7.5 正态分布 教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

《正态分布》教学设计 正态分布 一、教学内容 高二年级人教A版选择性必修第三册第七章第五课时正态分布 二、教材分析 新教材对正态分布这一课时做了很大的调整,采用与实际生活更为贴切的误差模型作为引入.章节内容开头就声明,本节是学习与之前离散型随机变量不同的连续型随机变量,体现了章节之间的衔接性.并且教材更侧重正态分布在实际生活中的应用与思考,正态分布作为高中数学唯一接触的连续型随机变量,对于学生是一个巨大的挑战,因此把这部分内容放在最后一节是符合学生的最近发展区理论的. 三、学情分析 学生在必修二中学习过频率分布直方图,课前预习以及小组探究准备为学生理解利用频率分布直方图来研究误差分布规律奠定了基础.另外前面几节研究离散型随机变量与本节连续型随机变量易混淆,且正态分布是高中学习的唯一的连续性随机变量,正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象,抽象性强、性质比较多,学生理解比较困难.但结合学生数学现有水平,有一定的能力接受本节涉及到的一系列探究问题和活动. 四、教学目标 1.知识与技能 理解并掌握(标准)正态分布相关概念,正态曲线性质特点,能简单利用 原则解释实际问题. 2.过程与方法 引导学生通过观察理解并能用正态分布研究有关随机变量分布探究规律,提高分析问题,解决问题的能力,培养学生数形结合等数学思想方法. 2.1通过误差模型,了解服从正态分布的连续型随机变量;了解正态分布的均值、方差及其含义. 2.2通过具体小组活动探究,了解正态分布的特征;了解 原则,用以解决实际问题. 3.情感态度与价值观 通过一系列的问题探究过程,使学生体验发现的快乐,形成积极的情感,培养学生进取的意识和科学精神;同时一系列的小组活动,也增强了小组成员之间的合作意识,锻炼学生语言表达能力;另外,正态分布本身蕴含的人生智慧,帮助学生树立正确的人生观、价值观. 五、教学重难点 教学重点:正态分布曲线的性质、正态曲线的特点及正态分布中参数所表示的意义. 教学难点:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质特点;灵活运用原则解决实际问题. 六、教学过程 教学环节 设计意图 教学预设 1.小组活动导入 预习本节,以小组为单位,搜集身边的连续型随机变量,样本数据至少50个,如何描述这些数据的分布?从中你发现了什么规律? 1.培养学生学会用数学的眼光观察现实世界,即通过对小组搜集的数据进行整理,继而在发现问题的同时加深对数据分布的理解; 2.回顾频率分布直方图以及离散型随机变量相关概念 1.结合预习过程,可顺利完成老师布置的课前任务,且会选用频率分布直方图描述数据分布情况; 2.对于连续型随机变量可能会出现概念不清问题. 2.提问式新课教学 2.1新旧知识衔接引出离散型随机变量 问题1 自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用随机变量X表示这种误差,X是离散型随机变量吗?如果不是,请说明理由.用随机变量X表示这种误差,X是离散型随机变量吗? 检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100 袋食盐,获得误差X(单位:g)的观测值如下: 追问1 如何描述这100个样本误差数据的分布? 追问2 从画出的频率分布直方图可以看出什么? 追问3 随着样本数样本数据量越来越大时(即让分组越来越多,组距越来越小),频率分布直方图的轮廓如何? 追问4 根据频率与概率的关系,如何用钟形曲线描述袋装食盐质量误差的概率分布? 1.培养学生用数学的思维思考现实世界,即通过老师提出的一系列问题,学生会结合预习情况进行思考; 2.培养学生用数学的语言表达现实世界,对于一系列问题的提出,要求学生做出回应,用相对准确的数学语言描述所发现的结果. 3.培养学生会用数学的眼光观察现实世界,即随着样本数据量越来越大时(即分组越来越多,组距越来越小),让学生能够直观观察到频率分布直方图的轮廓的变化情况,近似可以看成一条光滑钟形曲线. 1.对于之前所学知识,经过课前的预习工作,所有学生可以顺利回答如何描述数据分布情况,个别同学提出离散型随机变量以及连续型随机变量的疑惑,强调连续型随机变量. 2.学生对问题是理解的,但只有部分同学是可以用数学语言进行准确回答. 3.在视频中展示样本数据量越来越大时(即让分组越来越多,组距越来越小),学生会产生浓烈的学习兴趣,跟着老师进行下一步的探究. 2.2 从钟形曲线到正态分布 问题2 这个钟形曲线是一个函数吗?如果是,这个函数是否存在解析式? 定义 我们称为正态密度函数,称它的图像为正态密度曲线,简称正态曲线.如果随机变量X概率分布密度函数为,则称随机变量X服从正态分布,记为. 当时,称随机变量X服从标准正态分布,记作. 追问 若,则和 如何表示? 1.培养学生会用数学的眼光观察现实世界,即通过钟形曲线联系函数引出函数解析式,介绍高斯等科学家的相关背景,丰富学生的数学史,最后由早期德国10马克纸币的图片激发学生的学习兴趣,体会数学的人文性、趣味性. 2.培养学生用数学的思维思考现实世界,即对概念的理解,从“行”到“数”的转变. 1.学生从历史人物的出现产生浓烈的学习欲望,直到早期德国10马克纸币的图片的出现达到高潮,会比预习中对解析式的印象更加深刻. 2.学生初期会对正态密度函数有陌生感,虽然知道形式,但是基于形式的复杂,只能和老师一起读一读,写一写,并不能真正理解其中含义,可以说未知感很强. 2.3 正态曲线特点探究 问题3 观察正态曲线及相应的密度函数,你能发现正态曲线的哪些特点? (1)对,图像在x轴 ; (2)曲线是单峰的,关于直线 对称; (3)曲线在 达到峰值 ; (4)当无限增大时,曲线无限接近 . 追问 一个正态分布由和完全确定,这两个参数对正态曲线的形状有何影响?他们反映正态分布的哪些特征?(用平板的Geogebra软件滑动滚动条) 1.培养学生用数学的思维思考现实世界,“数”与“形”反映了事物两个方面的属性,从“形”上观察图象得出性质,从“数”上证明性质,“以形助数”和“以数解形”相结合,可以使复杂简单问题简单化,体会数形结合的便捷. 2.培养学生用数学的思维思考现实世界,即通过学生手中的平板中Geogebra观察正态密度曲线的特征,了解密度函数中参数的变化对曲线的影响,以及服从正态分布的变量的均值和方差,先从图象观察变化,再从解析式验证,进一步体现数学结合的思想. 1.学生可以快速填写发现的特点,但是对于特点形成很大程度停留在图像上,给学生一定的时间去思考讨论从“形”上观察图象得出性质,从“数”上证明性质,部分同学可以按照老师的提示完成相应的任务,让会的学生讲给大家听. 2.学生可以充分对参数 和 的任一参数的变化,直观感受,参数对正态曲线的形状有何影响?他们反映正态分布的哪些特征? 学生的表述,可能说得麻烦一些,多让学生说一说,既可以加强讲题学生的表达能力,又给其他同学充足时间去思考理解 2.4正态分布在实际应用 问题3 在现实生活中,还有哪些随机变量服从或近似服从正态分布? 追问 在现实生活中如何去运用呢? 联系学生的数据统计,提出数据特殊情况对学生进行发问,引出原则. 假设,可以证明:对给定的,是一个只与k有关的定值.特别地, 由此可以看到,尽管正态变量的取值范围是,但在一次实验中,X的取值几乎总是落在区间内,而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生. 1. 培养学生用数学眼光观察现实世界和用数学的思维思考现实世界,即联系自己小组的数据,是不是服从或近似服从正态分布,并联想生活、生产、生物学、气象学包括很多其他学科数据也是服从或者近似服从正态分布的. 2.为了提出原则,利用学生已经研究过的数据,提出以外的数据引起学生的好奇,从而提出原则. 1.学生可以联想到课前研究的数据,对于其他很多方面数据了解不多,老师迅速介绍客让学生迅速理解 2.需要老师引导,但是因为引导内容都是实际生活接触到的,学生接受起来比较快,而且感兴趣,可能达到本节课另一个小高潮. 3.例题精讲 例1 根据正态曲线的函数,找出其 和 的值. 例2 设两个正态分布和 的密度函数图像如图所示,则( ) 例3 假设某厂包装食盐的生产线,正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布(单位:g),该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐,称得其质量大于404g.检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理?请说明理由. 例4 李明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30 min,样本方差为36;骑自行车平均用时34 min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y 都服从正态分布. (1)估计X,Y的分布中的参数; (2)根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线; (3)如果某天有38 min可用,李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34 min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由. (4)运用今天学到的知识,你还能提出什么问题? 学生可以利用平板中Geogebra软件完成第(3)和(4),如下—— 1.例1和例2培养学生用数学的思维思考现实世界,即利用学过的知识快速准确说出答案. 2.例3和例4培养学生用数学的思维思考现实世界以及用数学的语言表达现实世界,即要求学生不仅可以利用所学知识以及信息技术工具解决问题,尤其还需要学生有能力借助所学到的知识进行提升,具有创新能力,编题目小组之间进行回答,既活跃了课堂气氛,又巩固学生对知识的掌握程度. 1.对于学生有想法,但是不注意的话就会出现小问题,比如例1(2)里面 值,特别容易看错,例2 里对于 大小的比较也会因为紧张而选错. 2.对于例3和例4前面的问题都比较常规,学生回答比较轻松,对于例4最后一问,不同水平的问题就会根据孩子认知能力的不同而相差很大,但是不论问题质量水平如何,只要是提出了正确的问题,就说明学生已经基本掌握本节内容.基本可以通过提问环节达到本节课最后的高潮部分. 4.课堂小结,总结升华 要求学生从所学新知、数学思想和人生感悟几个方面对今天的课做总结 培养学生用数学的语言表达现实世界,即总结一节课学到的知识与方法,并可以结合所学领会正态分布对人生的启发. 学生对知识点的理解详略有所不同,数学思想可能总结不到位,但人生感悟多少都可以说出一些 5.课后作业 (1)完成课本对应习题以及分层练习作业 (2)继续研究正态分布的广泛应用 作业是复习并补充今日所学,部分内容为正态分布下一节内容,所以难度做了分层提升. 会有本节课课上没见过的题型,需要学生对整体知识进行梳理.难度大的题预计能解决部分. 7、 作业设计 正态分布作业 A组 1.设随机变量,则X的密度函数为 , = ,= ,= ,= . 2. 设随机变量,随机变量,画出分布密度曲线草图,并指出与的关系,以及与之间的大小关系. 3. 举出两个服从正态分布的随机变量的例子. 4. 某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布,随机选择一名本市高二年级的男生,求下列时间的概率: (1) {165<X≤175}; (2){X≤165}; (3)P(X>175). 5. 若,则X位于区域[ , + ]内的概率是多少? 6. 袋装食盐标准质量为400g,规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.假设误差服从正态分布,随机抽取100袋食盐,误差的样本均值为0,样本方差为4.情你估计这批袋装食盐的合格率. B组 7.某金属元件的抗拉强度服从正态分布,均值为10000kg/cm2,标准差是100kg/cm2,测量记录精确到50kg/cm2. (1)求抗拉强度超过10150kg/cm2的元件的比例; (2)如果要求所有元件的规格是9800~10200 kg/cm2的抗拉强度,那么被报废的元件比例是多少? 8.从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图: (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表); (2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布,其中 近似为样本平均数,近似为样本方差. ①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2); ②某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示X这100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用①的结果,求E(X).附:≈12.2.若,则P( - <Z< + )=0.6827, P( -2 <Z< +2 )=0.9544. 八、教学反思 本节课以合作探究为主要设计思想,教师通过课前小组收集数据 误差模型导入 生成概念 小组探究曲线特点 实际应用的原则 小组探究实际问题 总结升华等环节展示了一个完整的教学过程,符合新课标以学生为中心,注重培养学生的核心素养. 课堂中,师生充分互动,利用教室电脑以及学生手中平板上的Geogebra系统,学生利用小组讨论可以充分体会正态曲线的性质特点,从而更加直观地突破了本节课的重难点. 此外,学生利用数形结合的方法完成了新旧知识的衔接,学生个人展示的环节更加强化了学生的数学思维以及数学语言的表达能力. 这节课高潮的部分就在最后由学生自己命题环节,既是对本节内容的复习,又是大胆的创新行为,为孩子今后的数学核心素养的提高起到了促进作用. 在各个互动与信息技术充分融合的基础上,又增加了学科间的融合,虽然没有完全展开,但是对学生今后在其它学科的学习相关知识上起到了铺垫作用。 但是本节课确实还有不足之处,时间以及周围环境的影响学生在课前准备的数据并不是很丰富.另外,由于一节课的时间有限,很多学生没有来得及展示,只能留在课下完成. 随着新教材的改变以及新课标的实施,让我感到数学改革是大步前进的.教学方法手段的增加,为老师和学生提供了很多教与学的思路.大胆的交给学生,让学生作为学习的主体,努力培养学生学会用数学的眼光观察现实世界,用数学的思维思考现实世界和用数学的语言表达现实世界的核心素养. 九、板书设计 ( 屏 幕 ) ( 7.5正态分布 连续型随机变量 正态分布 定义 标准正态分布 学生板书黑板 性质特点 三、3 原则 四、实际应用 ) 学科网(北京)股份有限公司 $$