2.4.1圆的标准方程 教学设计-2024-2025学年人教A版（2019）选择性必修一

《圆的标准方程》教学设计 一、教学目标 1.理解圆的标准方程的推导过程，体会数形结合思想； 2.掌握圆的标准方程； 3.通过求圆的标准方程并应用,发展学生数学建模和数学运算的学科素养。 二、教材分析 本节内容是在初中所学知识的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的方程，它与其他图形的位置关系及其应用.在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力. 同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本课内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。 三、教学重难点 教学重点：圆的标准方程的导及求法。 教学难点：圆的标准方程的求法。 四、教学过程 教师活动 学生活动 设计意图 （一）引入：一个拖把斜靠在墙上，中间灰色的部分记为拖把把的中点，当拖把向下滑落的过程中，中点的轨迹是什么？ 老师总结。 学生思考，并上台回答问题，其他同学补充。 通过实际问题引入，引导同学们回顾圆的定义。 问题1：什么是圆？简述圆的定义 问题2：确定一个圆的几何要素有什么？ 学生独立思考，并回答问题 问题1答案：圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点成为圆心，定长称为圆的半径. 问题2答案：确定圆的因素：圆心和半径.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 引导学生思考在平面直角坐标系中，如何确定一个圆 （2） 知识的理解 问题3： 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了。那么，我们可以求出圆上点的轨迹方程吗？ 如图，在平面直角坐标系中，圆的坐标为，半径为，为圆上任意一点，圆就是以下点的集合.根据两点间的距离公式，点的坐标满足的条件可以表示为，两边平方，得到 （1） 由上述过程可知，若点在圆上，点的坐标满足方程（1）；反过来，若点的坐标满足方程（1），就说明点与圆心间的距离为，点就在圆上.这时，我们把方程（1）称为圆心，半径为的圆的标准方程. 引导同学们回答： 我们需要： 1. 建系。 2. 设点。 3. 列等量关系式 4. 整理得到圆上点的轨迹方程。 通过引导同学们回顾旧知，复习并会应用之前所学知识求圆上任意一点的轨迹方程。 探究思考：圆心在坐标原点，半径为的圆的标准方程是什么？ 引导学生回答问题 巩固圆的标准方程 （3） 概念的巩固应用 例1 求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点是否在圆上. 分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆 方程，就可以得到这个点是否在圆上. 学生先做，在小组讨论，最后学生分享讨论结果。 圆心，半径为5的圆的标准方程是 把点的坐标代入方程的左边，得到 ，左右两边相等，点的坐标满足圆的方程. 所以点在这个圆上. 把点的坐标代入方程的左边，得到 ，左右两边不相等，点的坐标不满足圆的方程. 所以点不在这个圆上。 巩固所学的圆的标准方程， 会用直接法求圆的标准方程。并会判断点是否在圆上，引出后面要学习的点和圆的位置关系 探究：点在圆内的条件是什么？ 点在圆外的条件是什么？ 教师引导学生 满足的条件是：，即： 满足的条件是：，即： 学生分析解题思路 由圆的标准方程判断平面直角坐标系中任意一点是否在圆上；“探究”进一步研究点在圆内、圆外的条件 例2 的三个顶点分别是,求的外接圆的标准方程. 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆.显然已知的三个点不在同一条直线上.只要确定了，圆的标准方程就确定了 总结：求圆的标准方程的方法：待定系数法 学生先做，小组讨论，最后用展台展示几名同学的解题过程。 解：设所求的方程是 ① 因为三点在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是 即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，得到关于的二元一次方程组 ，解此方程组，得 代入，得. 所以，的外接圆的标准方程是 会用待定系数法求解圆的标准方程 例3 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程.分析：设圆心的坐标为，由已知条件可知，，且. 由此可以求出圆心坐标和半径. 另外，因为线段是圆的一条弦，根据平面几何知识，的中点与圆心的连线垂直于，由此可得到另一种解法. 学生先做，小组讨论，展台展示小组讨论结果。 解法1：设圆心的坐标为.因为圆心 在直线上，所以. ① 因为是圆上两点，所以. 根据两点间距离公式，有 . 即 . ② 由上面两式可得.所以圆心的 坐标是.圆的半径 . 所以，圆的标准方程是 解法2：如图，设线段的中点为.由两点的坐标为，可得到的坐标为，直线的斜率为 . 因此，线段的垂直平分线的方程是. 由垂径定理知，圆心也在线段的垂直平分线上，所以它的坐标就是方程组 的解。 解得 . 所以，圆心的坐标为， . 所以，圆的标准方程是 会用待定系数法和数形结合法求圆的标准方程。提升推理论证的能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养。 小结： 1.圆的标准方程 2.求圆的标准方程的基本方法 1. 直接法。 2. 待定系数法。 3. 数形结合法。 学生和老师一起回顾本节课所学知识。 巩固本节课所学知识 五、作业设计（适应“双减”要求的分层作业） 必做： 1.学案中练习题1-4 2.课本85页练习题1，3，4题 3.课本88页习题2，4中1，3题 选做： 课本88页习题2.4中2，4题 六、教学反思 这节课主要是圆的标准方程的推导和一些简单的运用。它的研究方法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。如果学生掌握得好，后面的学习圆锥曲线与方程会轻松许多。标准方程的推导，先通过学生的切身体验，来发现决定圆的要素圆心和半径，让学生明确一个圆对应一个方程，在此基础上借助求曲线方程的基本步骤,归纳出以(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程。并引导学生找出方程的特征，以帮助学生理解和记忆。例题教学的设计，主要加深对圆的标准方程的理解及一些简单的应用。例题的设计由特殊到一般，由简到繁，由浅入深，比较符合学生的认知规律,这样学生接受起来比较容易。课堂练习，是对本节课目标落实情况的检测，让学生明确本节课应该到达什么样的目标。这节课几乎是按自己的教学设计顺利完成。在学生动手，双基落实方面还不错，学生的活动也比较充分，教师仅是及时的引导和点评，让学生的主体性得到了较为充分的体现。另外，在教学中不断的渗透数学思想和方法，让学生思维得到提升。 ( 第 1 页 共 10 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$