3.1.2椭圆的简单几何性质 教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

《椭圆的简单几何性质》教学设计 一、教学目标 1.能在直观认识椭圆图形特点的基础上，用椭圆的方程推导出椭圆的对称性，顶点坐标，范围，离心率，并会根据离心率的大小判断椭圆的圆扁程度； 2.在探究椭圆几何性质的过程中，学习利用方程研究的曲线的方法，体会数与形的对立统一； 3.通过介绍离心率的起源渗透数学文化；发展直观想象、数学运算、逻辑推理素养。 二、教材分析 本节课是人教A版选择性必修第一册第三章第二节第一课时，前面是椭圆的定义和标准方程，后面将学习双曲线和抛物线的方程和几何性质，本节课的研究方法非常典型，体现了曲线研究的一般方法，研究好椭圆的几何性质，对后面双曲线、抛物线的性质研究具有指导作用。 三、学情分析 前面学生已经学习了椭圆的定义，推导了椭圆的方程，知道椭圆中的关系，为本节课的学习做好了知识上的准备。学生在上一章学习了直线与圆，对坐标法有初步的了解，也为本节课的进行打下了基础。但对学生来说，这是他们第一次系统地利用曲线的方程研究曲线的性质，学生的学习仍需要老师的指导。 四、教学重难点 重点：椭圆的几何性质及分析过程 难点：对离心率的理解 五、教学过程（不能是课堂实录） 教师活动 学生活动 设计意图 1.复习回顾，提出问题 上节课学习了椭圆的定义和标准方程，回忆相关知识，并写出的关系。 展示学生用细线画的椭圆，提出可以寻找椭圆的共性，即研究椭圆的性质。 以焦点在x轴上的椭圆为例。观察图形，你觉得可以研究椭圆的哪些性质？如何研究？ 展示学生画的椭圆 小组讨论，提出可以研究的椭圆性质 让学生先明确研究内容，对整节课的任务有清晰的认识。问题具有开放性，希望学生通过观察图形自己提出可以研究的性质。根据学生提出的话题分别研究，突出学生的主体作用。 通过画椭圆感受对椭圆的性质获得一些直观的感受，通过展示不同的椭圆让学生对椭圆的圆扁程度不同获得一个直观印象，为下面的研究做铺垫。 2.确定思路，总领全局 问题引领：可以用什么方法研究这些性质？ 师生交流对话，在已有方法的基础上得出研究思路 确定研究方法，引领整节课的研究过程。 椭圆的每个性质都可以从曲线和方程两个方向得出，而实际中，学生往往习惯于由图形直观得到，就不再进行代数方向的推导，但用代数方法研究几何问题是坐标法的基本思想。遵循学生的认知规律，先让学生观察图形直观地得到性质，再引导学生利用方程加以探究，通过图形得其直观，通过方程得其深刻——体现数形结合的数学思想。对椭圆每个性质的研究都从这两个方向进行，反复渗透。 3.各个击破，解决问题 按照学生提出的性质一一研究，每个性质都从图形和方程两个方面引导提问，反复渗透数学结合的思想方法 （1）对称性：观察椭圆在直角坐标系内的图形，椭圆具有怎样的对称性？这些对称性能否从方程得到印证？ （2）顶点： 椭圆上有无数多个点，哪些点比较特殊？能通过方程给出证明吗？ 要求学生写出四个顶点的坐标，并追问学生如何得到的，使学生明确认识到，依然是利用方程求得的。给出长短轴的概念。 （3）范围：椭圆的范围指的是什么？观察椭圆的图形，结合椭圆的方程，你能说出椭圆的范围吗？ 【口答】指出下列椭圆的对称性，顶点，范围 学生回答后追问哪个更圆，哪个更扁？ 第二组 第三组 （4）离心率：椭圆的扁平程度是椭圆一个非常重要的几何特征，圆扁程度是由谁决定的，能否用方程中的量来刻画呢？ 引导探究影响椭圆圆扁程度的量，并加以分析。 介绍离心率的起源，离心率源于天文学上的偏心率，向学生介绍历史背景。 通过信息技术展示离心率对椭圆圆扁程度的影响。并利用学生画的椭圆加以印证 从椭圆的图形观察对称性，再由椭圆的方程说明对称性，感受形与数的统一。 通过方程求出椭圆的顶点。学习长短轴的概念 通过椭圆的图形观察范围，利用方程的特征得到范围 思考，回答问题 通过画图和理性分析得到结果 回答问题，直观感知决定椭圆圆扁程度的基本量 小组讨论，得出结果 小组展示结果 明确对称性的实质，由形到数，学习如何利用图形观察和方程推导研究椭圆的对称性 明确曲线顶点的含义以及通过方程研究曲线顶点的思路和方法 明确曲线范围的含义以及怎样利用图形和方程研究范围 熟悉椭圆的前三个性质，并为离心率做准备。给出短轴相等的两个椭圆，学生易于比较圆扁程度。之后再给出长轴相同的一组椭圆，再要求学生比较圆扁程度。之后再给出长短轴都不相同的椭圆，通过几组例子，使学生对圆扁程度有一个直观的感知，经历由特殊到一般的学习过程。 在前面几个问题的铺垫下，让学生通过思考得到影响离心率的要素，引导发现可以用a,b,c中任意两个量的比值来刻画 让学生从离心率的发展历史感受定义c/a的合理性，同时了解数学与其他自然科学的联系，渗透数学文化。 把上面的性质以表格的形式总结呈现，再请学生类比填写焦点在y轴上的椭圆的性质。 类比填写表格 全面总结两种焦点位置椭圆的几何性质，并培养学生类比的思维方式 4.应用巩固，内化迁移 例1.求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标 学生回答完毕可以继续追问这个椭圆和哪个更圆，哪个更扁？体会离心率的作用 例2.已知一条曲线C的方程为，推测这条曲线的对称性，范围是怎样的？ 思考，回答问题 让学生熟悉椭圆基本的几何性质 面对陌生的方程，在曲线未知的情况下，只能利用方程研究曲线的性质，让学生体会在研究椭圆性质过程中，利用方程研究曲线方法的重要性。 5.回顾反思，深化理解 通过本节课的学习，你有哪些收获 发散思维，对本节课进行梳理总结 促进学生对当堂内容进行反思，从学习内容，思想，方法等方面多维度总结 6、 作业设计（适应“双减”要求的分层作业） （1）必做：课本115页 习题3.1 3，4，5 题 （2）选做：曲线C的方程为，依据方程猜测这条曲线有哪些性质？你能根据这些性质画出这条曲线吗？ 必做题为对所有学生的要求，为本节课的基本内容，考查椭圆的基本性质；选做题是利用本节课研究椭圆性质的方法，利用方程研究陌生曲线，要求较高，供学有余力的同学选做 七、教学反思 上完这节课，有满意之处也留有小小遗憾。 优点：1.本节课的学习目标是利用图形和方程两种方法研究椭圆的几何性质，我先引领学生确定研究方法，之后紧紧围绕着学习目标，每一个性质都从几何和代数两种方法进行研究，较好地实现了目标。 2.让学生在学习了椭圆定义之后，用细线画一个椭圆，不仅让学生对定义的理解更深刻，同时可以通过手中的椭圆开展对椭圆性质的研究，尤其学生画的椭圆各不相同，展示后学生很容易发现椭圆圆扁程度的不同的特征，对本节课有很好的促进作用。 3.本节课安排了两次小组讨论：研究椭圆的哪些几何性质和决定椭圆扁平程度的量是什么。第一个问题具有开放性，第二个问题比较难，以小组讨论的方式进行容易让学生发散思维。从课堂效果来看，达到了不错的效果。 不足：本节课课容量大，时间紧张，有些问题没有给学生留够时间充分思考，可以考虑适当减少一些内容，增加学生的思考时间。 学科网（北京）股份有限公司 $$