8.6.2直线与平面垂直 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019） 必修第二册

《直线与平面垂直》教学设计 一、教学目标 1.知识能力目标：通过本课学习，使学生理解直线与平面垂直的定义、判定定理，并能对它们进行简单应用。 2.过程方法目标： （1）借助生活中直线与平面垂直的实例以及手电筒实验，能够抽象出直线与平面垂直的定义，提升数学抽象和直观想象素养； （2）借助折纸微课并亲自试验，通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，提升直观想象和逻辑推理素养； （3）能运用线面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，提升逻辑推理素养。 3.核心价值目标： （1）通过观察实物、图片并亲身实验，抽象出立体几何研究的对象，学会用数学的眼光观察世界； （2）通过类比和转化等方法发现和提出空间垂直关系的问题，找到研究空间垂直关系的路径，体会研究过程中蕴含的数学思想方法，学会用数学的思维分析世界； （3）在解决具体立体几何问题中，重视用基本几何图形表达问题，用几何语言描述和理解问题、分析和解决问题，学会用数学的语言表达世界。 二、教材分析 本单元类比空间直线、平面平行关系的研究方式，按照直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的研究过程展开。而本课研究的线面垂直是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直关系转化的关键。同时，它又是学习点到平面的距离、直线和平面所成的角、直线到平面的距离和平面与平面的距离等后续知识的基础，具有着承上启下的作用。 本节课包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分.直线与平面垂直定义本身表明了直线和平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直平面内所有直线，这也是线线垂直的一个判定方法，但定义要求与平面内所有直线垂直，验证困难。直线与平面垂直的判定定理把定义中的“任意一条”转化为只要求两条相交直线即可，其中蕴含了由复杂向简单，无限问题向有限问题，空间向平面的转化，体现了以简驭繁的策略。 三、学情分析 1.学生知识储备： 学生已经学习了空间直线与直线垂直的相关概念，以及线面平行关系的判定和性质，有了“通过观察、操作，然后抽象概括出数学结论”的经验与体会，有一定的空间想象能力、推理论证能力以及运用图形符号进行交流的能力。 2.教学中可能遇到的问题有： 一是如何从直线和平面垂直的直观形象中抽象概括出直线和平面垂直的定义.因为学生直观感知中的形象与定义中“直线与平面内任意一条直线都垂直”的内涵有一定的潜在距离； 二是在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，对为什么要且只要“两条相交直线”的理解.因为定义中“任意一条直线”指的是“所有直线”，这种有“有限”代替“无限”的过程在一定程度上会使学生产生思维障碍。 四、教学重难点 1.教学重点：直线与平面垂直的定义、判定定理及他们初步应用。 2.教学难点： （1）从直线和平面垂直的直观形象中抽象概括出直线和平面垂直的定义； （2）探究、归纳、理解直线与平面垂直判定定理，突破“无限”与“有限”的转化。 五、教学流程 六、教学过程 教师活动 学生活动 设计意图 一、课堂导入 1.复习回顾，温故知新 2.情境导入，引出课题 （1）4月16日神舟十三号载人飞船载人飞船成功着陆，让我们重温这一激动人心的历史时刻。 （2）视频的最后主持人多次提到返回舱与地面成什么状态？ （3）线面垂直是线面相交的特殊情况，数学概念研究往往遵循从特殊到一般的认知规律，今天我们就来研究这种特殊的相交关系----线面垂直。 学生观看视频并回答设置的问题。 通过图片展示直线与平面位置关系，让学生了解线面垂直是线面相交特殊情况，并可用研究线面平行的探究方法来研究线面垂直，建立知识间的联系，这个过程对学生形成前后一致，逻辑连贯思考十分有益。 通过播放视频的方式，开门见山的引出本科研究课题—直线与平面垂直。激发学生兴趣的同时提升民族自豪感，培树家国情怀。 二、线面垂直定义的构建（探究点一） 1.联系生活 提出问题 结合生活，请同学们举出可以抽象成直线与平面垂直的具体实例.（同学们回答） 大自然中、生活中、各学科的学习中这样的例子比比皆是，那么如何给出线面垂直的定义呢？我们知道数学概念的学习往往是用已知的熟悉的东西去描述未知的陌生的东西，对于垂直关系我们已经学习了线线垂直，那么我们如何用线线垂直来刻画线面垂直呢？ 2.动手实验，分析感知 （1）每个小组1号同学把纸平铺在桌面上，把笔直立放于纸上，2号同学打开手电筒，观察笔在纸上的影子，离影子近的同学画出影子线，大家观察笔与影子线有怎样的位置关系？ （2）手电筒转动起来，影子线随之变化，在变动过程中，每组同学把离你近的影子线画出来，观察笔与这些影子线的位置关系，也就是说，笔与过P点的所有直线都垂直，那么在平面内除了过P点的直线，还有不过P点的直线，笔与这些直线是什么关系？为什么？ （3）通过上述实验我们知道若直线与平面垂直，则它垂直于平面内什么样的直线？（学生可能回答所有的、全部的、任意一条、无数条直线），那么我们能不能用我们得到的这些线线关系来刻画线面垂直呢？能说明理由，不能举出反例。 3.总结定义 形成概念（★重点） （1）请同学们用自己的语言总结定义 文字语言： 符号语言： 图形语言： （2）思考过平面内的点P做平面的垂线能做几条？把点P移动到平面外，过点P做平面的垂线能做几条？（从而得到点到面的距离的概念，以及棱锥的高的概念） 三、线面垂直判定定理的构建（探究点2） 1.问题导向 分析探究 问题1：这是一个标准跨栏支架，如何证明图中所标部分与地面垂直呢？ 问题2：上述方法有困难吗？难在哪里？那么最理想的状态是此直线垂直于平面内多少条直线才能判断直线与平面垂直呢？对这些直线之间的位置有什么要求呢？ 问题3：如何证明我们刚才得到的结论：一条直线垂直于平面内两条相交直线则该直线与平面垂直呢？让我们一起探究一下（观看微课并折叠自己手中卡纸） 问题4：如何用向量法证明该结论呢？ 2.提炼定理 形成概念（★重点） 直线与平面垂直判定定理： 文字语言： 符号语言： 图形语言: 渗透思想： 3.利用定理 解决问题 四、初步应用 深化认识 1.例题讲解 定义定理应用 2.知识迁移 渗透数学文化 五、课堂小结 知识升华 1.提问形式，引导学生总结本课所学数学知识、数学思想、核心素养，并总结数学研究一般方法。 2.线面垂直应用贯穿古今（展示日晷与火箭图片，并观看神州十四号发射视频） 发掘实例 观察实例 直观感知 小组合作 动手实验 思考问题 小组合作 动手实验 思考问题 小组合作 动手实验 小组讨论 回答问题 总结定义 积极发言 探索实践 积极发言 问题引导 逐步深入 讨论交流 探索本质 观看微课 动手操作 了解历史 给出证明 总结定义 积极发言 利用所学 解决问题 实战应用 独立完成 钉钉展示 方法对比 学生板演 给出讲解 归纳总结 积极发言 观看神州十四号升空视频，再次体会线面垂直。 数学源于生活，但要懂得发现。在这里通过让学生观察实物、联系生活，结合各学科的学习，直观感知线面垂直的形象,并抽象出立体几何研究的对象，学会用数学的眼光观察世界. 引导学生用已知的线线垂直刻画线面垂直的定义，学会用已知的知识探索未知知识，培养探索意识。 通过手电筒实验，让学生感知线面垂直，通过问题逐层递进，引导学生全面考虑问题.通过亲自操作观察与思考把直观模糊的感性认识抽象化、确切化。再通过正反两方面的辨析，让学生直观感知直线与平面垂直时，“任意”不能改为“无数条”，即直线与平面内无数条直线都垂直，但只要与一条直线不垂直，就不能说直线与平面垂直，从而加深对直线与平面垂直的定义的理解。顺势引导学生归纳概括出线面垂直的定义。 培养学生直观想象、数学抽象的数学核心素养，锻炼学生总结概括和语言表达能力。同时建立平面的垂线、直线的垂面、垂足等相关概念，知道线面垂直的符号语言和图形语言表示，让学生理解学习数学概念的“基本思路”。 给出点到平面距离的概念，既呼应前面棱锥高的概念，也为后面学习面面垂直性质定理的探究作必要铺垫。 通过问题思考与实例分析，寻找具有可操作性的判定方法，体验有限与无限之间的辩证关系．让学生通过类比探究过程，不断的猜想和论证，在学生们的探究过程中加深对探究方法和过程的感受和深刻理解，也为判定定理的得出更加水到渠成. 引导学生有条理地进行探究，通过实践操作提出较为简便的直线和平面垂直的判定定理的猜想；结合判定定理的发现过程，可以使学生进一步体会直线与平面垂直向直线与直线垂直的转化，感受直观感知、操作确认、归纳猜想的研究立体几何的一般过程，发展直观想象核心素养. 插入微课，变换课堂形式，提高学生注意力，用较短时间介绍定理证明的发展史，渗透数学史，让学生体会数学学习要严谨求实，不断创新，多角度思考，做到减负、提质、增效。 实现图形语言、文字语言、符号语言之间的转换，方便学生进一步理解判定定理，同时发展逻辑思维能力，体现转化化归和“降维”的数学思想。而举例说明它的应用有助于学生跟好的理解判定定理。 例题的证明是第一次对判定定理应用的尝试，教师引导学生理清思路，并做规范化的解答，让学生学会思考问题，为学生后面熟练的应用定理打下基础.引导学生用不同方法解题，提升思维灵活性。2题以《九章算术》为背景，巩固定理应用。 通过小结梳理本节课所学知识和学习过程，培养学生归纳总结的能力和对学习内容进行反思的意识和习惯，并检验课堂效果，是否完成教学目标，突出重点，突破难点。实现单元教学知识的系统化、结构化。 通过观察日晷与火箭图片以及观看神州十四号发射视频，体会数学应用性广泛性的同时介绍中国传统文化，并感受科技的力量。 七、作业设计 1、（必做作业）完成课本152页2、3、4题。 2、（选做作业）探究直线与平面垂直的性质定理。 3、（校本作业）查阅资料 （1）了解直线与平面垂直判定定理的多种证明方法 （2）了解日晷工作原理。 八、板书设计 直线与平面垂直第一课时 1.线面垂直定义： 2. 线面垂直判定理： （内容） （内容） 无限条 有限条 九、教学反思 本节课完成了既定的教学目标，做到了重点突出、难点攻克，基本达到了预期的教学效果，下面把本节课的亮点和不足总结如下： （一）成功之处 1.本节由神舟13号返回地面引出课题，以神舟14号成功发射结束课程，前后呼应。学生通过本课学习，感受到了祖国科技发展的日新月异，提升了民族自豪感，培树了家国情怀。 2.本节设计注重数学思维的呈现，涵盖了“由特殊到一般”的研究过程、用“已知”知识解释“未知”知识的研究规律，渗透了降维思想、化归转化思想和数学建模思想。 3.从生活中的实例出发，让学生感知线面垂直的直观形象；通过手电筒实验，让学生更深刻的感知线面垂直的定义。在实验过程中，促进了小组合作，培养了合作意识。 4.在直线与平面垂直判定定理的探究过程中，结合学生现有水平和最近发展区，以“问题串”的形式层层递进，使课程具有启发性和针对性。 5.精心设计《直线与平面垂直判定定理》微课，既提升学生的学习兴趣，又顺应了节时增效的教学理念。内容上，一是从数学发展史角度介绍了定理的证明及发展过程，二是渗透了数学学习是严谨求实、不断创新、多角度思考的理念，三是引导学生用向量方法证明线面垂直判定定理。 6.随堂练习设置合理。第1题既能用定义证明也能用判定定理证明，发散解题方法，回扣教学重点；第2题以九章算术中“阳马”问题创设情境，渗透传统文化，加深知识印象。 7.作业布置分币做作业，选作作业和校本作业既有针对性又具有层次性，同时达到了减负增效的目的。 8.在课堂实践过程中，学生们认真思考问题、勤于动手实验、积极互动讨论、主动回答问题、踊跃表达展示，实现了有效学习。 （二）存在不足 1.对本节的学习目标没有展开阐述，虽然在课前利用课件进行了展示，但仍需进一步强调，让学生带着目标去学习。 2.对学生表现的点评不够多样化、情感不够热烈，对提升学生成就感方面有一定影响。 3.小组讨论后的展示环节，没有让更多的学生表达自己的想法，导致一些问题没有暴露出来。 4.对学生信任不够，个别地方引导过多，影响了学生独立思考能力的培养。 在今后的教学中，我会继续努力，更加深入了解学情，课前做好充分准备，课上突出学生的主体地位。要灵活把控课堂节奏，上“好”学生需求之课，而不是上“完”自己准备之课。 学科网（北京）股份有限公司 $$