．三边之比为1：： C．三边长分别为41，40，9 D．三边长分别为7，24，25 7．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．1，， B．6，8，10 C．4，5，9 D．5，12，18 8．下列各组数中是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．，，， 10．如图：中，，，中线，则长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点画△ABC，使，，．标出顶点位置，并判断△ABC形状为 三角形． 12．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，则 ．    13．若，则以a、b、c为边的三角形是 三角形． 14．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC的度数为 ． 三、解答题 15．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3．求四边形ABCD的面积． 16．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，若AB=4，BC=3，CD=8，DE=6，AE2=125． （1）求AC、CE的长； （2）求证：∠ACE=90°． 17．如图，在中．于点，，，．    (1)求的长； (2)判断的形状并说明理由． 18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，DE是△ABD的边AB上的高，且AD=2，BD＝4．求DE的长． 19．如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)请判断是不是直角三角形，并说明理由． (2)求的面积． 20．已知为a、b、c是的三边，当时，关于x的方程有两个相等的实数根，求证为直角三角形． 21．如图，是的中线，，，． (1)求证：； (2)求． 22．下列网格中，每个小正方形的边长为1，请在网格中画出一个三边长分别为，，的三角形，求出它的面积． 23．如图，在Rt△ABC中， ，AB=26，AC=24，点D为△ABC外一点，连接BD，CD，测得CD=8，BD=6，求四边形ABDC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$